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1、精品资料欢迎下载恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化:afx恒成立maxafx;minafxafx恒成立2、能成立问题的转化:afx能成立minafx;maxafxafx能成立3 、 恰 成 立 问 题 的 转 化 :afx在M上 恰 成 立afx的 解 集 为MRafxMafxC M在上恒成立在上恒成立另一转化方法:若AxfDx)(,在 D 上恰成立,等价于)(xf在 D 上的最小值Axf)(min,若,DxBxf)(在 D 上恰成立,则等价于)(xf在 D 上的最大值Bxf)(max. 4 、 设 函 数xf、xg, 对 任 意 的bax,1, 存在dcx,2,使 得
2、21xgxf, 则xgxfm i nm i n5 、 设函 数xf、xg,对 任意 的bax,1, 存在dcx,2,使 得21xgxf, 则xgxfm a xm a x6、设函数xf、xg,存在bax,1,存在dcx,2,使得21xgxf,则xgxfm i nm a x7、设函数xf、xg,存在bax,1,存在dcx,2,使得21xgxf,则xgxfma xm i n8、若不等式 fxg x 在区间 D 上恒成立,等价于在区间D 上函数 yfx 和图象在函数yg x 图象上方;9、若不等式 fxg x 在区间 D 上恒成立,等价于在区间D 上函数 yfx 和图象在函数yg x 图象下方;精选学
3、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精品资料欢迎下载二、经典题型解析题型一、简单型例 1、已知函数12)(2axxxf,xaxg)(,其中0a,0x1)对任意2, 1 x,都有)()(xgxf恒成立,求实数 a的取值范围;(构造新函数)2)对任意4 ,2,2, 121xx,都有)()(21xgxf恒成立,求实数 a的取值范围;(转化)简解: (1)由12012232xxxaxaaxx成立,只需满足12)(23xxxx的最小值大于a 即可 对12)(23xxxx求 导 ,0)12(12)(2224xxxx, 故)(x在2,1
4、 x是 增 函 数 ,32)1 ()(m i nx,所以a的取值范围是320a例 2、设函数bxxaxh)(,对任意2,21a,都有10)(xh在 1 ,41x恒成立,求实数b的范围分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数以本题为例,实质还是通过函数求最值解决方法 1:化归最值,10)(10)(maxxhxh;方法 2:变量分离,)(10xxab或xbxa)10(2;方法 3:变更主元(新函数) ,0101)(bxaxa,2,21a简解:方法 1:对bxxaxh)(求导,22)(1)(xaxaxxaxh, (单调函数)由此可知,)(xh在 1 ,41上的最大值为)41(
5、h与)1(h中的较大者ababbabahh944391011041410) 1(10)41(,对于任意2 ,21a,得b的取值范围是47b例 3、 已知两 函 数2)(xxf,mxgx21)(,对 任 意2,01x,存 在2 ,12x, 使 得21)(xgxf,则实数 m 的取值范围为答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精品资料欢迎下载案:41m题型二、更换主元和换元法例 1、已知函数( )ln()(xf xea a为常数)是实数集R上的奇函数,函数( )sing xf xx是区间1,1上的减函数, ()求a的值;
6、 ()若2( )11,1g xttx在上恒成立,求t的取值范围;()分析:在不等式中出现了两个字母:及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在, 1内关于的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。 ()略解:由 ()知:( )f xx,( )sing xxx,( )g x在11 ,上单调递减 ,()c o s0gxxcos x在1 1,上 恒 成 立 ,1,m a x()(1)s i n 1gxg,只 需2si n 11tt,2(1)sin110tt( 其 中1) 恒 成 立 , 由 上 述 结 论 : 可 令2(1)sin110(1ftt
7、), 则2t101sin110tt,21sin10ttt,而2si n 10tt恒成 立,1t。例 2、已知二次函数1)(2xaxxf对2, 0x恒有0)(xf,求 a的取值范围。解: 对2,0x恒有0)(xf即012xax变形为)1(2xax当0x时对任意的 a都满足0)(xf只须考虑0x的情况2)1(xxa即211xxa要满足题意只要保证 a 比右边的最大值大就行。现求211xx在2 ,0x上的最大值。令211txt41)21()(22ttttg(21t)43)21()(maxgtg所以43a又1)(2xaxxf是二次函数0a所以43a且0a例 3、对于满足 0a4 的所有实数 a 求使不
