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1、椭圆的方程及性质1. 椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹 ( 或集合 ) 叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距集合P M|MF1| |MF2| 2a ,|F1F2| 2c,其中 a0,c 0 (1) 当 2a|F1F2| 时动点的轨迹是椭圆;(2) 当 2a|F1F2| 时动点的轨迹是线段F1F2;(3) 当 2ab0) y2a2x2b21(ab0) 图形1. 椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系:给出椭圆方程x2my2n1 时,椭圆的焦点在x 轴上 ? m n0;椭圆的焦点在y 轴上 ? 0m n. 2. 求椭圆方程的方
2、法(1) 定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程(2) 待定系数法:根据椭圆焦点是在x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c 的方程组,解出a2、 b2,从而写出椭圆的标准方程(3) 不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21(m0,n0,mn). 3. 求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件列方程组,解出a,c 的值;二是由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率4. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1) 作
3、判断:根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上,还是在y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2) 设方程:根据上述判断设方程x2a2y2b21(ab0) 或x2b2y2a21(ab0) ;(3) 找关系:根据已知条件,建立关于a、 b、c 或 m 、n 的方程组;(4) 得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”. 5. 椭圆上任意一点M到焦点 F的所有距离中, 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为ac,最小距离为ac. 性质范围axa, bybbxb, aya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1( a,0) ,A2
4、(a,0) B1(0, b),B2(0,b) A1(0, a) ,A2(0,a) B1( b,0) ,B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a;短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2| 2c 离心率eca (0,1) a,b,c 的关系c2a2b2(ab0,ac0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页考点一椭圆的定义例 1已知椭圆 G的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上, 离心率为32,且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12,则椭圆 G的方程为 _解析:设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0) ,根据椭
5、圆定义2a12,即 a 6,又ca32,得 c33,故 b2a2c23627 9,故所求椭圆方程为x236y291. 1. 已知 ABC的顶点 B,C在椭圆x23y21 上,顶点 A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则 ABC的周长是 ( ) A23 B6 C 43 D 12 1. 解析由椭圆的定义知:|BA| |BF| |CA| |CF| 2a,周长为4a 43(F 是椭圆的另外一个焦点) 2. 设 F1,F2为定点, |F1F2| 6,动点 M满足 |MF1| |MF2| 6,则动点M的轨迹是 ( ) A.椭圆B.直线C.圆D.线段2. 解|MF1| |MF2| 6,|F1
6、F2| 6, |MF1| |MF2| |F1F2| ,点 M的轨迹是线段F1F2. 3. 如果方程x2a2y2a61 表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( ) A.(3 ,)B.( , 2) C.(3 , ) ( , 2) D.(3, ) ( 6, 2) 3. 解由于椭圆的焦点在x 轴上,所以a2a6,a60,即a2a30,a6.解得 a3 或 6a2,故选 D. 4. 已知方程x2|m| 1y22 m1 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m的取值范围是 ( ) A.m2 B.1m2 C.m1 或 1m2 D.m 1 或 1m0,2m0 ,2m|m|1.即m1 或m 1,m2 ,m32
7、.1m32或 m 1,故选 D. 考点二焦点三角形例 2. 已知 F1、F2是椭圆 C:x2a2y2b21(a b0)的两个焦点,P 为椭圆 C上的一点,且 PF1PF2. 若 PF1F2的面积为9,则 b_. 解析由题意知 |PF1| |PF2| 2a,PF1PF2, |PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2,(|PF1| |PF2|)22|PF1|PF2| 4c2, 2|PF1|PF2| 4a24c24b2. |PF1|PF2| 2b2,SPF1F212|PF1|PF2| 122b2b29. b3. 椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利
8、用定义和余弦定理可求|PF1| |PF2| ;通过整体代入可求其面积等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页1. 已知 F1、F2是椭圆x2100y2641 的两个焦点,P是椭圆上任一点,若F1PF23,求 F1PF2的面积1. 解设|PF1| m , |PF2| n. 根据椭圆定义有m n20,又 c100 646,在 F1PF2中,由余弦定理得m2n22mncos3 122, m2n2mn 144, (mn)2 3mn 144,mn 2563, SF1PF212|PF1|PF2|sin F1PF2122563326
9、433. 2. 已知 F1,F2为椭圆x2100y2b21(0bb0) 的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B两点,若 AF1B 的周长为 43,则 C的方程为 ( ) A.x23y221 Bx23y21 C.x212y281 Dx212y241 4. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且 G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 _5. 已知椭圆的焦点是F1( 1,0) ,F2(1,0) ,P是椭圆上的一点,若|F1F2| 是|PF1| 和|PF2| 的等差中项,则该椭圆的方程是_6. 求满足下列条件的椭圆的标准
10、方程:(1) 焦点在 y 轴上,焦距是4,且经过点M(3,2) ; (2)ac135,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x2169y21441 或y2169x2144 1. 7. 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3 和 1,则椭圆的标准方程为_1.解(1) 若椭圆的焦点在x 轴上 , 设方程为x2a2y2b21(a b0), 椭圆过点A(3,0),9a21,a 3, 2a32b,b1,方程为x29y21. 若椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆方程为y2a2x2b21(a b0) ,椭圆过点A
