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1、学习必备欢迎下载课程复习重点(一)行列式行列式的定义:注意:二、三阶行列式的特殊计算方法;运用行列式的性质计算行列式:|A| 与|AT| 相等;一行乘一个常数;交换两行元素, 行列式的值变号 (两行元素对应成比例的行列式的值为 0) ;一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变)。(特别是)行列式按照某一行(或列)展开:(注意代数余子式1122+iiiiinina Aa Aa A,(二)矩阵及其运算矩阵的定义及矩阵的运算:数乘矩阵:ijkAka,矩阵相乘;方阵乘积行列式的计算:| | |A BAB;矩阵可逆的判定:|0A,及求逆矩阵的伴随矩阵法.232 300( 1)|01)ijijijAMAA如
2、则(1*1|AAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页学习必备欢迎下载(三)矩阵的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆:1()()A EE A矩阵的秩 : 将矩阵化为阶梯形解线性方程组:用矩阵秩的理论研究线性方程组的解:齐次方程:非齐次方程:(四)向量组的线性相关性向量(或向量组)B,能由向量组A线性表示的概念及判定(B)()R AR A线性相关与线性无关的概念:11220sskkkki可以不全为 0 则相关,全部必须为0 则无关;及判定:相关:12(,)sRs,化为阶梯形式,阶梯的个数小于向量的个数 s ;
3、无关:12(,)sRs,化为阶梯形式,阶梯的个数等于向量的个数 s ; 极大无关组与秩的概念: 阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组;秩是最大无关组的个数。基础解系及线性方程组的通解的求法: (1)()A B化为行最简型;(2)写出对应方程组(自由未知量放到等式右边);( )nR An方程组有唯一 0解方程组有无穷多非 0解( )()nR AR ABn方程组有唯一解方程组有无穷多解114145152242452533434535xba xa xxba xa xxba xa x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页学
4、习必备欢迎下载(3)取自由未知量为: 求出非齐次特解和对应齐次方程的基础解系;( 4 ) 写 出 非 齐 次 方 程 的 通 解*1122cc(五)相似矩阵及二次型矩阵的特征值和特征向量的概念:Axx及性质 : (1)n 阶方阵 A和它的转置矩阵AT必有相同的特征多项式和特征值;(2)12|nA;(3)()A的特征值是();特征值与特征向量的计算:用|0AE解出的根就是特征值;用()0AE x解出的基础解析就是特征向量。相似矩阵的概念1pApB、 性质及矩阵相似于对角化矩阵的充分必要条件 : 矩阵有 n 个线性无关的特征向量12*300bbb414214310aaa515225301aaa45
5、xx010,001和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页学习必备欢迎下载二次型的概念及其矩阵表示: 用对称矩阵表示二次型(注意ijx x的系数要分成两部分ijjiaa放到矩阵之中)用配方法化二次型为标准形的方法: 注意:2123()xxx的展开是中各项系数要对应上。习题及参考答案:(1)写出四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa中含有的项 . 补充第二行和第四行的元素, 以及第一列和第三列的元素。 前面乘列下标的1234( 1)jjjj: (1223
6、344112213443,a a a aa a a a)(2)计算行列式111111aaa解:用特殊计算方法(斜乘) :111111aaa=332aa(3)计算行列式1212301512032416解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页学习必备欢迎下载12121212427301542071231203120312824161208427510501022(7530)903153015(4)设4411176533224321D,ijA 表示 A 的代数余子式,求4142AA和4443AA解:414212341134
7、2233203356715171110010001341310330301711761132116AA4344123412142233220356715661001100012311312200205661661121416AA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页学习必备欢迎下载(5)计算212310104001110120011(=821190311121)(6)已知113-201210-13-2111AB,, 验证 ()TTTABBA . 解:13()1055TTTABB A(7)已知110021211A,求,3
8、,3AA并找出A3与A的等式关系. 解: 311233|2712027( 221)2701133 ( 1)3AAAA3与A的等式关系 .333 |AA(8)已知ABBA,其中200012031B求A解:1()AABBAEBB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页学习必备欢迎下载1030100030100200010():200010200010030100001 001001 001001 00110001/ 200101/ 300001001EB200012031B则:101/ 20()1/ 300001EB,111
9、/ 20()1/ 310002AEBB(9)已知 4 阶行列式6| A,求1*11|()|,|66TAA的值. 解:14141415*4144111111|()| ( ) |()| ( ) |() | ( ) | ( ) ;666661111|( ) | ()6|6666TTTAAAAAA AA(10)已知1111,-112PAPP, 求100A. 解:1001002110111101122110112-111110112-111210=01A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页学习必备欢迎下载(11)判断矩阵111
