《2022年函数恒成立、能成立问题及课后练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年函数恒成立、能成立问题及课后练习（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立3 、 恰 成 立 问 题 的 转 化 ：afx在M上 恰 成 立afx的 解 集 为MRafxMafxC M在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若AxfDx)(,在 D 上恰成立，等价于)(xf在 D 上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在 D 上恰成立，则等价于)(xf在 D 上的最大值Bxf)(max. 4 、 设 函 数xf、xg， 对 任 意 的bax,1， 存在dcx,2，使 得
2、21xgxf， 则xgxfm i nm i n5 、 设函 数xf、xg，对 任意 的bax,1， 存在dcx,2，使 得21xgxf， 则xgxfm a xm a x6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfm i nm a x7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfma xm i n8、若不等式 fxg x 在区间 D 上恒成立，等价于在区间D 上函数 yfx 和图象在函数yg x 图象上方；9、若不等式 fxg x 在区间 D 上恒成立，等价于在区间D 上函数 yfx 和图象在函数yg x 图象下方；精选学
3、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精品资料欢迎下载二、经典题型解析题型一、简单型例 1、已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x1）对任意2, 1 x，都有)()(xgxf恒成立，求实数 a的取值范围；（构造新函数）2）对任意4 ,2,2, 121xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数 a的取值范围；（转化）简解： （1）由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a 即可 对12)(23xxxx求 导 ，0)12(12)(2224xxxx， 故)(x在2,1
4、 x是 增 函 数 ，32)1 ()(m i nx，所以a的取值范围是320a例 2、设函数bxxaxh)(，对任意2,21a，都有10)(xh在 1 ,41x恒成立，求实数b的范围分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方法 2：变量分离，)(10xxab或xbxa)10(2；方法 3：变更主元（新函数） ，0101)(bxaxa，2,21a简解：方法 1:对bxxaxh)(求导，22)(1)(xaxaxxaxh， （单调函数）由此可知，)(xh在 1 ,41上的最大值为)41(
5、h与)1(h中的较大者ababbabahh944391011041410) 1(10)41(，对于任意2 ,21a，得b的取值范围是47b例 3、 已知两 函 数2)(xxf，mxgx21)(，对 任 意2,01x，存 在2 ,12x， 使 得21)(xgxf，则实数 m 的取值范围为答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页精品资料欢迎下载案：41m题型二、更换主元和换元法例 1、已知函数( )ln()(xf xea a为常数）是实数集R上的奇函数，函数( )sing xf xx是区间1,1上的减函数， ()求a的值；
6、 ()若2( )11,1g xttx在上恒成立，求t的取值范围；()分析：在不等式中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在, 1内关于的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。 ()略解：由 ()知：( )f xx，( )sing xxx，( )g x在11 ，上单调递减 ，()c o s0gxxcos x在1 1，上 恒 成 立 ，1，m a x()(1)s i n 1gxg，只 需2si n 11tt，2(1)sin110tt（ 其 中1） 恒 成 立 ， 由 上 述 结 论 ： 可 令2(1)sin110(1ftt
7、）, 则2t101sin110tt，21sin10ttt，而2si n 10tt恒成 立，1t。例 2、已知二次函数1)(2xaxxf对2, 0x恒有0)(xf，求 a的取值范围。解： 对2,0x恒有0)(xf即012xax变形为)1(2xax当0x时对任意的 a都满足0)(xf只须考虑0x的情况2)1(xxa即211xxa要满足题意只要保证 a 比右边的最大值大就行。现求211xx在2 ,0x上的最大值。令211txt41)21()(22ttttg（21t）43)21()(maxgtg所以43a又1)(2xaxxf是二次函数0a所以43a且0a例 3、对于满足 0a4 的所有实数 a 求使不