11、(3,0) ,02a29b21, b3,又 2a32b, a9,方程为y281x291. 综上所述,椭圆方程为x29y21 或y281x291. (2) 由 FMN为正三角形,则c |OF| 32|MN|3223b1. b3.a2b2c24. 故椭圆方程为x24y231. 2. 解由长轴长为18 知 a9,两个焦点将长轴长三等分,2c13(2a) 6, c3, b2a2c272,故选 C. 3. 解根据条件可知ca33,且 4a43, a3, c1,b2,椭圆的方程为x23y221. 4. 解设椭圆 G的标准方程为x2a2y2b21 (ab0) ,半焦距为c,则2a12,ca32,a6,c33
12、.b2a2c236279,椭圆G的方程为x236y29 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页5. 解由题意得2|F1F2| |PF1| |PF2| , 4c2a, c1, a2. b2a2c23,故椭圆方程为x24y231. 6. 解 (1) 由焦距是4 可得 c2, 且焦点坐标为(0, 2) , (0,2) 由椭圆的定义知, 2a32222322228,所以 a4,所以 b2a2c216412. 又焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y216x2121. (2) 由题意知, 2a26,即 a13,又ac135
13、,所以 c5,所以 b2a2c213252144,7. 解由题意可得ac3,ac 1.a2,c1.故 b2a2c23,所以椭圆方程为x24y231. 考点四 : 求椭圆离心率例 4. 椭圆x2a2y2b2 1(ab0) 的两顶点为A(a,0) ,B(0, b) ,且左焦点为F, FAB是以角 B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e 为( ) A.312 B.512 C.154 D.314解析:选B 根据已知a2b2a2(a c)2,即 c2aca20,即 e2e10,解得e152,故所求的椭圆的离心率为512. 1. 椭圆x2a2y2b21(ab0) 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是
14、F1,F2. 若|AF1| ,|F1F2| ,|F1B| 成等比数列,则此椭圆的离心率为_2. 椭圆x2a2y2b21(ab0) 的半焦距为c,若直线y2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为( ) A.32 B.31 C.22 D.21 3. 若焦点在y 轴上的椭圆x2my221 的离心率为12,则 m的值为 ( ) A1 B 32 C.3 D 834. 椭圆x216y281 的离心率为 ( ) A.13 B.12C.33 D.225. 椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率e 为( ) A.12 B.13C.14 D.226. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为1
15、3,长轴长为12,则椭圆方程为( ) A.x2144y21281 或x2128y21441 B.x26y241 C.x236y2321 或x232y2361 D.x24y261 或x26y241 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 30 页7. 已知P 是以F1, F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0) 上的一点,若 PF1PF20,tan PF1F212,则此椭圆的离心率为_8. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( ) A.22
16、 B.212 C.2 2 D.21 1. 解析:依题意得|F1F2|2|AF1| |BF1| ,即 4c2 (a c) (a c) a2c2,整理得5c2a2,得 eca55. 2. 解析:选D 依题意直线y2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c),所以c2a24c2b21,又 b2a2c2,消去 b 整理得a22ac c2 0,所以 e22e10,解得 e12. 又 e(0,1) ,所以 e21. 3. 解由题意得a22,b2 m , c22m ,又ca12,2m212, m 32. 4. 解析:选D a216,b28, c28, eca22. 5. 解由题意,得a 2c, eca12. 6
17、. 解由条件知a6,eca13, c2, b2a2c232,故选 C. 7. 解PF1PF20, PF1PF2,在 RtPF1F2中, tan PF1F2|PF2|PF1|12,设 |PF2| x,则 |PF1| 2x,由椭圆的定义|PF1| |PF2| 2a, x2a3, |PF1|2|PF2|2|F1F2|2, x24x24c2,209a24c2, eca53. 8. F1( c,0) , P(c, yP) 代入椭圆方程得c2a2y2Pb21, y2Pb4a2, |PF1| b2a|F1F2| ,即b2a2c,又 b2a2c2,a2c2a2c, e22e10,又 0e0 ”是“方程mx2n
18、y21 的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知椭圆:x210my2m 21 的焦距为4,则 m等于 ( ) A.4 B.8 C.4或 8 D.以上均不对3. 椭圆x2my241 的焦距是2,则 m的值是 ( )A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 30 页4. 已知 F1,F2是椭圆x216y291 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在 AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( )
19、A.6 B.5 C.4 D.3 5. 椭圆 x2my21 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为 ( ) A.14 B.12 C.2 D.4 6. 若椭圆x216y2m2 1过点 ( 2,3) ,则其焦距为 ( ) A.23 B.25 C.43 D.45 7. 设 F1、F2分别是椭圆x225y216 1 的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是 F1P的中点, |OM|3,则 P点到椭圆左焦点的距离为 _8. 椭圆 C1:x225y291 和椭圆 C2:x29ky225k1 (0kb0) 的左、右两个焦点,若椭圆C上的点 A(1,32) 到 F1、F2两点的距离之和为4,则椭圆C的方程
20、是 _,焦点坐标是 _1. 解:选 B 因为当 m0 ,n0 ,n0,mn0. 2. 解:选 C 由10m0 ,m 20,得 2m0)时,直线与椭圆相交;有两组相同的实数解( 0) 时,直线与椭圆相切;无实数解( b0) 过点 (0,4),离心率为35.(1) 求椭圆 C的方程; (2) 求过点 (3,0) 且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标5.P(1,1)为椭圆x24y22 1 内一定点,经过P引一弦,使此弦在P点被平分,求此弦所在的直线方程6. 已知斜率为2 的直线经过椭圆x25y241 的右焦点 F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为 _1. 解因为点 P在椭圆x22y231
21、 的外部,所以a221231,解得 a233或 a233,故选 B. 2. 解设 P(x0,y0) , a25,b24, c1, SPF1F212|F1F2| |y0| |y0| 1, y01,x205y204 1, x0152. 故选 D.3. 解析 设弦两端点A(x1,y1) , B(x2,y2) ,则x2116y2141,x2216y2241,两式相减并把x1x24,y1y2 2 代入得,y1y2x1x212,所求直线方程为y112(x 2) ,即 x2y 40. 4. 解析 (1) 将点 (0,4)代入椭圆C的方程,得16b21, b4,又 eca35,则a2b2a2925, 116a
