《2022年高三第一轮复习圆锥曲线的方程及性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三第一轮复习圆锥曲线的方程及性质（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆的方程及性质1. 椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹 ( 或集合 ) 叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合P M|MF1| |MF2| 2a ，|F1F2| 2c，其中 a0，c 0 (1) 当 2a|F1F2| 时动点的轨迹是椭圆；(2) 当 2a|F1F2| 时动点的轨迹是线段F1F2；(3) 当 2ab0) y2a2x2b21(ab0) 图形1. 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2my2n1 时，椭圆的焦点在x 轴上 ? m n0；椭圆的焦点在y 轴上 ? 0m n. 2. 求椭圆方程的方
2、法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c 的方程组，解出a2、 b2，从而写出椭圆的标准方程(3) 不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21(m0，n0,mn). 3. 求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c 的值；二是由已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率4. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1) 作
3、判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2) 设方程：根据上述判断设方程x2a2y2b21(ab0) 或x2b2y2a21(ab0) ；(3) 找关系：根据已知条件，建立关于a、 b、c 或 m 、n 的方程组；(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”. 5. 椭圆上任意一点M到焦点 F的所有距离中， 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac. 性质范围axa, bybbxb, aya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1( a,0) ，A2
4、(a,0) B1(0, b)，B2(0,b) A1(0, a) ，A2(0,a) B1( b,0) ，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2| 2c 离心率eca (0,1) a，b，c 的关系c2a2b2(ab0,ac0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页考点一椭圆的定义例 1已知椭圆 G的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上， 离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 G的方程为 _解析：设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0) ，根据椭
5、圆定义2a12，即 a 6，又ca32，得 c33，故 b2a2c23627 9，故所求椭圆方程为x236y291. 1. 已知 ABC的顶点 B，C在椭圆x23y21 上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 ABC的周长是 ( ) A23 B6 C 43 D 12 1. 解析由椭圆的定义知：|BA| |BF| |CA| |CF| 2a，周长为4a 43(F 是椭圆的另外一个焦点) 2. 设 F1，F2为定点， |F1F2| 6，动点 M满足 |MF1| |MF2| 6，则动点M的轨迹是 ( ) A.椭圆B.直线C.圆D.线段2. 解|MF1| |MF2| 6，|F1
6、F2| 6， |MF1| |MF2| |F1F2| ，点 M的轨迹是线段F1F2. 3. 如果方程x2a2y2a61 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A.(3 ，)B.( ， 2) C.(3 ， ) ( ， 2) D.(3， ) ( 6， 2) 3. 解由于椭圆的焦点在x 轴上，所以a2a6，a60，即a2a30，a6.解得 a3 或 6a2，故选 D. 4. 已知方程x2|m| 1y22 m1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( ) A.m2 B.1m2 C.m1 或 1m2 D.m 1 或 1m0，2m0 ，2m|m|1.即m1 或m 1，m2 ，m32
7、.1m32或 m 1，故选 D. 考点二焦点三角形例 2. 已知 F1、F2是椭圆 C：x2a2y2b21(a b0)的两个焦点，P 为椭圆 C上的一点，且 PF1PF2. 若 PF1F2的面积为9，则 b_. 解析由题意知 |PF1| |PF2| 2a，PF1PF2， |PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1| |PF2|)22|PF1|PF2| 4c2， 2|PF1|PF2| 4a24c24b2. |PF1|PF2| 2b2，SPF1F212|PF1|PF2| 122b2b29. b3. 椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利
8、用定义和余弦定理可求|PF1| |PF2| ；通过整体代入可求其面积等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页1. 已知 F1、F2是椭圆x2100y2641 的两个焦点，P是椭圆上任一点，若F1PF23，求 F1PF2的面积1. 解设|PF1| m ， |PF2| n. 根据椭圆定义有m n20，又 c100 646，在 F1PF2中，由余弦定理得m2n22mncos3 122， m2n2mn 144， (mn)2 3mn 144，mn 2563， SF1PF212|PF1|PF2|sin F1PF2122563326
9、433. 2. 已知 F1，F2为椭圆x2100y2b21(0bb0) 的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B两点，若 AF1B 的周长为 43，则 C的方程为 ( ) A.x23y221 Bx23y21 C.x212y281 Dx212y241 4. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且 G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 _5. 已知椭圆的焦点是F1( 1,0) ，F2(1,0) ，P是椭圆上的一点，若|F1F2| 是|PF1| 和|PF2| 的等差中项，则该椭圆的方程是_6. 求满足下列条件的椭圆的标准
10、方程：(1) 焦点在 y 轴上，焦距是4，且经过点M(3,2) ； (2)ac135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169y21441 或y2169x2144 1. 7. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3 和 1，则椭圆的标准方程为_1.解(1) 若椭圆的焦点在x 轴上 , 设方程为x2a2y2b21(a b0), 椭圆过点A(3,0),9a21,a 3， 2a32b，b1，方程为x29y21. 若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21(a b0) ，椭圆过点A
11、(3,0) ，02a29b21， b3，又 2a32b， a9，方程为y281x291. 综上所述，椭圆方程为x29y21 或y281x291. (2) 由 FMN为正三角形，则c |OF| 32|MN|3223b1. b3.a2b2c24. 故椭圆方程为x24y231. 2. 解由长轴长为18 知 a9，两个焦点将长轴长三等分，2c13(2a) 6， c3， b2a2c272，故选 C. 3. 解根据条件可知ca33，且 4a43， a3， c1，b2，椭圆的方程为x23y221. 4. 解设椭圆 G的标准方程为x2a2y2b21 (ab0) ，半焦距为c，则2a12，ca32，a6，c33