8、等式342axaxx都成立的 x 的取值范围答案：1x或3x题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精品资料欢迎下载此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧， 将另一侧看成新函数， 于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于x取值范围内的任一个数都有( )( )f xg a恒成立，则min( )( )g af x；若对于 x 取值范围内的任一个数都有( )( )f xg a恒成立，则max( )( )g af x. 例 1、当1,2x时，不等式24
9、0xmx恒成立，则m的取值范围是 . 解析: 当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.5m. 例 2、已知函数( )ln()xf xea（ a 为常数）是实数集R上的奇函数，函数( )cosg xxx在区间2,33上是减函数 . （）求 a的值与的范围；（）若对（）中的任意实数都有( )1g xt在2,33上恒成立，求实数 t 的取值范围 . （）若0m，试讨论关于 x 的方程2ln2( )xxexmfx的根的个数 . 解： （） 、 （）略（）由题意知，函数( )cosg xxx在区间2,33上是减函数 . max1( )(),332g xg( )1g xt在2,33上恒成立11,32
10、t132t(1)1,.32t题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）例 1、若对任意xR,不等式|xax恒成立，则实数 a的取值范围是 _ 解析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精品资料欢迎下载对xR,不等式|xax恒成立、则由一次函数性质及图像知11a，即11a。例 2、不等式)4(xxax在3 ,0x内恒成立，求实数a 的取值范围。解：画出两个凼数axy和)4(xxy在 3, 0x上的图象如图33a知当3x时3y，当33a3,0x时总有)4(xxax所以33a例 4、已知函数36,2(
11、),63 ,2xxyf xx x若不等式( )2fxxm恒成立，则实数 m的取值范x y 0 3 axy|yx|yxyaxyaxxyO |yx|yxyaxyaxxyO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页精品资料欢迎下载围是 . 解 ： 在 同 一 个 平 面 直 角 坐 标 系 中 分 别 作 出 函 数2yxm及( )yf x的图象，由于不等式( )2f xxm恒成立， 所以函数2yxm的图象应总在函数( )yf x的图象下方，因此，当2x时，40,ym所以4,m故 m的取值范围是4,.题型五、其它（最值）处理方
12、法若在区间 D 上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间 D 上maxfxA；若在区间 D 上存在实数 x使不等式 fxB 成立,则等价于在区间 D 上的minfxB. 利用不等式性质1、存在实数x，使得不等式2313xxaa有解，则实数a的取值范围为 _。解：设31fxxx，由23fxaa有解，2min3aafx，又31314xxxx，234aa，解得41aa或。2、若关于 x 的不等式axx32恒成立，试求 a 的范围解 ： 由 题 意 知 只 须a比32xx的 最 小 值 相 同 或 比 其 最 小 值 小 即 可 ， 得min)32(xxa由5)3(232xxxx所以5a利用分类
13、讨论1、已知函数422)(axxxf在区间-1 ，2 上都不小于 2，求 a 的值。解：由函数422)(axxxf的对称轴为 x=a 所以必须考察 a 与-1，2 的大小，显然要进行三种分类讨论1） 当 a2 时 f(x)在-1 ，2上是减函数此时min)(xf= f(2)=4-4a+42即 a23结合 a2，所以 a2 2） 当 a1 时 f(x)在-1 ，2上是增函数，此时f(-1)=1+2a+42Oxy( )yf x2yxm2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页精品资料欢迎下载min)(xf= f(-1)=1+
14、2a+42结合 a1即 a233） 当-1a2 时min)(xf= f(a)= 24222ax即 a2或 a2所以22a综上 1，2，3 满足条件的 a 的范围为： a23或 a2利用导数迂回处理1、已知) 1lg(21)(xxf)2lg()(txxg若当1 ,0x时)()(xgxf在0，1恒成立，求实数t 的取值范围解：)()(xgxf在0，1 上恒成立，即021txx在0，1上恒成立即021txx在0，1上的最大值小于或等于0 令txxxF21)(所以121412121)(xxxxF，又 1 ,0x所以0)(xF即)(xF在0，1上单调递减所以)0(max)(FxF，即01)0()(tFx