22、2925, a 5,椭圆 C的方程为x225y2161. (2) 过点 (3,0) 且斜率为45的直线方程为y45(x 3) ,设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线方程y45(x3) 代入椭圆方程得x225x32251,即 x23x80, 由韦达定理得x1x23,所以线段 AB中点的横坐标为x1 x2232,纵坐标为45(323) 65,即所截线段的中点坐标为(32,65) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页5. 解析 解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y1k(x 1
23、) ,弦的两端点为A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由y1kx1,x24y221.消去 y 得, (2k21)x24k(k 1)x 2(k22k1) 0, x1x24kk12k21,又x1 x2 2,4kk12k212,得 k12故弦所在直线方程为y112(x 1) ,即 x 2y3 0解法二:由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,且设弦的两端点坐标为(x1,y1) 、(x2,y2) ,则x214y2121,x224y222 1,两式相减得x1x2x1x24y1y2y1y220, x1x22,y1y22,x1x22(y1y2) 0, ky1y2x1x212此弦所在直线方程为y112
24、(x 1),即 x2y30 方法规律总结 (1) 中点弦问题常用“点差法”求解,即P(x0,y0) 是弦 AB的中点, A(x1,y1) 、B(x2,y2) 在椭圆上,将 A、B坐标代入椭圆方程两式相减,然后结合x1x22x0,y1y22y0,及y2y1x2x1k 求解(2) 注意“设而不求,整体代换”方法的应用6. 解法一:直线l 过椭圆x25y241 的右焦点F1(1,0) ,又直线的斜率为2,直线l 的方程为y2(x 1) ,即 2xy20由方程组2xy20,x25y241,得交点 A(0, 2) ,B(53,43) |AB| xAxB2yAyB2053224321259553双曲线方程
25、及性质1. 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1) 在平面内; (2) 动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3) 这一定值一定要小于两定点的距离只有当 2a|F1F2| ,则轨迹不存在2. 双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程x2a2y2b21(a0 ,b0) y2a2x2b21(a0 ,b0) 性质范围xa或 x a,yRy a 或 ya, xR对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标: A1( a,0) , A2(a,0) 顶点坐标: A1(0 , a) ,A2(0 ,a) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
26、结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页渐近线ybax yabx 离心率eca,e(1 ,)a,b,c 的关系c2a2b2(c a0,cb0) 实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| 2a;线段 B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2| 2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长. 1. 在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看x2、y2 项分母的大小,而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴上,是看x2、y2系数的符号2. 求双曲线方程的几种方法(1) 定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a、2b 或 2c,从而求出
27、a2、 b2,写出双曲线方程(2) 待定系数法:先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上,设出标准方程,再由条件确定a2、b2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,方程可能有两种形式,求方程时应分类讨论,或者将方程设为mx2ny21(mn 0)(3) 已知双曲线的渐近线方程bxay 0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2a2y2( 0)根据其他条件确定 的值若求得0,则焦点在x 轴上;若求得 0,则焦点在y 轴上1. 双曲线x210y22 1的焦距为 ( )A.32 B.42 C.33 D.43 2. 双曲线 2x2y28 的实轴长是 ( )A.2 B.22 C.4 D.42 3
28、. 设双曲线x2a2y2b21(a 0,b 0) 的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y 2x B.y2x C.y 22x D.y 12x 4. 设 P是双曲线x2a2y29 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1| 3,则 |PF2| 等于 _5. 设点 P是双曲线x29y2161 上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,若|PF1| 10,则 |PF2| _6. 已知两定点F1( 3,0) 、F2(3,0) ,在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是( ) A|PF1| |PF2| 5 B|PF1|
29、|PF2| 6 C|PF1| |PF2| 7 D|PF1| |PF2| 0 1. 解由已知有c2a2b212, c23,故双曲线的焦距为43. 2. 解双曲线 2x2y28 的标准方程为x24y281,所以实轴长2a4. 3. 解由题意得b 1,c3. a2,双曲线的渐近线方程为ybax,即 y22x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页4. 解 由渐近线方程y32x,且 b3,得 a2,由双曲线的定义,得|PF2| |PF1| 4,又 |PF1| 3, |PF2| 7. 5. 解由双曲线方程,得a3,b 4,c
30、5当点 P在双曲线的左支上时,由双曲线定义,得|PF2| |PF1| 6,所以 |PF2| |PF1| 610 616;当点 P在双曲线的右支上时,由双曲线定义,得|PF1| |PF2| 6,所以 |PF2| |PF1| 610 64故|PF2| 4 或|PF2| 166. 注意双曲线定义中的“小于|F1F2| ”这一限制条件,其依据是“三角形两边之差小于第三边”实际上,(1) 若 2a|F1F2| ,即|PF1| |PF2| |F1F2| ,根据平面几何知识,当|PF1| |PF2| |F1F2| 时,动点轨迹是以F2为端点的一条射线;当|PF2| |PF1| |F1F2| 时,动点轨迹是以
31、F1 为端点的一条射线;(2) 若 2a|F1F2| ,即 |PF1| |PF2|F1F2| ,则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾,故动点轨迹不存在;(3) 特别的当2a0 时, |PF1|=|PF2| ,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线例 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1) 双曲线的一个焦点坐标是(0 , 6) ,经过点A( 5,6) _ (2) 与椭圆x216y2251 共焦点,且过点( 2,10) _ (3) 与双曲线x216y241 有公共焦点,且过点(32,2)_ 解(1) 解法一:由已知得,c 6,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是(
32、0,6) 因为点 A( 5,6) 在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a,即 2a|5266252662| |13 5| 8,得 a4,b2c2 a262 42 20因此,所求的双曲线标准方程是y216x2201解法二:由焦点坐标知c6, a2b236,双曲线方程为y2a2x236a2 1双曲线过点A(5,6) ,36a22536a21, a216,b220双曲线方程为y216x2201(2) 由x216y2251 知焦点为F1(0, 3),F2(0,3)设双曲线的方程为y2a2x2b21(a0 ,b0) ,则有10a24b21,a2b29.a25,b24所求的双曲线的方程为
