2022年课程复习重点

《2022年课程复习重点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年课程复习重点（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、学习必备欢迎下载课程复习重点（一）行列式行列式的定义：注意：二、三阶行列式的特殊计算方法；运用行列式的性质计算行列式：|A| 与|AT| 相等；一行乘一个常数；交换两行元素， 行列式的值变号 （两行元素对应成比例的行列式的值为 0） ；一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变）。（特别是）行列式按照某一行（或列）展开：(注意代数余子式1122+iiiiinina Aa Aa A，（二）矩阵及其运算矩阵的定义及矩阵的运算：数乘矩阵：ijkAka，矩阵相乘；方阵乘积行列式的计算：| | |A BAB；矩阵可逆的判定：|0A，及求逆矩阵的伴随矩阵法.232 300( 1)|01)ijijijAMAA如

2、则（1*1|AAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载（三）矩阵的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆:1()()A EE A矩阵的秩 : 将矩阵化为阶梯形解线性方程组：用矩阵秩的理论研究线性方程组的解：齐次方程：非齐次方程：（四）向量组的线性相关性向量（或向量组）B，能由向量组A线性表示的概念及判定(B)()R AR A线性相关与线性无关的概念:11220sskkkki可以不全为 0 则相关，全部必须为0 则无关；及判定：相关：12(,)sRs，化为阶梯形式，阶梯的个数小于向量的个数 s ;

3、无关：12(,)sRs，化为阶梯形式，阶梯的个数等于向量的个数 s ; 极大无关组与秩的概念: 阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组；秩是最大无关组的个数。基础解系及线性方程组的通解的求法: （1）()A B化为行最简型；（2）写出对应方程组（自由未知量放到等式右边）；( )nR An方程组有唯一 0解方程组有无穷多非 0解( )()nR AR ABn方程组有唯一解方程组有无穷多解114145152242452533434535xba xa xxba xa xxba xa x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学

4、习必备欢迎下载（3）取自由未知量为: 求出非齐次特解和对应齐次方程的基础解系；（ 4 ） 写 出 非 齐 次 方 程 的 通 解*1122cc（五）相似矩阵及二次型矩阵的特征值和特征向量的概念：Axx及性质 : （1）n 阶方阵 A和它的转置矩阵AT必有相同的特征多项式和特征值；（2）12|nA；（3）()A的特征值是()；特征值与特征向量的计算：用|0AE解出的根就是特征值；用()0AE x解出的基础解析就是特征向量。相似矩阵的概念1pApB、 性质及矩阵相似于对角化矩阵的充分必要条件 : 矩阵有 n 个线性无关的特征向量12*300bbb414214310aaa515225301aaa45

5、xx010,001和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载二次型的概念及其矩阵表示: 用对称矩阵表示二次型（注意ijx x的系数要分成两部分ijjiaa放到矩阵之中）用配方法化二次型为标准形的方法: 注意：2123()xxx的展开是中各项系数要对应上。习题及参考答案：（1）写出四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa中含有的项 . 补充第二行和第四行的元素， 以及第一列和第三列的元素。 前面乘列下标的1234( 1)jjjj： （1223

6、344112213443,a a a aa a a a）（2）计算行列式111111aaa解：用特殊计算方法（斜乘） ：111111aaa=332aa（3）计算行列式1212301512032416解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载12121212427301542071231203120312824161208427510501022(7530)903153015（4）设4411176533224321D，ijA 表示 A 的代数余子式，求4142AA和4443AA解：414212341134

7、2233203356715171110010001341310330301711761132116AA4344123412142233220356715661001100012311312200205661661121416AA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载（5）计算212310104001110120011（=821190311121）（6）已知113-201210-13-2111AB，, 验证 ()TTTABBA . 解：13()1055TTTABB A（7）已知110021211A，求,3

8、,3AA并找出A3与A的等式关系. 解: 311233|2712027( 221)2701133 ( 1)3AAAA3与A的等式关系 .333 |AA（8）已知ABBA，其中200012031B求A解：1()AABBAEBB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载1030100030100200010():200010200010030100001 001001 001001 00110001/ 200101/ 300001001EB200012031B则：101/ 20()1/ 300001EB，111