15、F得1t2、已知函数21ln202fxxaxx a存在单调递减区间，求a 的取值范围解： 因为函数fx存在单调递减区间，所以212120axxfxaxxx0,有解.即2120,axxx能成立 , 设212u xxx. 由2212111u xxxx得, min1ux.于是,1a, 由题设0a,所以 a 的取值范围是,00, 13、已知函数3( )(ln),( ).3af xxxm g xxx（）当2m时，求( )f x的单调区间；（）若32m时，不等式( )( )g xfx恒成立，求实数 a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
16、第 7 页，共 14 页精品资料欢迎下载解： （）略（ ） 当32m时 ， 不 等 式( )( )g xf x即33(ln)32axxxx恒 成 立 . 由 于0x，231ln32axx， 亦 即21ln32axx， 所 以213 ( l n)2xax. 令( )h x213(ln)2xx， 则36 l n( )xh xx，由( )0h x得1x.且当 01x时，( )0h x；当1x时，( )0h x，即( )h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以( )h x在1x处取得极大值3(1)2h，也就是函数( )h x在定义域上的最大值.因此要使213(ln)2xax恒成立，需要
17、32a，所以 a的取值范围为3,2. 注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结：恒成立与有解的区别：不等式fxM对xI时恒成立max( )fxM?，xI。即fx的上界小于或等于M；不等式fxM对xI时有解min( )fxM?，xI。 或fx的下界小于或等于M；不等式fxM对xI时恒成立min( )fxM?，xI。即fx的下界大于或等于M；不等式fxM对xI时有解max( )fxM，xI.。 或fx的上界大于或等于M；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，
18、共 14 页精品资料欢迎下载三、恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数2728fxxxc，322440g xxxx。（1）对任意3,3x，都有fxg x)成立，求实数c的取值范围；（2）存在3,3x，使fxg x成立，求实数c的取值范围；（3）对任意12,3,3xx，都有12fxg x，求实数c的取值范围；（4）存在12,3,3xx，都有12fxg x，求实数c的取值范围；2、设1a，若对于任意的 ,2xaa，都有2 ,ya a满足方程loglog3aaxy，这时 a的取值集合为（）（A）2|1aa（B）|2a a（C）3|2 aa（D）2,33、若任意满足05030xyxyy的实数,xy，
19、不等式222()()a xyxy恒成立，则实数a的最大值是_ . 4、不等式2sin4sin10xxa有解，则a的取值范围是5、不等式4axxx在0,3x内恒成立，求实数a 的取值范围。6、设函数3221( )23(01,)3f xxaxa xbabR . （）求函数fx的单调区间和极值；（）若对任意的,2, 1aax不等式fxa成立，求 a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页精品资料欢迎下载7、 已知 A、 B、 C 是直线上的三点，向量OA， OB， OC满足：0OC1xlnOB1f2yOA. （1
20、）求函数 yf(x)的表达式；（2）若 x0，证明： f(x)2xx2；（3）若不等式3bm2mxfx21222时，1,1x及1,1b都恒成立，求实数m 的取值范围8、设xln2xqpxxf，且2epqeef（e 为自然对数的底数）(I) 求 p 与 q 的关系；(II)若xf在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；(III) 设xe2xg，若在e,1上至少存在一点0x，使得00xgxf成立, 求实数 p 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精品资料欢迎下载课后作业答案：1、 解析：（1） 设32
21、2312h xg xfxxxxc， 问题转化为3,3x时，0h x恒成立， 故min0hx。令266126120hxxxxx， 得1x或2。 由导数知识，可知h x在3, 1单调递增，在1,2单调递减， 在2,3单调递增， 且345hc，17h xhc极大值，220h xhc极小值，39hc，min345hxhc，由450c，得45c。（2）据题意：存在3,3x，使fxgx成立，即为：0h xg xfx在3,3x有解，故max0hx，由（ 1）知max70hxc，于是得7c。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意12,3,3xx，都有12fxg x成立，不等式的左
22、右两端函数的自变量不同，1x，2x的取值在3,3上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：ma xmi n( )( ) , 3, 3fxgx?x?。27228,3, 3fxxcxmax3147fxfc，26840gxxx2 3102xx，0gx在区间3,3上只有一个解2x。min248g xg，14748c，即195c. （ 4 ） 存 在12,3,3xx， 都 有12fxg x， 等 价 于m in1m a x2fxgx， 由 (3) 得min1228fxfc，max23102gxg，28102130cc点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加