33、y25x241(3) 依题意,设所求的双曲线的方程为x216ky24k1( 4k0) 与双曲线x24y231 有相同的焦点,则a 的值为 ( ) A.2 B.10 C.4 D.10 4. 已知双曲线x2a2y251 的右焦点为 (3,0) ,则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.435. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1) 两个焦点的坐标分别是( 5,0) ,(5,0) ,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2) 焦点在 x 轴上,经过点P(4, 2) 和点 Q(26,22) 6. 已知 C1:(x 4)2y21, C2:(x 4)2y225
34、,动圆 M与 C1与 C2均内切,求动圆的圆心M的轨迹方程1. 解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为: F1( 5,0) ,F2(5,0) 设曲线 C2上的一点P.则|PF1| |PF2| 8. 由双曲线的定义知: a4,b3. 故曲线 C2的标准方程为x242y2321. 2. 解析 由条件知c6,焦点在y 轴上,排除A、D;又双曲线经过点A(5,6) ,排除 C3. 解析 由条件知a294 3, a2 16, a0, a44. 双曲线的右焦点坐标为(3,0),所以 c 3,b25,则 a2c2b2954,所以 a2. 所以 eca32. 5. 解 (1) 由已知得, c 5,2a 8,即 a4
35、 c2a2b2, b2c2a252429焦点在x 轴上,所求的双曲线标准方程是x216y291(2) 设双曲线方程为mx2ny21(m0,n0) ,则16m 4n124m 8n1,m 18n14,双曲线方程为x28y24 16. 根据内切两圆的充要条件可得,|MC1| |MA|AC1| R 1,|MC2| |MB| |BC2| R5,|MC1| |MC2| 48|C1C2| ,点 M的轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的右支,c4,a2, b2 c2 a212,双曲线方程为x24y2121(x 2)1判断椭圆焦点在哪个轴上,看x2与 y2项分母的大小,判断双曲线焦点在哪个轴上,看x2与 y2项的
36、系数的正负2求双曲线的标准方程一般用待定系数法,特别的过两定点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)(2) 与双曲线x2a2y2b2 1 共焦点的双曲线方程可设为x2a2ky2b2k1(b2kr2) ,由双曲线定义,有r1r22a4,两边平方得r21r222r1r216 F1PF290, r21r224c24(13)252 2r1r2521636, SF1PF212r1r29(2) 若 F1PF260,在 F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2r21r222r1r2cos60 (r1r2)2r1r2,而 r1r24,|F1F2| 213, r1r236于是 SF1PF212r1r2sin
37、60 12363293同理可求得若F1PF2120时, SF1PF233 方法规律总结 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点,在焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点另外,还经常结合|PF1| |PF2| 2a,运用平方的方法,建立它与|PF1| | PF2| 的联系 . 1. 已知 F1,F2为双曲线C:x2y22 的左,右焦点,点P在 C上, |PF1| 2|PF2| ,则 cosF1PF2 ( ) A.14 B.35 C.34 D.452. 设 F1,F2是双曲线x23y21 的两个焦点, P在双曲线上,当F1PF2的面积为2 时,PFuuu r 1PFuuu
38、 r2的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3. 若双曲线x2my2n1(m0,n0) 和椭圆x2ay2b 1(ab0) 有相同的焦点F1,F2,M 为两曲线的交点, 则|MF1| |MF2| 等于 _1. 双曲线的定义有|PF1| |PF2| |PF2| 2a22, |PF1| 2|PF2| 42,cosF1PF2422222 422422234. 2. 解析:选B 设点 P(x0,y0) ,依题意得,|F1F2| 2314,SPF1F212|F1F2| |y0| 2|y0| 2, |y0| 1. 又 P在曲线上,x203 y201,即 x203(y201) 6. PFuuu r1
39、PFuuu r2( 2x0, y0) (2 x0, y0) x20y2043. 3. 解析 由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1| |MF2| 2m ,|MF1| |MF2| 2a,22得, 4|MF1| |MF2| 4a4m , |MF1| |MF2| am 双曲线的性质1. 过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成一个矩形,其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线“渐近”两字的含义:当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的对圆锥曲线来说, 渐近线是双曲线的特有性质,渐近线是刻画双曲线的一个重要概念, 画双曲线时应先画出它的渐近线2. 双曲线
40、上两个重要的三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 30 页(1) 实轴端点、虚轴端点及中心原点构成一个直角三角形,边长满足c2a2b2,称为双曲线的特征三角形(2) 焦点 F、过 F 作渐近线的垂线,垂足为D,则 |OF| c,|FD| _,|OD|a, OFD亦是直角三角形,满足|OF|2|FD|2|OD|2,也称为双曲线的特征三角形3. 等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为x2y2( 0),离心率 e2,渐近线方程为yx . 双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率e2? 双曲线的两条渐近线互相
41、垂直. 4. 双曲线的几何性质从以下三点关注:(1) “六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;(2) “四线”:两对称轴(实、虚轴 ),两渐近线;(3) “两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线上的一点(不包括顶点 ) 与两焦点构成的三角形5. 双曲线问题的三个易混点(1) 区分双曲线中的a,b,c 大小关系与椭圆a,b,c 关系,在椭圆中a2b2c2,而在双曲线中c2a2b2. (2) 双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e (0,1) (3) 双曲线x2a2y2b21(a0 ,b0)的渐近线方程是ybax,y2a2x2b2 1(a0, b0) 的渐近线方程是yabx. 6. 在双曲
42、线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容:(1) 已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3) 渐近线的斜率与离心率的关系,如 kbac2a2ac2a21e21. 双曲线的渐近线与离心率例 3. (2010辽宁 ) 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.312 D.512解析设双曲线方程为x2a2y2b21(a 0,b0) ,F(c,0) ,B(0,b) ,则 kBFbc,双曲线的渐近线方程为ybax,bcba 1,即 b2