12、.b2a2c236279，椭圆G的方程为x236y29 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页5. 解由题意得2|F1F2| |PF1| |PF2| ， 4c2a， c1， a2. b2a2c23，故椭圆方程为x24y231. 6. 解 (1) 由焦距是4 可得 c2， 且焦点坐标为(0， 2) ， (0,2) 由椭圆的定义知， 2a32222322228，所以 a4，所以 b2a2c216412. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y216x2121. (2) 由题意知， 2a26，即 a13，又ac135
13、，所以 c5，所以 b2a2c213252144，7. 解由题意可得ac3，ac 1.a2，c1.故 b2a2c23，所以椭圆方程为x24y231. 考点四 : 求椭圆离心率例 4. 椭圆x2a2y2b2 1(ab0) 的两顶点为A(a,0) ，B(0， b) ，且左焦点为F， FAB是以角 B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.312 B.512 C.154 D.314解析：选B 根据已知a2b2a2(a c)2，即 c2aca20，即 e2e10，解得e152，故所求的椭圆的离心率为512. 1. 椭圆x2a2y2b21(ab0) 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是
14、F1，F2. 若|AF1| ，|F1F2| ，|F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为_2. 椭圆x2a2y2b21(ab0) 的半焦距为c，若直线y2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.31 C.22 D.21 3. 若焦点在y 轴上的椭圆x2my221 的离心率为12，则 m的值为 ( ) A1 B 32 C.3 D 834. 椭圆x216y281 的离心率为 ( ) A.13 B.12C.33 D.225. 椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( ) A.12 B.13C.14 D.226. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为1
15、3，长轴长为12，则椭圆方程为( ) A.x2144y21281 或x2128y21441 B.x26y241 C.x236y2321 或x232y2361 D.x24y261 或x26y241 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页7. 已知P 是以F1， F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0) 上的一点，若 PF1PF20，tan PF1F212，则此椭圆的离心率为_8. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ( ) A.22
16、 B.212 C.2 2 D.21 1. 解析：依题意得|F1F2|2|AF1| |BF1| ，即 4c2 (a c) (a c) a2c2，整理得5c2a2，得 eca55. 2. 解析：选D 依题意直线y2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c)，所以c2a24c2b21，又 b2a2c2，消去 b 整理得a22ac c2 0，所以 e22e10，解得 e12. 又 e(0,1) ，所以 e21. 3. 解由题意得a22，b2 m ， c22m ，又ca12，2m212， m 32. 4. 解析：选D a216，b28， c28， eca22. 5. 解由题意，得a 2c， eca12. 6
17、. 解由条件知a6，eca13， c2， b2a2c232，故选 C. 7. 解PF1PF20， PF1PF2，在 RtPF1F2中， tan PF1F2|PF2|PF1|12，设 |PF2| x，则 |PF1| 2x，由椭圆的定义|PF1| |PF2| 2a， x2a3， |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， x24x24c2，209a24c2， eca53. 8. F1( c,0) ， P(c， yP) 代入椭圆方程得c2a2y2Pb21， y2Pb4a2， |PF1| b2a|F1F2| ，即b2a2c，又 b2a2c2，a2c2a2c， e22e10，又 0e0 ”是“方程mx2n
18、y21 的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知椭圆：x210my2m 21 的焦距为4，则 m等于 ( ) A.4 B.8 C.4或 8 D.以上均不对3. 椭圆x2my241 的焦距是2，则 m的值是 ( )A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页4. 已知 F1，F2是椭圆x216y291 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在 AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
19、A.6 B.5 C.4 D.3 5. 椭圆 x2my21 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 ( ) A.14 B.12 C.2 D.4 6. 若椭圆x216y2m2 1过点 ( 2,3) ，则其焦距为 ( ) A.23 B.25 C.43 D.45 7. 设 F1、F2分别是椭圆x225y216 1 的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是 F1P的中点， |OM|3，则 P点到椭圆左焦点的距离为 _8. 椭圆 C1：x225y291 和椭圆 C2：x29ky225k1 (0kb0) 的左、右两个焦点，若椭圆C上的点 A(1，32) 到 F1、F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程
20、是 _，焦点坐标是 _1. 解：选 B 因为当 m0 ，n0 ，n0，mn0. 2. 解：选 C 由10m0 ，m 20，得 2m0)时，直线与椭圆相交；有两组相同的实数解( 0) 时，直线与椭圆相切；无实数解( b0) 过点 (0,4)，离心率为35.(1) 求椭圆 C的方程； (2) 求过点 (3,0) 且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标5.P(1,1)为椭圆x24y22 1 内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程6. 已知斜率为2 的直线经过椭圆x25y241 的右焦点 F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为 _1. 解因为点 P在椭圆x22y231
21、 的外部，所以a221231，解得 a233或 a233，故选 B. 2. 解设 P(x0，y0) ， a25，b24， c1， SPF1F212|F1F2| |y0| |y0| 1， y01，x205y204 1， x0152. 故选 D.3. 解析 设弦两端点A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，则x2116y2141，x2216y2241，两式相减并把x1x24，y1y2 2 代入得，y1y2x1x212，所求直线方程为y112(x 2) ，即 x2y 40. 4. 解析 (1) 将点 (0,4)代入椭圆C的方程，得16b21， b4，又 eca35，则a2b2a2925， 116a