10、103231A是否可逆,若可逆求出其逆矩阵. 解:132|301639110111A则矩阵可逆132100132100()301010097310111 001043101132100101236011112011112043101001349100113010237001349A E则:9437323111A(12)求矩阵33210211211111210111A的秩,并求其一个最高阶非零子式. 解:1110111101111012111101311013111211201211005200123301233001421110101311001420001810A精选学习资料 - - - -
11、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页学习必备欢迎下载则()4r A,最高阶非零子式为:1110211112110123(13)将矩阵112121111030化为行最简形矩阵 . 解:1 1 211 1 2 11 1 2 12 11 101510151113002510 0 5 11 121102 1100 3/501 0001 0 001 0 00 0 5 100 1 1/ 500 1 1/ 5(14)判断线性方程组123412341234124235223431321xxxxxxxxxxxxxxx是否有解,若有解求其通解 , 并求其对应的齐次
12、线性方程组的基础解系. (101101124321cxxxx)(15)判断线性方程组123451234512345122332222xxxxxxxxxxxxxxx是否有解,若有解求其通解 , 并求其对应的齐次线性方程组的基础解系. 解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页学习必备欢迎下载11111 1111 11 121231303013 112122203013 111111 11111110301310101/ 31 1/30000000000001014/304/30101/ 31 1/3000000则方程组的
13、秩为2,方程组有解。1342454/34/31/ 3 1/ 3xxxxxx令345000xxx得出非齐次方程组特解为:123454/31/ 3000xxxxx令3451000 , 1 , 0001xxx得出齐次方程组的基础解系为:110100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页学习必备欢迎下载24/ 31/ 3010201001则非齐次方程组的通解为:123123454/ 314/ 301/ 301/ 31010000100001xxxcccxx(16)叙述向量组的最大无关组的定义:最大无关组是:12,sa aa中
14、,有一组向量12,ra aa线性无关,并且任意1r个向量线性相关,则12,ra aa是向量组12,sa aa的最大无关组。并求向量组:1234(2,1,3 1) ,(3, 1,2,0) ,(1,3,4, 2) ,(4, 3,1,1)TTTTaaaa的秩,并求出其一个最大无关组, 将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页学习必备欢迎下载解:231411331133113305510011232410551000001021011200001021011200000000则
15、2R最大无关组为21,aa,且3124122,2aaaaaa(17)判断向量组 A:1232131 ,1 ,2213aaa和向量组B:12111 ,011bb是否等价 . 解:213111121011210031112131103111112100311100000因为()()()2r ABr Ar B所以向量组 A:1232131,1 ,2213aaa和向量组 B:12111 ,011bb等价精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页学习必备欢迎下载(18)叙述向量组线性相关和线性无关的定义:线性相关与线性无关的概念:
16、11220sskkkki可以不全为0 则相关;全部必须为0 则无关;判定方法:相关:12(,)sRs化为阶梯形式,阶梯的个数小于向量的个数 s ; 无关:12(,)sRs化为阶梯形式,阶梯的个数等于向量的个数 s ; 并判断向量组123(1, 2,3) ,( 1,1,2) ,( 1,2, 5)TTTaaa的线性相关性 . 解:因为111111111212010010325052002所以123(1, 2,3) ,( 1,1,2) ,( 1,2, 5)TTTaaa的秩为 3,因此向量组线性无关。(19)求矩阵212533102A的特征值及对应的特征向量. 解:2323223212|533102(
17、4)(3)32(3)5(2)341(1)3 (1)(1)(13 )(1)(21)(1)0AE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页学习必备欢迎下载得1为三重根;312101101(1)523022011101011000A对应方程组为1323xxxx令31x得特征向量为( 1, 1,1)T(20)将矩阵222254245A化为对角矩阵 . 解:222222|2540112452452242-4010(1)29249(1) (2) 98110=0AE2()() ()得特征值为:1231,10当121时:122122()
18、244000244 000AE对应特征向量为:12210012和当3=10时:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页学习必备欢迎下载822254234(10)25401818011245 099 0 00107/ 2011 0 00AE对应特征向量为:37/ 211设123p,则11000100010pAp21)将二次型222123232334xxxx x化成标准形 . 解:解:设32332211 yxyyxyyx222123232221232323232222212323222123233423()3()4()()266442102xxxx xyyyyyyyyyyyyyyyyy则标准型为:2221232102yyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页