8、等式342axaxx都成立的 x 的取值范围答案:1x或3x题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精品资料欢迎下载此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧, 将另一侧看成新函数, 于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于x取值范围内的任一个数都有( )( )f xg a恒成立,则min( )( )g af x;若对于 x 取值范围内的任一个数都有( )( )f xg a恒成立,则max( )( )g af x. 例 1、当1,2x时,不等式24
9、0xmx恒成立,则m的取值范围是 . 解析: 当(1,2)x时,由240xmx得24xmx.5m. 例 2、已知函数( )ln()xf xea( a 为常数)是实数集R上的奇函数,函数( )cosg xxx在区间2,33上是减函数 . ()求 a的值与的范围;()若对()中的任意实数都有( )1g xt在2,33上恒成立,求实数 t 的取值范围 . ()若0m,试讨论关于 x 的方程2ln2( )xxexmfx的根的个数 . 解: () 、 ()略()由题意知,函数( )cosg xxx在区间2,33上是减函数 . max1( )(),332g xg( )1g xt在2,33上恒成立11,32
10、t132t(1)1,.32t题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)例 1、若对任意xR,不等式|xax恒成立,则实数 a的取值范围是 _ 解析:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精品资料欢迎下载对xR,不等式|xax恒成立、则由一次函数性质及图像知11a,即11a。例 2、不等式)4(xxax在3 ,0x内恒成立,求实数a 的取值范围。解:画出两个凼数axy和)4(xxy在 3, 0x上的图象如图33a知当3x时3y,当33a3,0x时总有)4(xxax所以33a例 4、已知函数36,2(
11、),63 ,2xxyf xx x若不等式( )2fxxm恒成立,则实数 m的取值范x y 0 3 axy|yx|yxyaxyaxxyO |yx|yxyaxyaxxyO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精品资料欢迎下载围是 . 解 : 在 同 一 个 平 面 直 角 坐 标 系 中 分 别 作 出 函 数2yxm及( )yf x的图象,由于不等式( )2f xxm恒成立, 所以函数2yxm的图象应总在函数( )yf x的图象下方,因此,当2x时,40,ym所以4,m故 m的取值范围是4,.题型五、其它(最值)处理方
12、法若在区间 D 上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间 D 上maxfxA;若在区间 D 上存在实数 x使不等式 fxB 成立,则等价于在区间 D 上的minfxB. 利用不等式性质1、存在实数x,使得不等式2313xxaa有解,则实数a的取值范围为 _。解:设31fxxx,由23fxaa有解,2min3aafx,又31314xxxx,234aa,解得41aa或。2、若关于 x 的不等式axx32恒成立,试求 a 的范围解 : 由 题 意 知 只 须a比32xx的 最 小 值 相 同 或 比 其 最 小 值 小 即 可 , 得min)32(xxa由5)3(232xxxx所以5a利用分类
13、讨论1、已知函数422)(axxxf在区间-1 ,2 上都不小于 2,求 a 的值。解:由函数422)(axxxf的对称轴为 x=a 所以必须考察 a 与-1,2 的大小,显然要进行三种分类讨论1) 当 a2 时 f(x)在-1 ,2上是减函数此时min)(xf= f(2)=4-4a+42即 a23结合 a2,所以 a2 2) 当 a1 时 f(x)在-1 ,2上是增函数,此时f(-1)=1+2a+42Oxy( )yf x2yxm2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精品资料欢迎下载min)(xf= f(-1)=1+
14、2a+42结合 a1即 a233) 当-1a2 时min)(xf= f(a)= 24222ax即 a2或 a2所以22a综上 1,2,3 满足条件的 a 的范围为: a23或 a2利用导数迂回处理1、已知) 1lg(21)(xxf)2lg()(txxg若当1 ,0x时)()(xgxf在0,1恒成立,求实数t 的取值范围解:)()(xgxf在0,1 上恒成立,即021txx在0,1上恒成立即021txx在0,1上的最大值小于或等于0 令txxxF21)(所以121412121)(xxxxF,又 1 ,0x所以0)(xF即)(xF在0,1上单调递减所以)0(max)(FxF,即01)0()(tFx
15、F得1t2、已知函数21ln202fxxaxx a存在单调递减区间,求a 的取值范围解: 因为函数fx存在单调递减区间,所以212120axxfxaxxx0,有解.即2120,axxx能成立 , 设212u xxx. 由2212111u xxxx得, min1ux.于是,1a, 由题设0a,所以 a 的取值范围是,00, 13、已知函数3( )(ln),( ).3af xxxm g xxx()当2m时,求( )f x的单调区间;()若32m时,不等式( )( )g xfx恒成立,求实数 a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