43、ac,c2a2ac, e2e10,解得 e152. 又 e1, e512. 1. 若双曲线x2a2y2b21(a0 ,b0) 的离心率为2,则一条渐近线的方程为( ) Ay3x1 B y3x C y 3x1 D y3x 2. 设双曲线x2a2y291(a0) 的渐近线方程为3x2y 0,则 a 的值为 ( ) A4 B3 C2 D1 3. 已知双曲线C :x2a2y2b2 1(a0, b0)的离心率为52,则 C的渐近线方程为( ) Ay14x B y13x C y12x D yx4设 P是双曲线x2a2y291 上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分别是双曲线的左,右焦点,
44、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页若|PF1| 3,则 |PF2| ( ) A1 或 5 B 6 C 7 D 9 5. 已知双曲线x2a2y2b21(a0 ,b0) 的离心率为52,则该双曲线的渐近线斜率为( ) A2 B43C12 D 346. 已知双曲线C :x2a2y2b2 1 的焦距为10,点 P(2,1) 在 C的渐近线上,则C的方程为 ( ) A.x220y251 B.x25y220 1 C.x280y220 1 D.x220y280 1 1. 解析:选D 由题意知双曲线的渐近线方程为ybax c2a
45、2a2xe21x,故渐近线方程为y3x. 2. 解析 双曲线的焦点在x 轴上,渐近线方程为y3ax,又已知渐近线方程为3x2y 0,即 y32x, a23. 解析 eca52,c2a254, b2c2a254a2a2a24,ba12,即渐近线方程为y12x4. 解析:选C 由渐近线方程3x2y0,知ba32. 又 b29,所以 a2,从而 |PF2| 7. 5. 解析:选C b2a2c2a2a2e2114,由此可得双曲线的渐近线的斜率为kba12. 6. 解析 由已知可得双曲线的焦距2c 10,a2b25225,排除 C,D,又由渐近线方程为ybax12x,得12ba,解得 a220,b25.
46、 1. 双曲线 2x2y28 的虚轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.42 2. 双曲线方程:x2|k| 2y25k 1,那么 k 的范围是 ( ) Ak5 B 2k5 C 2k2 D 2k5 3. 已知双曲线的离心率为2,焦点是 ( 4,0) ,(4,0) ,则双曲线方程为_4. 已知双曲线8kx2ky2 8 的一个焦点为 (0,3),则 k 的值5. 设双曲线x2a2y2b21(0a5”是“方程x2k5y2k 21 表示双曲线”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件7. 与椭圆x24y21 共焦点且过点P(2,1) 的双曲线方程是( )
47、A.x24y21 B.x22y21C.x23y231 D x2y221 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 30 页8. 已知点 (2,3) 在双曲线C:x2a2y2b21(a0 ,b0)上, C的焦距为4,则它的离心率为_9. 双曲线 C与椭圆x227y2361 有相同焦点,且经过点(15,4) (1) 求双曲线C的方程; (2) 若 F1,F2是双曲线C的两个焦点, 点 P在双曲线C上,且F1PF2120, 求F1PF2的面积10. 设 A,B分别为双曲线x2a2y2b21(a0 ,b0) 的左,右顶点,双曲线的实轴长
48、为43,焦点到渐近线的距离为3. (1) 求双曲线的方程;(2) 已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M ,N两点, 且在双曲线的右支上存在点D,使OMuuuu rONuuu rtODuuu r,求 t 的值及点D的坐标1. 解选 C由题意知, b 22,故虚轴长为2a4.2. 解:选 D由题意知, (|k|2)(5 k)0 ,解得 2k5. 3. 解析:由已知可得c4, a2,所以 b212,故双曲线的方程为x24y2121. 4. 将双曲线方程化为kx2k8y21,即x21ky28k1因为一个焦点是(0,3) ,所以焦点在y 轴上,所以c3, a28k,b21k,所以 a2b28k1k9
49、kc29所以 k 15. 解析 由 l 过两点 (a,0) ,(0,b) ,得 l 的方程为bxayab0由原点到l 的距离为34c 得,aba2b234c将 bc2a2代入平方后整理得,16(a2c2)216a2c23 0解关于a2c2的一元二次方程得a2c234或14eca, e233或 e2因 0a2,所以应舍去e233,故所求离心率e26. 解析:选A 当 k5 时,方程表示双曲线;反之,方程表示双曲线时,有k5 或 k2. 故选 A. 7. 解析:选B 椭圆的焦点坐标为 ( 3,0) ,四个选项中,只有x22y21 的焦点为 ( 3,0) ,且经过点P(2,1) 8. 解析:法一:点
50、(2,3) 在双曲线C:x2a2y2b21 上, 则4a29b21, 又由于 2c4, 所以 a2b24. 解方程组4a29b21,a2b24,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 30 页得 a1 或 a4. 由于 a0, b0) ,则 a2 b232 9. 又双曲线经过点(15,4), 所以16a215b21, 解得a24,b25 或 a236,b2 27( 舍去 ) ,所求方程为y24x251. (2) 由双曲线C的方程,知a2, b5,c 3. 设|PF1| m ,|PF2| n,则 |mn| 2a4,平方得 m22
51、mn n216. 在 F1PF2中,由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 120 m2n2mn 36. 由得 mn203. 所以 F1PF2的面积为S12mnsin 120533. 10. 解: (1) 由题意知a23,一条渐近线为yb23x,即 bx23y0. |bc|b2123,解得 b23,双曲线的方程为x212y231. (2) 设 M(x1,y1) , N(x2, y2) ,D(x0,y0) ,则 x1x2tx0,y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2163x840,则 x1 x2 163,y1y212. x0y0433,x2012y2031.x043,y03. t
52、4,点 D的坐标为 (43, 3) 直线与双曲线的综合问题- 抛物线一.等轴双曲线1.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为x2y2 ( 0),离心率e2,渐近线方程为y x. 2.等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率e2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系 )二.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a,b,c 即可求得方程(2)待定系数法待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线x2a2y2b21共渐近线的可设为x2a2y2b2 0 ;若渐近线方程为ybax,则可设为x2a2y2b2 0 ;若过两个已知点则
53、设为x2my2n1 mn0,b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2t (t0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 30 页方程,即方程x2a2y2b20 就是双曲线x2a2y2b21 (a0,b0)的两条渐近线方程. 三.双曲线问题的五个易混点(1)区分双曲线中的a,b,c 大小关系与椭圆a,b, c 关系,在椭圆中a2b2c2,而在双曲线中c2a2b2. (2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e(0
54、,1)由于eca是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2 c2 a2消去 b,然后变形即可求e,并注意e1. (3)双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的渐近线方程是ybax,y2a2x2b21(a0,b0)的渐近线方程是yabx. (4)若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. (5)直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. 四.直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关