22、2925， a 5，椭圆 C的方程为x225y2161. (2) 过点 (3,0) 且斜率为45的直线方程为y45(x 3) ，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，将直线方程y45(x3) 代入椭圆方程得x225x32251，即 x23x80， 由韦达定理得x1x23，所以线段 AB中点的横坐标为x1 x2232，纵坐标为45(323) 65，即所截线段的中点坐标为(32，65) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页5. 解析 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x 1
23、) ，弦的两端点为A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，由y1kx1，x24y221.消去 y 得， (2k21)x24k(k 1)x 2(k22k1) 0， x1x24kk12k21，又x1 x2 2，4kk12k212，得 k12故弦所在直线方程为y112(x 1) ，即 x 2y3 0解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1) 、(x2，y2) ，则x214y2121，x224y222 1，两式相减得x1x2x1x24y1y2y1y220， x1x22，y1y22，x1x22(y1y2) 0， ky1y2x1x212此弦所在直线方程为y112
24、(x 1)，即 x2y30 方法规律总结 (1) 中点弦问题常用“点差法”求解，即P(x0，y0) 是弦 AB的中点， A(x1，y1) 、B(x2，y2) 在椭圆上，将 A、B坐标代入椭圆方程两式相减，然后结合x1x22x0，y1y22y0，及y2y1x2x1k 求解(2) 注意“设而不求，整体代换”方法的应用6. 解法一：直线l 过椭圆x25y241 的右焦点F1(1,0) ，又直线的斜率为2，直线l 的方程为y2(x 1) ，即 2xy20由方程组2xy20，x25y241，得交点 A(0， 2) ，B(53，43) |AB| xAxB2yAyB2053224321259553双曲线方程
25、及性质1. 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1) 在平面内； (2) 动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3) 这一定值一定要小于两定点的距离只有当 2a|F1F2| ，则轨迹不存在2. 双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程x2a2y2b21(a0 ，b0) y2a2x2b21(a0 ，b0) 性质范围xa或 x a，yRy a 或 ya， xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标： A1( a,0) ， A2(a,0) 顶点坐标： A1(0 ， a) ，A2(0 ，a) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
26、结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页渐近线ybax yabx 离心率eca，e(1 ，)a，b，c 的关系c2a2b2(c a0，cb0) 实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| 2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| 2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长. 1. 在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2 项分母的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2、y2系数的符号2. 求双曲线方程的几种方法(1) 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b 或 2c，从而求出
27、a2、 b2，写出双曲线方程(2) 待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2ny21(mn 0)(3) 已知双曲线的渐近线方程bxay 0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2( 0)根据其他条件确定 的值若求得0，则焦点在x 轴上；若求得 0，则焦点在y 轴上1. 双曲线x210y22 1的焦距为 ( )A.32 B.42 C.33 D.43 2. 双曲线 2x2y28 的实轴长是 ( )A.2 B.22 C.4 D.42 3
28、. 设双曲线x2a2y2b21(a 0，b 0) 的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y 2x B.y2x C.y 22x D.y 12x 4. 设 P是双曲线x2a2y29 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1| 3，则 |PF2| 等于 _5. 设点 P是双曲线x29y2161 上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，若|PF1| 10，则 |PF2| _6. 已知两定点F1( 3,0) 、F2(3,0) ，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是( ) A|PF1| |PF2| 5 B|PF1|
29、|PF2| 6 C|PF1| |PF2| 7 D|PF1| |PF2| 0 1. 解由已知有c2a2b212， c23，故双曲线的焦距为43. 2. 解双曲线 2x2y28 的标准方程为x24y281，所以实轴长2a4. 3. 解由题意得b 1，c3. a2，双曲线的渐近线方程为ybax，即 y22x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页4. 解 由渐近线方程y32x，且 b3，得 a2，由双曲线的定义，得|PF2| |PF1| 4，又 |PF1| 3， |PF2| 7. 5. 解由双曲线方程，得a3，b 4，c
30、5当点 P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2| |PF1| 6，所以 |PF2| |PF1| 610 616；当点 P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1| |PF2| 6，所以 |PF2| |PF1| 610 64故|PF2| 4 或|PF2| 166. 注意双曲线定义中的“小于|F1F2| ”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”实际上，(1) 若 2a|F1F2| ，即|PF1| |PF2| |F1F2| ，根据平面几何知识，当|PF1| |PF2| |F1F2| 时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2| |PF1| |F1F2| 时，动点轨迹是以
31、F1 为端点的一条射线；(2) 若 2a|F1F2| ，即 |PF1| |PF2|F1F2| ，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；(3) 特别的当2a0 时， |PF1|=|PF2| ，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线例 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 双曲线的一个焦点坐标是(0 ， 6) ，经过点A( 5，6) _ (2) 与椭圆x216y2251 共焦点，且过点( 2，10) _ (3) 与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(32，2)_ 解(1) 解法一：由已知得，c 6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(