9、/ 20()1/ 310002AEBB（9）已知 4 阶行列式6| A，求1*11|()|,|66TAA的值. 解：14141415*4144111111|()| ( ) |()| ( ) |() | ( ) | ( ) ;666661111|( ) | ()6|6666TTTAAAAAA AA（10）已知1111,-112PAPP, 求100A. 解：1001002110111101122110112-111110112-111210=01A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载（11）判断矩阵111

10、103231A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵. 解：132|301639110111A则矩阵可逆132100132100()301010097310111 001043101132100101236011112011112043101001349100113010237001349A E则：9437323111A（12）求矩阵33210211211111210111A的秩，并求其一个最高阶非零子式. 解：1110111101111012111101311013111211201211005200123301233001421110101311001420001810A精选学习资料 - - - -

11、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载则()4r A，最高阶非零子式为：1110211112110123（13）将矩阵112121111030化为行最简形矩阵 . 解：1 1 211 1 2 11 1 2 12 11 101510151113002510 0 5 11 121102 1100 3/501 0001 0 001 0 00 0 5 100 1 1/ 500 1 1/ 5（14）判断线性方程组123412341234124235223431321xxxxxxxxxxxxxxx是否有解，若有解求其通解 , 并求其对应的齐次

12、线性方程组的基础解系. （101101124321cxxxx）（15）判断线性方程组123451234512345122332222xxxxxxxxxxxxxxx是否有解，若有解求其通解 , 并求其对应的齐次线性方程组的基础解系. 解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载11111 1111 11 121231303013 112122203013 111111 11111110301310101/ 31 1/30000000000001014/304/30101/ 31 1/3000000则方程组的

13、秩为2，方程组有解。1342454/34/31/ 3 1/ 3xxxxxx令345000xxx得出非齐次方程组特解为：123454/31/ 3000xxxxx令3451000 , 1 , 0001xxx得出齐次方程组的基础解系为：110100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载24/ 31/ 3010201001则非齐次方程组的通解为：123123454/ 314/ 301/ 301/ 31010000100001xxxcccxx（16）叙述向量组的最大无关组的定义：最大无关组是：12,sa aa中

14、，有一组向量12,ra aa线性无关，并且任意1r个向量线性相关，则12,ra aa是向量组12,sa aa的最大无关组。并求向量组：1234(2,1,3 1) ,(3, 1,2,0) ,(1,3,4, 2) ,(4, 3,1,1)TTTTaaaa的秩，并求出其一个最大无关组， 将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载解：231411331133113305510011232410551000001021011200001021011200000000则

15、2R最大无关组为21,aa，且3124122,2aaaaaa（17）判断向量组 A:1232131 ,1 ,2213aaa和向量组B:12111 ,011bb是否等价 . 解：213111121011210031112131103111112100311100000因为()()()2r ABr Ar B所以向量组 A:1232131,1 ,2213aaa和向量组 B:12111 ,011bb等价精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载（18）叙述向量组线性相关和线性无关的定义：线性相关与线性无关的概念:

16、11220sskkkki可以不全为0 则相关；全部必须为0 则无关；判定方法：相关：12(,)sRs化为阶梯形式，阶梯的个数小于向量的个数 s ; 无关：12(,)sRs化为阶梯形式，阶梯的个数等于向量的个数 s ; 并判断向量组123(1, 2,3) ,( 1,1,2) ,( 1,2, 5)TTTaaa的线性相关性 . 解：因为111111111212010010325052002所以123(1, 2,3) ,( 1,1,2) ,( 1,2, 5)TTTaaa的秩为 3，因此向量组线性无关。（19）求矩阵212533102A的特征值及对应的特征向量. 解：2323223212|533102(

17、4)(3)32(3)5(2)341(1)3 (1)(1)(13 )(1)(21)(1)0AE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载得1为三重根；312101101(1)523022011101011000A对应方程组为1323xxxx令31x得特征向量为( 1, 1,1)T（20）将矩阵222254245A化为对角矩阵 . 解：222222|2540112452452242-4010(1)29249(1) (2) 98110=0AE2（）（） （）得特征值为：1231,10当121时：122122()

18、244000244 000AE对应特征向量为：12210012和当3=10时：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载822254234(10)25401818011245 099 0 00107/ 2011 0 00AE对应特征向量为：37/ 211设123p，则11000100010pAp21）将二次型222123232334xxxx x化成标准形 . 解：解：设32332211 yxyyxyyx222123232221232323232222212323222123233423()3()4()()266442102xxxx xyyyyyyyyyyyyyyyyy则标准型为：2221232102yyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页