16、第 7 页,共 14 页精品资料欢迎下载解: ()略( ) 当32m时 , 不 等 式( )( )g xf x即33(ln)32axxxx恒 成 立 . 由 于0x,231ln32axx, 亦 即21ln32axx, 所 以213 ( l n)2xax. 令( )h x213(ln)2xx, 则36 l n( )xh xx,由( )0h x得1x.且当 01x时,( )0h x;当1x时,( )0h x,即( )h x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以( )h x在1x处取得极大值3(1)2h,也就是函数( )h x在定义域上的最大值.因此要使213(ln)2xax恒成立,需要
17、32a,所以 a的取值范围为3,2. 注:恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题型,往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结:恒成立与有解的区别:不等式fxM对xI时恒成立max( )fxM?,xI。即fx的上界小于或等于M;不等式fxM对xI时有解min( )fxM?,xI。 或fx的下界小于或等于M;不等式fxM对xI时恒成立min( )fxM?,xI。即fx的下界大于或等于M;不等式fxM对xI时有解max( )fxM,xI.。 或fx的上界大于或等于M;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,
18、共 14 页精品资料欢迎下载三、恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数2728fxxxc,322440g xxxx。(1)对任意3,3x,都有fxg x)成立,求实数c的取值范围;(2)存在3,3x,使fxg x成立,求实数c的取值范围;(3)对任意12,3,3xx,都有12fxg x,求实数c的取值范围;(4)存在12,3,3xx,都有12fxg x,求实数c的取值范围;2、设1a,若对于任意的 ,2xaa,都有2 ,ya a满足方程loglog3aaxy,这时 a的取值集合为()(A)2|1aa(B)|2a a(C)3|2 aa(D)2,33、若任意满足05030xyxyy的实数,xy,
19、不等式222()()a xyxy恒成立,则实数a的最大值是_ . 4、不等式2sin4sin10xxa有解,则a的取值范围是5、不等式4axxx在0,3x内恒成立,求实数a 的取值范围。6、设函数3221( )23(01,)3f xxaxa xbabR . ()求函数fx的单调区间和极值;()若对任意的,2, 1aax不等式fxa成立,求 a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精品资料欢迎下载7、 已知 A、 B、 C 是直线上的三点,向量OA, OB, OC满足:0OC1xlnOB1f2yOA. (1
20、)求函数 yf(x)的表达式;(2)若 x0,证明: f(x)2xx2;(3)若不等式3bm2mxfx21222时,1,1x及1,1b都恒成立,求实数m 的取值范围8、设xln2xqpxxf,且2epqeef(e 为自然对数的底数)(I) 求 p 与 q 的关系;(II)若xf在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围;(III) 设xe2xg,若在e,1上至少存在一点0x,使得00xgxf成立, 求实数 p 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精品资料欢迎下载课后作业答案:1、 解析:(1) 设32
21、2312h xg xfxxxxc, 问题转化为3,3x时,0h x恒成立, 故min0hx。令266126120hxxxxx, 得1x或2。 由导数知识,可知h x在3, 1单调递增,在1,2单调递减, 在2,3单调递增, 且345hc,17h xhc极大值,220h xhc极小值,39hc,min345hxhc,由450c,得45c。(2)据题意:存在3,3x,使fxgx成立,即为:0h xg xfx在3,3x有解,故max0hx,由( 1)知max70hxc,于是得7c。(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意12,3,3xx,都有12fxg x成立,不等式的左
22、右两端函数的自变量不同,1x,2x的取值在3,3上具有任意性,要使不等式恒成立的充要条件是:ma xmi n( )( ) , 3, 3fxgx?x?。27228,3, 3fxxcxmax3147fxfc,26840gxxx2 3102xx,0gx在区间3,3上只有一个解2x。min248g xg,14748c,即195c. ( 4 ) 存 在12,3,3xx, 都 有12fxg x, 等 价 于m in1m a x2fxgx, 由 (3) 得min1228fxfc,max23102gxg,28102130cc点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加