32、0,6) 因为点 A( 5,6) 在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即 2a|5266252662| |13 5| 8，得 a4，b2c2 a262 42 20因此，所求的双曲线标准方程是y216x2201解法二：由焦点坐标知c6， a2b236，双曲线方程为y2a2x236a2 1双曲线过点A(5,6) ，36a22536a21， a216，b220双曲线方程为y216x2201(2) 由x216y2251 知焦点为F1(0， 3)，F2(0,3)设双曲线的方程为y2a2x2b21(a0 ，b0) ，则有10a24b21，a2b29.a25，b24所求的双曲线的方程为
33、y25x241(3) 依题意，设所求的双曲线的方程为x216ky24k1( 4k0) 与双曲线x24y231 有相同的焦点，则a 的值为 ( ) A.2 B.10 C.4 D.10 4. 已知双曲线x2a2y251 的右焦点为 (3,0) ，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.435. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是( 5,0) ，(5,0) ，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2) 焦点在 x 轴上，经过点P(4， 2) 和点 Q(26，22) 6. 已知 C1：(x 4)2y21， C2：(x 4)2y225
34、，动圆 M与 C1与 C2均内切，求动圆的圆心M的轨迹方程1. 解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为： F1( 5,0) ，F2(5,0) 设曲线 C2上的一点P.则|PF1| |PF2| 8. 由双曲线的定义知： a4，b3. 故曲线 C2的标准方程为x242y2321. 2. 解析 由条件知c6，焦点在y 轴上，排除A、D；又双曲线经过点A(5,6) ，排除 C3. 解析 由条件知a294 3， a2 16， a0， a44. 双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以 c 3，b25，则 a2c2b2954，所以 a2. 所以 eca32. 5. 解 (1) 由已知得， c 5,2a 8，即 a4
35、 c2a2b2， b2c2a252429焦点在x 轴上，所求的双曲线标准方程是x216y291(2) 设双曲线方程为mx2ny21(m0，n0) ，则16m 4n124m 8n1，m 18n14，双曲线方程为x28y24 16. 根据内切两圆的充要条件可得，|MC1| |MA|AC1| R 1，|MC2| |MB| |BC2| R5，|MC1| |MC2| 48|C1C2| ，点 M的轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的右支，c4，a2， b2 c2 a212，双曲线方程为x24y2121(x 2)1判断椭圆焦点在哪个轴上，看x2与 y2项分母的大小，判断双曲线焦点在哪个轴上，看x2与 y2项的
36、系数的正负2求双曲线的标准方程一般用待定系数法，特别的过两定点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)(2) 与双曲线x2a2y2b2 1 共焦点的双曲线方程可设为x2a2ky2b2k1(b2kr2) ，由双曲线定义，有r1r22a4，两边平方得r21r222r1r216 F1PF290， r21r224c24(13)252 2r1r2521636， SF1PF212r1r29(2) 若 F1PF260，在 F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2r21r222r1r2cos60 (r1r2)2r1r2，而 r1r24，|F1F2| 213， r1r236于是 SF1PF212r1r2sin
37、60 12363293同理可求得若F1PF2120时， SF1PF233 方法规律总结 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1| |PF2| 2a，运用平方的方法，建立它与|PF1| | PF2| 的联系 . 1. 已知 F1，F2为双曲线C：x2y22 的左，右焦点，点P在 C上， |PF1| 2|PF2| ，则 cosF1PF2 ( ) A.14 B.35 C.34 D.452. 设 F1，F2是双曲线x23y21 的两个焦点， P在双曲线上，当F1PF2的面积为2 时，PFuuu r 1PFuuu
38、 r2的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3. 若双曲线x2my2n1(m0,n0) 和椭圆x2ay2b 1(ab0) 有相同的焦点F1,F2,M 为两曲线的交点, 则|MF1| |MF2| 等于 _1. 双曲线的定义有|PF1| |PF2| |PF2| 2a22， |PF1| 2|PF2| 42，cosF1PF2422222 422422234. 2. 解析：选B 设点 P(x0，y0) ，依题意得，|F1F2| 2314，SPF1F212|F1F2| |y0| 2|y0| 2， |y0| 1. 又 P在曲线上，x203 y201，即 x203(y201) 6. PFuuu r1
39、PFuuu r2( 2x0， y0) (2 x0， y0) x20y2043. 3. 解析 由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1| |MF2| 2m ，|MF1| |MF2| 2a，22得， 4|MF1| |MF2| 4a4m ， |MF1| |MF2| am 双曲线的性质1. 过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的对圆锥曲线来说， 渐近线是双曲线的特有性质，渐近线是刻画双曲线的一个重要概念, 画双曲线时应先画出它的渐近线2. 双曲线
40、上两个重要的三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页(1) 实轴端点、虚轴端点及中心原点构成一个直角三角形，边长满足c2a2b2，称为双曲线的特征三角形(2) 焦点 F、过 F 作渐近线的垂线，垂足为D，则 |OF| c，|FD| _，|OD|a， OFD亦是直角三角形，满足|OF|2|FD|2|OD|2，也称为双曲线的特征三角形3. 等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2( 0)，离心率 e2，渐近线方程为yx . 双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率e2? 双曲线的两条渐近线互相
41、垂直. 4. 双曲线的几何性质从以下三点关注：(1) “六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2) “四线”：两对称轴(实、虚轴 )，两渐近线；(3) “两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点 ) 与两焦点构成的三角形5. 双曲线问题的三个易混点(1) 区分双曲线中的a，b，c 大小关系与椭圆a，b，c 关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2. (2) 双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e (0,1) (3) 双曲线x2a2y2b21(a0 ，b0)的渐近线方程是ybax，y2a2x2b2 1(a0， b0) 的渐近线方程是yabx. 6. 在双曲
42、线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1) 已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3) 渐近线的斜率与离心率的关系，如 kbac2a2ac2a21e21. 双曲线的渐近线与离心率例 3. (2010辽宁 ) 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.312 D.512解析设双曲线方程为x2a2y2b21(a 0，b0) ，F(c,0) ，B(0，b) ，则 kBFbc，双曲线的渐近线方程为ybax，bcba 1，即 b2