55、于x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于0 时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0 时,用判别式 来判定 .(1)用“ 点差法 ”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. (2) 设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|AB|1k2 x1x224x1x211k2 y1y224y1y2题型一直线与双曲线的位置关系例 1.已知双曲线C:x2y21 及直线 l:y kx1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围;(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O 是坐标原点,且AOB 的面
56、积为2,求实数k 的值 . 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,则方程组x2y21,y kx1有两个不同的实数根,整理得 (1k2)x2 2kx20.1k20, 4k28 1k20,解得2k|x2|时, SOABSOADSOBD12(|x1|x2|)12|x1x2|;当 A,B 在双曲线的两支上且x1x2时, SOABSODASOBD12(|x1| |x2|)12|x1x2|. SOAB12|x1 x2|2,(x1x2)2(2 2)2,即 (2k1k2)281k28,解得 k0 或 k62. 又2k2,且 k 1, 当 k 0 或 k62时, AOB 的面积为2. 1.已知双曲
57、线x2y22 1,过点 P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段 AB 的中点?1.解设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB 的中点为 (x0, y0),若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P 的直线 l 的方程为 y1k(x1),即 y kx1k. 由ykx1k,x2y22 1,得(2k2)x2 2k(1k)x(1k)22 0 (2k2 0).6 分 x0x1x22k 1 k2k2.由题意,得k 1k2k21,解得 k2.当 k2 时,方程 成为 2x24x30. 1624 80,b0).由已知得: a3,c2,再由 a2b2c
58、2,得 b21,双曲线 C 的方程为x23y21. (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB),将 ykx2代入x23y21,得, (13k2)x26 2kx90. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 30 页由题意知13k20, 36 1k20,xAxB62k1 3k20,解得33k1.当33k0)易知抛物线y216x 的准线方程为x 4,联立x2a2y2a21,x 4,得16y2a2.(*) 因为 |AB|43,所以 y 2 3.代入 (*) 式,得 16( 2 3)2a2,解得 a2(a0)所以双曲线C 的实轴长为
59、2a4. 4.设 A,B 分别为双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4 3,焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程;(2)已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OMuu uu rONuuu rtODu uu r,求 t 的值及点 D 的坐标4.解: (1)由题意知 a2 3,一条渐近线为yb23x,即 bx23y0.|bc|b2123,解得 b23,双曲线的方程为x212y231. (2)设 M(x1,y1),N(x2, y2),D(x0,y0),则 x1x2tx0, y1 y2ty0. 将直线方程代入双曲线方
60、程得x2163x84 0,则 x1x2163, y1 y2 12. x0y04 33,x2012y2031.x04 3,y03. t4,点 D 的坐标为 (43,3)5设双曲线y2a2x231 的两个焦点分别为F1,F2,离心率为2. (1)求此双曲线的渐近线l1, l2的方程;(2)若 A,B 分别为 l1,l2上的点,且2|AB| 5|F1F2|,求线段AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线5.解: (1) e2,c24a2. c2a23,a1,c2.双曲线方程为y2x231,渐近线方程为y33x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y)2|A
61、B|5|F1F2|,|AB|52|F1F2|522c10. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 30 页x1x22 y1y2210.又 y133x1,y233x2,2xx1x2,2yy1 y2,y1y233(x1x2),y1y233(x1x2),3 y1 y2233x1x2210,3(2y)213(2x)2100,即x2753y2251.则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为103,短轴长为1033的椭圆1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:(1)在平面内; (2)动点到定点F 距离与到定直线l
62、 的距离相等;(3)定点不在定直线上当定点 F 在定直线l 上时,动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线2 抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y2 2px(p0)x22py(p0)x2 2py(p0) p 的几何意义:焦点F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0) 对称轴y0 x0 焦点Fp2,0F p2,0F 0,p2F 0,p2离心率e1 准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0,yRx0,yRy0,xRy 0,xR开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P(x0,y0)|PF|x0p2|PF| x0p2|PF| y0p2|PF| y0p2抛物线的标准方程与性质例 1
63、(1)抛物线 y224ax(a0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为() Ay28xBy212x Cy216xDy220x(2)设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_解 (1)由题意知, 36a5,a13,则抛物线方程为y28x. (2)抛物线的焦点F 的坐标为p2,0 ,线段 FA 的中点 B 的坐标为p4,1 ,代入抛物线方程得12pp4,解得 p2,故点 B 的坐标为24,1 ,故点 B 到该抛物线准线的距离为2422324. 精选学习资料 - - - - - - - - -
64、名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 30 页1设抛物线的顶点在原点,准线方程为x 2,则抛物线的方程是() Ay2 8xBy2 4x Cy28xDy24x1.解析: 选 C由抛物线准线方程为x 2 知 p4,且开口向右,故抛物线方程为y28x. 2.(1)若点 P 到直线 y 1 的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点 P 的轨迹方程是_(2)过抛物线y24x 的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则 |AB|等于 _2.解析: (1)由题意可知点P 到直线 y 3 的距离等于它到点(0,3) 的距离,故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点