23、训练,准确使用其成立的充要条件。2、B。解析:由方程loglog3aaxy可得3ayx,对于任意的 ,2 xaa,可得2322aaax,依题意得22222aaaaa。3、 答案:2513。解析:由不等式222()()a xyxy可得21axyyx, 由线性规划可得312yx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精品资料欢迎下载4、解:原不等式有解22sin4sin1sin231sin1axxxx有解,而2minsin232x,所以2a。5、解:画出两个凼数yax和4yxx在0,3x上的图象如图知当3x时3y,33a
24、当33a,0,3x时总有4axxx所以33a6、解: ()2234)(aaxxxf(1 分)令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为( a,3a )令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为(,a)和( 3a ,+)(4 分)当 x=a 时,)(xf极小值 =;433ba当 x=3a 时,)(xf极小值 =b. (6 分)()由 |)(xf| a,得ax2+4ax 3a2 a.(7 分)0a2a. 2, 134)(22aaaaxxxf在上是减函数 . (9 分).44)2()(.12)1()(minmaxaafxfaafxf于是,对任意2, 1aax,不等式恒成立,等价于. 154. 12, 4
25、4aaaaa解得又, 10a.154a7、解: (1)OAy2f /(1)OBln(x 1)OC0,OAy2f /(1)OBln(x 1)OC由于 A、B 、C 三点共线即y2f /(1) ln(x 1)1 2 分yf(x)ln(x 1)12f /(1) f /(x) 1x1,得 f /(1) 12,故 f(x)ln(x 1)4 分x y 0 3 axy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精品资料欢迎下载(2)令 g(x)f(x)2xx2,由 g/(x) 1x12(x2)2x(x2)2x2(x1)(x2)2x0,g
26、/(x) 0,g(x)在(0, )上是增函数 6 分故 g(x)g(0)0 即 f(x)2xx28 分(3)原不等式等价于12x2f(x2) m2 2bm 3 令 h(x) 12x2f(x2) 12x2 ln(1 x2) ,由 h/(x) x2x1x2x3x1x2 10 分当 x1,1时,h(x)max 0,m2 2bm 30 令 Q(b)m2 2bm 3,则Q(1)m2 2m 30Q(1)m2 2m 30得 m 3 或 m3 12 分8、解: (I) 12ln20qpfepeeqepqeeee而10ee,所以pq(II) 由 (I) 知2lnpfxpxxx,22222ppxxpfxpxxx
27、4 分令22h xpxxp, 要使 fx 在其定义域(0,+) 内为单调函数, 只需 h(x) 在 (0,+) 内满足: h(x) 0 或 h(x) 0 恒成立. 5 分 当0p时,20,200pxxh x,所以fx在 (0,+) 内为单调递减,故0p; 当0p时,22h xpxxp,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为10xp,min11hxhppp,只需10pp,即 p1 时, h(x) 0,0fx,f (x) 在 (0,+) 内为单调递增,故p1 适合题意 . 综上可得, p1 或 p0 9 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
28、3 页,共 14 页精品资料欢迎下载(III) g(x) = 2ex在 1,e 上是减函数x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e 即 g(x) 2,2e 10 分 p0 时,由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2,不合题意。 0 p 1 时,由 x 1,e x1x0 f(x)=p (x1x)2lnx x1x2lnx 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式,故在1,e 递增f (x) x1x2ln x e1e2ln e = e 1e2 2 ,不合题意。12 分 p1 时,由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增, f (1) = 0 g(x)min = 2,x 1,e f (x)max = f (e) = p (e1e)2ln e 2 p 4ee 2113 分综上, p 的取值范围是(4ee 21,+) 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页