23、训练，准确使用其成立的充要条件。2、B。解析：由方程loglog3aaxy可得3ayx，对于任意的 ,2 xaa，可得2322aaax，依题意得22222aaaaa。3、 答案：2513。解析：由不等式222()()a xyxy可得21axyyx， 由线性规划可得312yx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页精品资料欢迎下载4、解：原不等式有解22sin4sin1sin231sin1axxxx有解，而2minsin232x，所以2a。5、解：画出两个凼数yax和4yxx在0,3x上的图象如图知当3x时3y，33a
24、当33a，0,3x时总有4axxx所以33a6、解： （）2234)(aaxxxf（1 分）令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（ a,3a ）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（ 3a ，+）（4 分）当 x=a 时，)(xf极小值 =;433ba当 x=3a 时，)(xf极小值 =b. （6 分）（）由 |)(xf| a，得ax2+4ax 3a2 a.（7 分）0a2a. 2, 134)(22aaaaxxxf在上是减函数 . （9 分）.44)2()(.12)1()(minmaxaafxfaafxf于是，对任意2, 1aax，不等式恒成立，等价于. 154. 12, 4
25、4aaaaa解得又, 10a.154a7、解： (1)OAy2f /(1)OBln(x 1)OC0，OAy2f /(1)OBln(x 1)OC由于 A、B 、C 三点共线即y2f /(1) ln(x 1)1 2 分yf(x)ln(x 1)12f /(1) f /(x) 1x1，得 f /(1) 12，故 f(x)ln(x 1)4 分x y 0 3 axy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精品资料欢迎下载（2）令 g(x)f(x)2xx2，由 g/(x) 1x12(x2)2x(x2)2x2(x1)(x2)2x0，g
26、/(x) 0，g(x)在(0， )上是增函数 6 分故 g(x)g(0)0 即 f(x)2xx28 分（3）原不等式等价于12x2f(x2) m2 2bm 3 令 h(x) 12x2f(x2) 12x2 ln(1 x2) ，由 h/(x) x2x1x2x3x1x2 10 分当 x1，1时，h(x)max 0，m2 2bm 30 令 Q(b)m2 2bm 3，则Q(1)m2 2m 30Q(1)m2 2m 30得 m 3 或 m3 12 分8、解： (I) 12ln20qpfepeeqepqeeee而10ee，所以pq(II) 由 (I) 知2lnpfxpxxx，22222ppxxpfxpxxx
27、4 分令22h xpxxp， 要使 fx 在其定义域(0,+) 内为单调函数， 只需 h(x) 在 (0,+) 内满足： h(x) 0 或 h(x) 0 恒成立. 5 分 当0p时，20,200pxxh x，所以fx在 (0,+) 内为单调递减，故0p； 当0p时，22h xpxxp，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为10xp，min11hxhppp，只需10pp，即 p1 时， h(x) 0，0fx，f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故p1 适合题意 . 综上可得， p1 或 p0 9 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
28、3 页，共 14 页精品资料欢迎下载(III) g(x) = 2ex在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x) 2,2e 10 分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 0 p 1 时，由 x 1,e x1x0 f(x)=p (x1x)2lnx x1x2lnx 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在1,e 递增f (x) x1x2ln x e1e2ln e = e 1e2 2 ，不合题意。12 分 p1 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增， f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e1e)2ln e 2 p 4ee 2113 分综上， p 的取值范围是(4ee 21,+) 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