43、ac，c2a2ac， e2e10，解得 e152. 又 e1， e512. 1. 若双曲线x2a2y2b21(a0 ，b0) 的离心率为2，则一条渐近线的方程为( ) Ay3x1 B y3x C y 3x1 D y3x 2. 设双曲线x2a2y291(a0) 的渐近线方程为3x2y 0，则 a 的值为 ( ) A4 B3 C2 D1 3. 已知双曲线C ：x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为52，则 C的渐近线方程为( ) Ay14x B y13x C y12x D yx4设 P是双曲线x2a2y291 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，
44、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页若|PF1| 3，则 |PF2| ( ) A1 或 5 B 6 C 7 D 9 5. 已知双曲线x2a2y2b21(a0 ，b0) 的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( ) A2 B43C12 D 346. 已知双曲线C ：x2a2y2b2 1 的焦距为10，点 P(2,1) 在 C的渐近线上，则C的方程为 ( ) A.x220y251 B.x25y220 1 C.x280y220 1 D.x220y280 1 1. 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为ybax c2a
45、2a2xe21x，故渐近线方程为y3x. 2. 解析 双曲线的焦点在x 轴上，渐近线方程为y3ax，又已知渐近线方程为3x2y 0，即 y32x， a23. 解析 eca52，c2a254， b2c2a254a2a2a24，ba12，即渐近线方程为y12x4. 解析：选C 由渐近线方程3x2y0，知ba32. 又 b29，所以 a2，从而 |PF2| 7. 5. 解析：选C b2a2c2a2a2e2114，由此可得双曲线的渐近线的斜率为kba12. 6. 解析 由已知可得双曲线的焦距2c 10，a2b25225，排除 C，D，又由渐近线方程为ybax12x，得12ba，解得 a220，b25.
46、 1. 双曲线 2x2y28 的虚轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.42 2. 双曲线方程：x2|k| 2y25k 1，那么 k 的范围是 ( ) Ak5 B 2k5 C 2k2 D 2k5 3. 已知双曲线的离心率为2，焦点是 ( 4,0) ，(4,0) ，则双曲线方程为_4. 已知双曲线8kx2ky2 8 的一个焦点为 (0,3)，则 k 的值5. 设双曲线x2a2y2b21(0a5”是“方程x2k5y2k 21 表示双曲线”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件7. 与椭圆x24y21 共焦点且过点P(2,1) 的双曲线方程是( )
47、A.x24y21 B.x22y21C.x23y231 D x2y221 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页8. 已知点 (2,3) 在双曲线C：x2a2y2b21(a0 ，b0)上， C的焦距为4，则它的离心率为_9. 双曲线 C与椭圆x227y2361 有相同焦点，且经过点(15，4) (1) 求双曲线C的方程； (2) 若 F1，F2是双曲线C的两个焦点， 点 P在双曲线C上，且F1PF2120， 求F1PF2的面积10. 设 A，B分别为双曲线x2a2y2b21(a0 ，b0) 的左，右顶点，双曲线的实轴长
48、为43，焦点到渐近线的距离为3. (1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M ，N两点， 且在双曲线的右支上存在点D，使OMuuuu rONuuu rtODuuu r，求 t 的值及点D的坐标1. 解选 C由题意知， b 22，故虚轴长为2a4.2. 解：选 D由题意知， (|k|2)(5 k)0 ，解得 2k5. 3. 解析：由已知可得c4， a2，所以 b212，故双曲线的方程为x24y2121. 4. 将双曲线方程化为kx2k8y21，即x21ky28k1因为一个焦点是(0,3) ，所以焦点在y 轴上，所以c3， a28k，b21k，所以 a2b28k1k9
49、kc29所以 k 15. 解析 由 l 过两点 (a,0) ，(0，b) ，得 l 的方程为bxayab0由原点到l 的距离为34c 得，aba2b234c将 bc2a2代入平方后整理得，16(a2c2)216a2c23 0解关于a2c2的一元二次方程得a2c234或14eca， e233或 e2因 0a2，所以应舍去e233，故所求离心率e26. 解析：选A 当 k5 时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k5 或 k2. 故选 A. 7. 解析：选B 椭圆的焦点坐标为 ( 3，0) ，四个选项中，只有x22y21 的焦点为 ( 3，0) ，且经过点P(2,1) 8. 解析：法一：点
50、(2,3) 在双曲线C：x2a2y2b21 上， 则4a29b21， 又由于 2c4， 所以 a2b24. 解方程组4a29b21，a2b24，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页得 a1 或 a4. 由于 a0， b0) ，则 a2 b232 9. 又双曲线经过点(15，4), 所以16a215b21, 解得a24,b25 或 a236,b2 27( 舍去 ) ，所求方程为y24x251. (2) 由双曲线C的方程，知a2， b5，c 3. 设|PF1| m ，|PF2| n，则 |mn| 2a4，平方得 m22
51、mn n216. 在 F1PF2中，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 120 m2n2mn 36. 由得 mn203. 所以 F1PF2的面积为S12mnsin 120533. 10. 解： (1) 由题意知a23，一条渐近线为yb23x，即 bx23y0. |bc|b2123，解得 b23，双曲线的方程为x212y231. (2) 设 M(x1，y1) ， N(x2， y2) ，D(x0，y0) ，则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2163x840，则 x1 x2 163，y1y212. x0y0433，x2012y2031.x043，y03. t
52、4，点 D的坐标为 (43， 3) 直线与双曲线的综合问题- 抛物线一.等轴双曲线1.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2 ( 0)，离心率e2，渐近线方程为y x. 2.等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率e2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系 )二.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a，b，c 即可求得方程(2)待定系数法待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线x2a2y2b21共渐近线的可设为x2a2y2b2 0 ；若渐近线方程为ybax，则可设为x2a2y2b2 0 ；若过两个已知点则
53、设为x2my2n1 mn0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2t (t0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页方程，即方程x2a2y2b20 就是双曲线x2a2y2b21 (a0，b0)的两条渐近线方程. 三.双曲线问题的五个易混点(1)区分双曲线中的a，b，c 大小关系与椭圆a，b， c 关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0
54、,1)由于eca是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2 c2 a2消去 b，然后变形即可求e，并注意e1. (3)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是yabx. (4)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. (5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点. 四.直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关
