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1、学习必备欢迎下载数学经典例题深度解析例 1:设2,Sx xmnm nZ(1).,aZaS设则 是否是集合中的元素(2).对S中任意两个元素12,x x,判断1212,xxx x是否属于S. 解: (1)a 一定不是集合S中的元素(2). 121112221212121212121221,2,2,()() 2(2)()2xS xSxmnxmnxxmmnnSx xmmn nm nm nS令则例 2:求证:函数221( )f xxx在区间(0,)上的最小值为2 解:任取1212,0,1 ,x xxx则221212221222122221212221211221221210,01.1110()()11
2、()(1)1()(1)0xxx xx xx xf xf xyxxxxxxxx xxxx x( )f x在0,1上是减函数同理可证( )f x在1,上是增函数故( )f x在0,上的最小值为(1)2f例 3: 已知集合M是同时满足下列两个性质的函数( )fx的全体 : ( )f x在其定义域上是单调函数;在( )f x的定义域内存在闭区间 , a b,使得( )f x在 , a b上的最小值是2a,且最大值是2b. 请解答以下问题:判断函数3( )g xx是否属于集合M?并说明理由. 若是,请找出满足的闭区间 , ab;若函数( )1h xxtM,求实数t的取值范围解: (1)设则,21xx0x
3、43x21xx-xxxxxx-xxxxgxg212121221212212323121)()()()()()()(21xgxg, 故 g(x)是 R 上的减函数假设函数g(x)M,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载则2233abba2222ba或2222ba又 a1,故:2320ttk.上式对一切tR均成立 , 从而判别式14120.3kk例 6:已知函数)(xf对任意的abR、满足:()( )( )6,f a bf af b0,( )6af a当时;( 2)12f。(1)求:(2)f的值;(2)求证
4、:( )fx是R上的减函数;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习必备欢迎下载(3)若(2)(2 )3f kfk,求实数k的取值范围。解: (1)()( )( )6,f abf af b令0ab,得(0)6f令2,2ab,得(2)0f(2)证明:设12,xx是R上的任意两个实数,且12xx,即210xx,从而有21()6f xx,则212111()()()()f xf xfxxxf x2111()()6()f xxf xf x21()60f xx21()()f xf x即( )f x是R上的减函数(3)()( )(
5、)6,f abf af b令1,1ab,得(1)3f(2)(2 )3f kfk(2)3(2 )f kfk,又(1)3f,(2)0f即有(2)(1)(2 )(2)f kffkf(2)(1)6(2 )(2)6f kffkf(2)1(2 )2fkfk又( )f x是R上的减函数(2)1(2 )2kk即3k实数k的取值范围是3k例 7: 已知定义域为0,1的函数( )f x同时满足以下三个条件: . 对任意的0,1x,总有( )0fx; . (1)1f; . 若10x,20x,且121xx,则有1212()()()f xxf xf x成立 . 则称( )f x为“ 友谊函数 ” ,请解答下列各题:(1
6、) 若已知( )f x为“ 友谊函数 ” ,求(0)f的值;(2) 函数( )21xg x在区间0,1上是否为 “ 友谊函数 ” ?并给出理由解: (1)取120xx得(0)(0)(0)(0)0ffff又由(0)0f,得(0)0f(2)显然( )21xg x在0,1上满足 1 ( )0g x;2 (1)1g. 若10x,20x,且121xx,则有1212()()()g xxg xg x12122121 (21)(21)(21)(21)0xxxxxx故( )21xg x满足条件 1、2、3 ,所以( )21xg x为友谊函数例 8: 已知向量(sin,cos),( 3,1)mAAn且1m n,且
7、A为锐角 . (1)求角A的大小;(2)求函数( )cos24cossin()fxxAx xR的值域解:由题意得3 sincos1,m nAA12sin()1,sin().662AA由 A 为锐角得,663AA(2) 由( 1)知1cos,2A所以2213( )cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsx因为 xR,所以sin1,1x,因此,当1sin2x时, f(x)有最大值32. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习必备欢迎下载当sin1x时,( )f x有最小值3, 所以所求函数( )
8、f x的值域是332,例 9: 已知函数22( )sin3sincos2cos,.f xxxxx xR(1)求函数( )fx的最小正周期和单调增区间;(2)函数( )f x的图象可以由函数sin 2 ()yx xR的图象经过怎样的变换得到?解: (1)1cos23( )sin 2(1cos2 )22xf xxx313sin 2cos2222xx3sin(2).62x( )f x的最小正周期2.2T由题意得222,262kxkkZ即,.36kxkkZ( )fx的单调增区间为,.36kkkZ(2)先把sin 2yx图象上所有点向左平移12个单位长度,得到sin(2)6yx的图象,再把所得图象上所有
9、的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62yx的图象例 10:已知函数( )sin()3f xxxR,且1.6f(1)求的最小正值及此时函数( )yf x 的表达式;(2)将(1)中所得函数( )yf x 的图象结果怎样的变换可得11sin22yx 的图象;(3)在(1)的前提下,设 2534,(),()636355ff,求tan的值;求 cos2()1的值解: (1) 因为16f,所以sin163,于是 +2 ()632kkZ ,即112 ()k kZ ,故当 k=0时,取得最小正值1. 此时( )sin3f xx. (2)(方法一 )先将sin3yx的图象向右平移3个单位得y=s
10、inx 的图象;再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )得1sin2yx 的图象;最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变 )得11sin22yx 的图象 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习必备欢迎下载(方法二 )先将sin3yx的图象各点的横坐标伸长到原来的2 倍 (纵坐标不变 )得1sin23yx的图象;再将所得图象向右平移23个单位得1sin2yx 的图象 ; 最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变 )得11sin22yx 的图象 . (3)因为34(),()55ff,所以34sin, sin3535. 因为 25,6363所以, , 03232. 于是43cos, cos.3535因为sin33tan34cos3,所以tantan33tantan331tantan33334 334825 34.1133 34134因为sinsin33sincoscossin33333 3447,5 55525所以22798cos2()12sin ()2.25625精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页