65、,以y 3 为准线的抛物线,且p6,所以其标准方程为x212y. (2)抛物线的准线方程为x 1,则 AB 中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义得|AB|8. 3.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, |AB|12,P 为 C 的准线上一点,则 ABP 的面积为 () A18 B24 C36 D48 3.解析: 选 C设抛物线方程为y22px,则焦点坐标为p2, 0 ,将 xp2代入 y22px 可得 y2 p2,|AB|12,即 2p12,得 p6.点 P 在准线上,到AB 的距离为p6,所以PAB 的面积为1261236. 直线与抛
66、物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB| x1x2p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求 ”“ 整体代入 ”等解法 . 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法 ”求解 . 1.抛物线 y12x2的焦点坐标是() A.(0,18) B.(18,0) C.(0,12) D.(12,0) 1.解析把原方程先化为标准方程x2 2y,则 2p2, p212,即焦点坐标为(0,12
67、),故选 C. 2.(2013四川 )抛物线 y24x 的焦点到双曲线x2y231 的渐近线的距离是() A.12B.32C.1 D.3 2.解析抛物线 y24x 的焦点 F(1,0),双曲线 x2y23 1 的渐近线是y 3x,即3x y0,所求距离为| 3 0|32 1232.选 B. 3.已知抛物线y2 2px(p0),过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x1 B.x 1 C.x2 D. x 2 3.解析y22px 的焦点坐标为 (p2,0),过焦点且斜率为1 的直线方程为yxp2,精选学习资料 - - - -
68、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 30 页即 xyp2,将其代入y22px,得 y22pyp2,即 y22py p20.设 A(x1,y1),B(x2, y2),则 y1y22p, y1y22p 2,抛物线的方程为y24x,其准线方程为x 1. 4.已知抛物线y2 2px(p0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2, y2),则y1y2x1x2的值一定等于() A.4 B.4 C.p2D.p24.解析若焦点弦AB x 轴,则 x1x2p2,则 x1x2p24; 若焦点弦 AB 不垂直于x 轴,可设AB:yk(xp2),联立 y
69、22px 得 k2x2 (k2p 2p)xp2k240,则 x1x2p24.则 y1y2 p2.故y1y2x1x2 4. 5.若点 P 到直线 y 1的距离比它到点(0, 3)的距离小2,则点 P 的轨迹方程是_. 5.解析由题意可知点P 到直线 y 3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点,以y 3为准线的抛物线,且p6,所以其标准方程为x212y. 抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值,但首先要判断抛物线是否为标准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向 )判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中的距离相
70、等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合 )时,直线与抛物线也只有一个交点. 1.动圆过点 (1,0),且与直线x 1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_. 1.解析设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点 (1,0)的距离与到直线x 1 的距离相等, 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. 2.若抛物线y22px 的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合,则p 的值为 _ 2.解析因为椭圆x26y22 1 的右焦点为 (2,0),所以抛物线y22px 的焦点为 (2,0),则 p4. 精选学习资料 - - - - -
71、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 30 页3.抛物线 yx2上一点到直线2xy40 的距离最短的点的坐标是() A.12,14B(1,1) C.32,94D(2,4) 3.解析: 选 B法一: 设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得d|2xy4|5|2xx24|5| x123|5x123535.当 x1 时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1)法二: 设 2xym0 与 yx2相切, 则 x22xm0. 44m0,得 m 1,此时 x1,故点的坐标为 (1,1)4.已知过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A,B 两点, |AF|
72、 2,则 |BF|_. 4.解析: 设点 A,B 的横坐标分别是x1, x2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|x112, x1 1,直线 AF 的方程是 x1,此时弦 AB 为抛物线的通径,故|BF|AF|2. 5.已知抛物线y2 2x 的焦点是F,点 P 是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求 |PA| |PF|的最小值,并求出取最小值时点 P 的坐标 . 5.思维启迪由定义知,抛物线上点P 到焦点 F 的距离等于点P 到准线 l 的距离 d,求 |PA| |PF|的问题可转化为求|PA|d 的问题 .解将 x3 代入抛物线方程y22x,得 y 6.62,A 在抛物线内部,如图.设抛物
73、线上点P 到准线 l:x12的距离为d,由定义知 |PA|PF|PA| d,当 PAl 时, |PA|d 最小,最小值为72,即|PA|PF|的最小值为72,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y22x,得 x2, 点 P 的坐标为 (2,2). 6.已知点 P是抛物线 y22x 上的一个动点, 则点 P到点 (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.172B.3 C.5 D.926.解析抛物线 y22x 的焦点为F(12,0),准线是l,由抛物线的定义知点P 到焦点 F 的距离等于它到准线l 的距离,因此要求点P 到点 (0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的
74、最小值,可以转化为求点P 到点 (0,2)的距离与点P到焦点 F 的距离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点 (0,2)的距离 .因此所求的最小值等于122 22172,选 A. 已知抛物线y2 2px(p0),过其焦点的直线交抛物线于A,B 两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:(1)|AB|x1x2p 或|AB|2psin2(为 AB 所在直线的倾斜角);(2)x1x2p24; y1y2 p2;(3)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为2p. (4)1|AF|1|BF|为定值;(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相