55、于x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0 时，用判别式 来判定 .(1)用“ 点差法 ”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验. (2) 设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|1k2 x1x224x1x211k2 y1y224y1y2题型一直线与双曲线的位置关系例 1.已知双曲线C：x2y21 及直线 l：y kx1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A，B 两点， O 是坐标原点，且AOB 的面
56、积为2，求实数k 的值 . 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组x2y21，y kx1有两个不同的实数根，整理得 (1k2)x2 2kx20.1k20， 4k28 1k20，解得2k|x2|时， SOABSOADSOBD12(|x1|x2|)12|x1x2|；当 A，B 在双曲线的两支上且x1x2时， SOABSODASOBD12(|x1| |x2|)12|x1x2|. SOAB12|x1 x2|2，(x1x2)2(2 2)2，即 (2k1k2)281k28，解得 k0 或 k62. 又2k2，且 k 1， 当 k 0 或 k62时， AOB 的面积为2. 1.已知双曲
57、线x2y22 1，过点 P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段 AB 的中点？1.解设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB 的中点为 (x0， y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 y kx1k. 由ykx1k，x2y22 1，得(2k2)x2 2k(1k)x(1k)22 0 (2k2 0).6 分 x0x1x22k 1 k2k2.由题意，得k 1k2k21，解得 k2.当 k2 时，方程 成为 2x24x30. 1624 80，b0).由已知得： a3，c2，再由 a2b2c
58、2，得 b21，双曲线 C 的方程为x23y21. (2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)，将 ykx2代入x23y21，得， (13k2)x26 2kx90. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页由题意知13k20， 36 1k20，xAxB62k1 3k20，解得33k1.当33k0)易知抛物线y216x 的准线方程为x 4，联立x2a2y2a21，x 4，得16y2a2.(*) 因为 |AB|43，所以 y 2 3.代入 (*) 式，得 16( 2 3)2a2，解得 a2(a0)所以双曲线C 的实轴长为
59、2a4. 4.设 A，B 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4 3，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OMuu uu rONuuu rtODu uu r，求 t 的值及点 D 的坐标4.解： (1)由题意知 a2 3，一条渐近线为yb23x，即 bx23y0.|bc|b2123，解得 b23，双曲线的方程为x212y231. (2)设 M(x1，y1)，N(x2， y2)，D(x0，y0)，则 x1x2tx0， y1 y2ty0. 将直线方程代入双曲线方
60、程得x2163x84 0，则 x1x2163， y1 y2 12. x0y04 33，x2012y2031.x04 3，y03. t4，点 D 的坐标为 (43，3)5设双曲线y2a2x231 的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2. (1)求此双曲线的渐近线l1， l2的方程；(2)若 A，B 分别为 l1，l2上的点，且2|AB| 5|F1F2|，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线5.解： (1) e2，c24a2. c2a23，a1，c2.双曲线方程为y2x231，渐近线方程为y33x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x，y)2|A
61、B|5|F1F2|，|AB|52|F1F2|522c10. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页x1x22 y1y2210.又 y133x1，y233x2,2xx1x2,2yy1 y2，y1y233(x1x2)，y1y233(x1x2)，3 y1 y2233x1x2210，3(2y)213(2x)2100，即x2753y2251.则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内； (2)动点到定点F 距离与到定直线l
62、 的距离相等；(3)定点不在定直线上当定点 F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线2 抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y2 2px(p0)x22py(p0)x2 2py(p0) p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0) 对称轴y0 x0 焦点Fp2，0F p2，0F 0，p2F 0，p2离心率e1 准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy 0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P(x0，y0)|PF|x0p2|PF| x0p2|PF| y0p2|PF| y0p2抛物线的标准方程与性质例 1
63、(1)抛物线 y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为() Ay28xBy212x Cy216xDy220x(2)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_解 (1)由题意知， 36a5，a13，则抛物线方程为y28x. (2)抛物线的焦点F 的坐标为p2，0 ，线段 FA 的中点 B 的坐标为p4，1 ，代入抛物线方程得12pp4，解得 p2，故点 B 的坐标为24，1 ，故点 B 到该抛物线准线的距离为2422324. 精选学习资料 - - - - - - - - -
64、名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x 2，则抛物线的方程是() Ay2 8xBy2 4x Cy28xDy24x1.解析： 选 C由抛物线准线方程为x 2 知 p4，且开口向右，故抛物线方程为y28x. 2.(1)若点 P 到直线 y 1 的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点 P 的轨迹方程是_(2)过抛物线y24x 的焦点作直线l 交抛物线于A，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则 |AB|等于 _2.解析： (1)由题意可知点P 到直线 y 3 的距离等于它到点(0,3) 的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点
65、，以y 3 为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y. (2)抛物线的准线方程为x 1，则 AB 中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义得|AB|8. 3.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|12，P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为 () A18 B24 C36 D48 3.解析： 选 C设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为p2， 0 ，将 xp2代入 y22px 可得 y2 p2，|AB|12，即 2p12，得 p6.点 P 在准线上，到AB 的距离为p6，所以PAB 的面积为1261236. 直线与抛
