《2022年数学百大经典例题-绝对值不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学百大经典例题-绝对值不等式（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载典型例题一例 1 解不等式2321xx分析： 解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念)0()0(aaaaa，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论解： 令01x，1x，令032x，23x，如图所示（1）当1x时原不等式化为2)32()1(xx2x与条件矛盾，无解（2）当231x时，原不等式化为2)32(1xx0x，故230x（3）当23x时，原不等式化为2321xx6x，故623x综上，原不等式的解为60xx说明： 要注意找零点去绝对值
2、符号最好画数轴，零点分段， 然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏典型例题二例 2 求使不等式axx34有解的a的取值范围分析： 此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法一： 将数轴分为), 4(,4, 3 ,3,三个区间当3x时，原不等式变为27,)3()4(axaxx有解的条件为327a，即1a；当43x时，得axx)3()4(，即1a；当4x时，得axx)3()4(，即27ax，有解的条件为427a1a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载以上三种情况中任一
3、个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1a解法二： 设数x，3，4 在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式aPBPA的意义是P到 A、B 的距离之和小于a因为1AB，故数轴上任一点到A、B 距离之和大于（等于1） ，即134xx，故当1a时，axx34有解典型例题三例 3 已知),0(,20 ,2MyabyMax，求证abxy分析： 根据条件凑byax,证明：abyayaxyabxyaaMMbyaaxybyaaxy22)()(说明： 这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法典型例题四例 4 求证baaba22分析： 使用分析法证明0a，只需证明baaba2
4、22，两边同除2b，即只需证明bababba22222，即bababa22)(1)(当1ba时，babababa222)(1)(1)(；当1ba时，0ba，原不等式显然成立原不等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载说明： 在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理：babaabaaba2222（1）如果1ba，则0ba，原不等式显然成立（2）如果1ab，则bab，利用不等式的传递性知aba，bab，原不等式也成立典型例题五例 5 求证bbaababa111分析： 本题的证法很多，下面
5、给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明： 设xxxxxxf1111111)(定义域为Rxx，且1x ，)(xf分别在区间) 1,(，区间),1(上是增函数又baba0，)()(bafbaf即babababa11bbaababbaa1111原不等式成立说明： 在利用放缩法时常常会产生如下错误：baba，01ba，babbaababababa1111bbaa11错误在不能保证aba11，bba11绝对值不等式baba在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构典型
6、例题六精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载例 6 关于实数x的不等式2) 1(2)1(22aax与0) 13(2) 1(32axax)(Ra的解集依次为A与B，求使BA的a的取值范围分析： 分别求出集合A、B，然后再分类讨论解： 解不等式2)1(2) 1(22aax，2)1(2)1(2)1(222aaxa，RaaxaxA,122解不等式0)13(2) 1(32axax，0)2)(13(xax当31a时（即213a时） ，得31,132aaxxB当31a时（即213a时） ，得31,213axaxB当31
7、a时，要满足BA，必须, 131, 222aaa故31a；当31a时，要满足BA，必须; 12, 1322aaa, 11, 1aa1a所以a的取值范围是311aaRa或说明： 在求满足条件BA的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解典型例题七例 6 已知数列通项公式nnnaaaaa2sin23sin22sin2sin32对于正整数m、n，当nm时，求证：nnmaa21分析： 已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式nnaaaaaa2121，问题便可解决证明： nm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
8、 - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载mnnnmmaananaa2sin2)2sin(2)1sin(21mnnmaanan2sin2)2sin(2) 1sin(21211)211(21212121121nmnmnn)12110(21)211(21nmnnmn说明：mnn21212121是以121n为首项，以21为公比，共有nm项的等比数列的和，误认为共有1nm项是常见错误正余弦函数的值域，即1sin，1cos，是解本题的关键本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立典型例题八例 8 已知1
9、3)(2xxxf，1ax，求证：) 1(2)()(aafxf分析： 本题中给定函数)(xf和条件1ax，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件1ax的使 用 可 有 几 种 选 择 ： (1) 直 接 用 ； (2) 打 开 绝 对 值 用11axa， 替 出x； (3)用 绝 对 值 的 性 质11axaxax进行替换证明： 13)(2xxxf，13)(2aaaf，1ax，1axax1ax，xaaxafxf22)()()()(axaxax)1)(axax1axax)1(21111aaaaxax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
10、页，共 8 页精品资料欢迎下载即) 1(2)()(aafxf说明： 这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件1ax使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用典型例题九例 9 不等式组xxxxx22330的解集是（） A20xxB5. 20xxC60xxD30xx分析： 本题是考查含有绝对值不等式的解法，由xxxx2233，知033xx，33x，又0x，30x，解原不等式组实为解不等式xxxx2233（30x） 解法一： 不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(xxxx2222)6()6(xxxx，即0)66)(66(
11、2222xxxxxxxx，0)6(2xx，又30x30062xx60x选 C解法二： 0x，可分成两种情况讨论：(1)当20x时，不等式组化为xxxx2233（20x） 解得20x(2)当2x时，不等式组可化为xxxx2233（2x） ，解得62x综合 (1)、(2)得，原不等式组的解为60x，选 C说明： 本题是在0x的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号当然本题还可用特殊值排除法求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
12、 - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载典型例题十例 10 设二次函数cbxaxxf2)(0a， 且0b)，已知ab，1)0(f，1) 1(f，1) 1(f，当1x时，证明45)(xf分析： 从0a知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1x且1)1(f，1) 1(f知，要求证的是45)(xf，所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴上方因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在证明： )()(2cbacbabcbacba11)1() 1(ff2，1b又ab，1ab1212ab又1)0(fc，abcabacabf444)2(22，abcabcabf44
13、)2(22451141141babc而)(xf的图像为开口向上的抛物线，且1x，11x，)(xf的最大值应在1x，1x或abx2处取得1) 1(f，1) 1(f，45)2(abf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载45)(xf说明： 本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1x范围内的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