75、切. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 30 页证明(2)由已知得抛物线焦点坐标为(p2,0).由题意可设直线方程为xmyp2,代入 y22px,得 y22p(myp2),即 y22pmyp2 0.(*) 则 y1、y2是方程 (*) 的两个实数根,所以y1y2 p2. 因为 y212px1, y22 2px2,所以 y21y224p2x1x2,所以 x1x2y21y224p2p44p2p24. (4)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24,x1x2|AB|p,
76、代入上式,得1|AF|1|BF|AB|p24p2|AB|p p242p(定值 ). (5)设 AB 的中点为M(x0,y0),分别过A、B 作准线的垂线,垂足为C、D,过 M 作准线的垂线,垂足为N,则 |MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 1抛物线x2(2a1)y 的准线方程是y1,则实数a() A.52B.32C12D321.解析: 选 D把抛物线方程化为x2 212a y,则 p12 a,故抛物线的准线方程是yp212a2,则12a2 1,解得 a32. 2已知抛物线y24x,若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛
77、物线交于A,B 两点, O 是坐标原点,则OAB 的面积是() A1 B2 C4 D 6 2.解析: 选 B焦点坐标是 (1,0),A(1,2),B(1, 2),|AB|4,故OAB 的面积 S12|AB|OF|12412. 3直线 y x1 截抛物线y22px 所得弦长为2 6,此抛物线方程为() Ay2 2xBy26xCy2 2x 或 y2 6xD以上都不对3.解析: 选 C由yx1,y22px,得 x2 (22p)x1 0.x1 x2 2p2, x1x21. 则 2 6112x1x224x1x222p 224.解得 p 1 或 p3,故抛物线方程为y2 2x 或 y26x. 4.设斜率为
78、2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F,且和 y 轴交于点A,若 OAF(O 为坐标原点 )的面积为4,则抛物线的方程为 () Ay2 4xBy2 8x Cy24xDy28x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 30 页4.解析: 选 B由题可知抛物线焦点坐标为a4,0 ,于是过焦点且斜率为2 的直线的方程为y2 xa4,令 x 0,可得A 点坐标为0,a2,所以 S OAF12|a|4|a|2 4.得 a 8 故抛物线方程为y 8x. 5.下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4米,水
79、位下降1 米后,水面宽 _米5.解析 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2 2py(p0),由题意知抛物线过点(2, 2),代入方程得p1,则抛物线的方程为x2 2y,当水面下降1 米时,为y 3,代入抛物线方程得x 6,所以此时水面宽为2 6米6.过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A,B 两点若 |AF|3,则 |BF|_. 6.解析: 如图,设A(x0,y0)(y00? 直线与圆锥曲线C 相交; 0? 直线与圆锥曲线C 相切; 0? 直线与圆锥曲线C 相离(2)当 a0,b0 时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交点,此时,若
80、 C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合(3)直线与圆锥曲线只有一个公共点时,是否是直线与圆锥曲线相切?提示: 直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线,双曲线与平行于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点,但不是相切,而是相交2圆锥曲线的弦长与弦长有关问题的解法(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是:将直线方程代入圆锥曲线方程,消去y(或 x)后,得到关于 x(或 y)的一元二次方程ax2bxc0(或 ay2byc0),设斜率为k(k0)的直线l 与圆锥
81、曲线C 相交于A,B 两点, A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x211k2 |y1y2|11k2 y1y224y1y2. 抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p2psin2(2)涉及弦的中点及直线的斜率问题,可考虑用“点差法”,构造出kABy1y2x1x2和 x1x2,y1y2,运用整体代入的方法,求中点或斜率,体现“设而不求”的思想考点一直线与圆锥曲线的位置关系1.ykx2 与 y28x有且仅有一个公共点,则k 的取值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 30 页
82、2.已知双曲线E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N(12, 15), 则 E的方程为 ()A.x23y261 B.x24y251 C.x26y231 D.x25y241 3.已知直线xy10 与抛物线 yax2相切,则 a 等于 () A.12B.13C.14D4 4.直线 ybax3 与双曲线x2a2y2b21 的交点个数是 () A1 B2 C1 或 2 D0 5.已知以 F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y40 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A32 B26 C2 7 D426
83、.直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为 ()A相交B相切 C相离D不确定7.过点 (0,1)作直线,使它与抛物线y24x 仅有一个公共点,这样的直线有() A1 条B2 条 C3 条D4 条8.若直线 mxny4 与 O:x2y24 没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数是 ()A至多为 1 B2 C1 D0 9.已知双曲线E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N(12, 15), 则 E的方程为 ()A.x23y261 B.x24y251C.x26y231 D.x2
84、5y241 10.设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是()A.12,12B2,2 C1,1 D4,4 11.以直线 x 2y0 为渐近线,且截直线xy 30 所得弦长为833的双曲线方程为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 30 页12.已知 (4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点,则l 的方程是 _13.设 F1,F2分别是椭圆E:x2y2b21(0b0.所以|AB|1k2 x1x224x1x2118243638
85、 123833. 解得 4,故所求双曲线方程是x24y21. 12.解析: 设直线 l 与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)则x2136y2191,且x2236y2291,两式相减得y1y2x1x2x1x24 y1y2. 又 x1x28,y1y24,所以y1y2x1x212,故直线 l 的方程为y212(x4),即 x2y80. 13.解: (1)由椭圆定义知 |AF2|AB|BF2|4,又 2|AB|AF2|BF2|,得 |AB|43. (2)l 的方程为 yxc,其中 c1b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组yxc,x2y2b21,化简得 (1b2)x22cx12b20. 则 x1 x22c1b2,x1x212b21b2.因为直线 AB 的斜率为 1,所以 |AB|2|x2x1|,即432|x2x1|. 则89(x1x2)24x1x24 1b21b2 24 12b21b28b41b2 2,解得 b22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 30 页