66、物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB| x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求 ”“ 整体代入 ”等解法 . 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法 ”求解 . 1.抛物线 y12x2的焦点坐标是() A.(0，18) B.(18，0) C.(0，12) D.(12，0) 1.解析把原方程先化为标准方程x2 2y，则 2p2， p212，即焦点坐标为(0，12
67、)，故选 C. 2.(2013四川 )抛物线 y24x 的焦点到双曲线x2y231 的渐近线的距离是() A.12B.32C.1 D.3 2.解析抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，双曲线 x2y23 1 的渐近线是y 3x，即3x y0，所求距离为| 3 0|32 1232.选 B. 3.已知抛物线y2 2px(p0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为() A.x1 B.x 1 C.x2 D. x 2 3.解析y22px 的焦点坐标为 (p2，0)，过焦点且斜率为1 的直线方程为yxp2，精选学习资料 - - - -
68、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页即 xyp2，将其代入y22px，得 y22pyp2，即 y22py p20.设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 y1y22p， y1y22p 2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x 1. 4.已知抛物线y2 2px(p0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2， y2)，则y1y2x1x2的值一定等于() A.4 B.4 C.p2D.p24.解析若焦点弦AB x 轴，则 x1x2p2，则 x1x2p24； 若焦点弦 AB 不垂直于x 轴，可设AB：yk(xp2)，联立 y
69、22px 得 k2x2 (k2p 2p)xp2k240，则 x1x2p24.则 y1y2 p2.故y1y2x1x2 4. 5.若点 P 到直线 y 1的距离比它到点(0， 3)的距离小2，则点 P 的轨迹方程是_. 5.解析由题意可知点P 到直线 y 3 的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y 3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y. 抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向 )判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中的距离相
70、等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合 )时，直线与抛物线也只有一个交点. 1.动圆过点 (1,0)，且与直线x 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. 1.解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点 (1,0)的距离与到直线x 1 的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. 2.若抛物线y22px 的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合，则p 的值为 _ 2.解析因为椭圆x26y22 1 的右焦点为 (2,0)，所以抛物线y22px 的焦点为 (2,0)，则 p4. 精选学习资料 - - - - -
71、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页3.抛物线 yx2上一点到直线2xy40 的距离最短的点的坐标是() A.12，14B(1,1) C.32，94D(2,4) 3.解析： 选 B法一： 设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得d|2xy4|5|2xx24|5| x123|5x123535.当 x1 时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)法二： 设 2xym0 与 yx2相切， 则 x22xm0. 44m0，得 m 1，此时 x1，故点的坐标为 (1,1)4.已知过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A，B 两点， |AF|
72、 2，则 |BF|_. 4.解析： 设点 A，B 的横坐标分别是x1， x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|x112， x1 1，直线 AF 的方程是 x1，此时弦 AB 为抛物线的通径，故|BF|AF|2. 5.已知抛物线y2 2x 的焦点是F，点 P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求 |PA| |PF|的最小值，并求出取最小值时点 P 的坐标 . 5.思维启迪由定义知，抛物线上点P 到焦点 F 的距离等于点P 到准线 l 的距离 d，求 |PA| |PF|的问题可转化为求|PA|d 的问题 .解将 x3 代入抛物线方程y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部，如图.设抛物
73、线上点P 到准线 l：x12的距离为d，由定义知 |PA|PF|PA| d，当 PAl 时， |PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2， 点 P 的坐标为 (2,2). 6.已知点 P是抛物线 y22x 上的一个动点， 则点 P到点 (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.172B.3 C.5 D.926.解析抛物线 y22x 的焦点为F(12，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P 到焦点 F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点 (0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的
74、最小值，可以转化为求点P 到点 (0,2)的距离与点P到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点 (0,2)的距离 .因此所求的最小值等于122 22172，选 A. 已知抛物线y2 2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B 两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|x1x2p 或|AB|2psin2(为 AB 所在直线的倾斜角)；(2)x1x2p24； y1y2 p2；(3)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. (4)1|AF|1|BF|为定值；(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相
75、切. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页证明(2)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为xmyp2，代入 y22px，得 y22p(myp2)，即 y22pmyp2 0.(*) 则 y1、y2是方程 (*) 的两个实数根，所以y1y2 p2. 因为 y212px1， y22 2px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2p44p2p24. (4)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，
76、代入上式，得1|AF|1|BF|AB|p24p2|AB|p p242p(定值 ). (5)设 AB 的中点为M(x0，y0)，分别过A、B 作准线的垂线，垂足为C、D，过 M 作准线的垂线，垂足为N，则 |MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 1抛物线x2(2a1)y 的准线方程是y1，则实数a() A.52B.32C12D321.解析： 选 D把抛物线方程化为x2 212a y，则 p12 a，故抛物线的准线方程是yp212a2，则12a2 1，解得 a32. 2已知抛物线y24x，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛
77、物线交于A，B 两点， O 是坐标原点，则OAB 的面积是() A1 B2 C4 D 6 2.解析： 选 B焦点坐标是 (1,0)，A(1,2)，B(1， 2)，|AB|4，故OAB 的面积 S12|AB|OF|12412. 3直线 y x1 截抛物线y22px 所得弦长为2 6，此抛物线方程为() Ay2 2xBy26xCy2 2x 或 y2 6xD以上都不对3.解析： 选 C由yx1，y22px，得 x2 (22p)x1 0.x1 x2 2p2， x1x21. 则 2 6112x1x224x1x222p 224.解得 p 1 或 p3，故抛物线方程为y2 2x 或 y26x. 4.设斜率为
78、2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点A，若 OAF(O 为坐标原点 )的面积为4，则抛物线的方程为 () Ay2 4xBy2 8x Cy24xDy28x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页4.解析： 选 B由题可知抛物线焦点坐标为a4，0 ，于是过焦点且斜率为2 的直线的方程为y2 xa4，令 x 0，可得A 点坐标为0，a2，所以 S OAF12|a|4|a|2 4.得 a 8 故抛物线方程为y 8x. 5.下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4米，水
79、位下降1 米后，水面宽 _米5.解析 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2 2py(p0)，由题意知抛物线过点(2， 2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为x2 2y，当水面下降1 米时，为y 3，代入抛物线方程得x 6，所以此时水面宽为2 6米6.过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A，B 两点若 |AF|3，则 |BF|_. 6.解析： 如图，设A(x0，y0)(y00? 直线与圆锥曲线C 相交； 0? 直线与圆锥曲线C 相切； 0? 直线与圆锥曲线C 相离(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若
80、 C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合(3)直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示： 直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交2圆锥曲线的弦长与弦长有关问题的解法(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y(或 x)后，得到关于 x(或 y)的一元二次方程ax2bxc0(或 ay2byc0)，设斜率为k(k0)的直线l 与圆锥
81、曲线C 相交于A，B 两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x211k2 |y1y2|11k2 y1y224y1y2. 抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p2psin2(2)涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差法”，构造出kABy1y2x1x2和 x1x2，y1y2，运用整体代入的方法，求中点或斜率，体现“设而不求”的思想考点一直线与圆锥曲线的位置关系1.ykx2 与 y28x有且仅有一个公共点，则k 的取值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页
82、2.已知双曲线E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点， 且 AB 的中点为 N(12， 15)， 则 E的方程为 ()A.x23y261 B.x24y251 C.x26y231 D.x25y241 3.已知直线xy10 与抛物线 yax2相切，则 a 等于 () A.12B.13C.14D4 4.直线 ybax3 与双曲线x2a2y2b21 的交点个数是 () A1 B2 C1 或 2 D0 5.已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A32 B26 C2 7 D426
83、.直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为 ()A相交B相切 C相离D不确定7.过点 (0,1)作直线，使它与抛物线y24x 仅有一个公共点，这样的直线有() A1 条B2 条 C3 条D4 条8.若直线 mxny4 与 O：x2y24 没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数是 ()A至多为 1 B2 C1 D0 9.已知双曲线E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点， 且 AB 的中点为 N(12， 15)， 则 E的方程为 ()A.x23y261 B.x24y251C.x26y231 D.x2
84、5y241 10.设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是()A.12，12B2,2 C1,1 D4,4 11.以直线 x 2y0 为渐近线，且截直线xy 30 所得弦长为833的双曲线方程为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页12.已知 (4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则l 的方程是 _13.设 F1，F2分别是椭圆E：x2y2b21(0b0.所以|AB|1k2 x1x224x1x2118243638
85、 123833. 解得 4，故所求双曲线方程是x24y21. 12.解析： 设直线 l 与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2x1x24 y1y2. 又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212，故直线 l 的方程为y212(x4)，即 x2y80. 13.解： (1)由椭圆定义知 |AF2|AB|BF2|4，又 2|AB|AF2|BF2|，得 |AB|43. (2)l 的方程为 yxc，其中 c1b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组yxc，x2y2b21，化简得 (1b2)x22cx12b20. 则 x1 x22c1b2，x1x212b21b2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以 |AB|2|x2x1|，即432|x2x1|. 则89(x1x2)24x1x24 1b21b2 24 12b21b28b41b2 2，解得 b22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页
