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1、1 / 7 经济数学基础( 08 春)线性代数部分期末复习指导线性代数部分第二章,矩阵考试要求: 了解矩阵概念,理解矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件,了解矩阵秩的概念; 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算,掌握这几种运算的有关性质; 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质 理解矩阵初等行变换的概念,熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵,熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵重点:矩阵概念,矩阵可逆与逆矩阵概念,矩阵可逆的条件,矩阵秩的概念及求法;矩阵的运算和矩阵的求逆,矩阵的初等行变换。典型例题一、单项选择题1设 A
2、 为23矩阵, B 为32矩阵,则下列运算中()可以进行 . AAB BABT CA+B DBAT 答案:A 2设BA,为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是()A. TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T)()(BAAB答案: B 3设BA ,为同阶可逆方阵,则下列说法正确的是()A. 若 AB = I,则必有 A = I 或 B = IB.TTT)(BAABC. 秩)(BA秩)(A秩)(BD.111)(ABAB答案: D 4设BA ,均为 n阶方阵,在下列情况下能推出A是单位矩阵的是()ABAB BBAAB CIAA DIA1答案 D 精选学习资料
3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页2 / 7 5设A是可逆矩阵,且AABI,则A1().A. BB. 1BC. IB D. ()IAB1答案 C 6设)21(A,)31(B, I 是单位矩阵,则IBAT()A6231 B6321 C5322 D5232答案 D7设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算,那么()成立.AAB = AC,A 0,则 B = C BAB = AC,A可逆,则 B = C CA 可逆,则 AB = BA DAB = 0,则有 A = 0,或 B = 0 答案: B 二、填空题1两个矩阵BA ,既可相加
4、又可相乘的充分必要条件是. 答案:同阶矩阵2若矩阵 A = 21,B = 12,则 ATB=答案24123设13230201aA,当 a时, A是对称矩阵 . 答案:0a4当 a 时,矩阵aA131可逆. 答案:3a5设BA ,为两个已知矩阵,且BI可逆,则方程XBXA的解X答案:ABI1)(6设A为n阶可逆矩阵,则 r (A)=答案: n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页3 / 7 7若矩阵 A =330204212,则 r(A) = 答案: 2 2.计算题(1)设矩阵 A =022011,B =210321,计算
5、 (BA)-1解 因为 BA=210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101(2)设矩阵843722310A, I 是 3阶单位矩阵,求1)(AI解:由矩阵减法运算得943732311843722310100010001AI利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301113100011210001111110233010301001111100132010301001111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7
6、 页4 / 7 即()IA1132301111(3)设矩阵112,322121011BA,求BA1解:利用初等行变换得102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A由矩阵乘法得7641121461351341BA第三章 线性方程组考试要求: 了解线性方程组的有关概念,熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解; 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理重点: 线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解非齐次线性方程组AX = b 的解的情况
7、归纳如下:AX = b有唯一解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) = n;AX = b有无穷多解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) n;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页5 / 7 AX = b无解的充分必要条件是秩 (A) 秩(A)相应的齐次线性方程组AX = 0 的解的情况为:AX = 0只有零解的充分必要条件是秩(A) = n; AX = 0有非零解的充分必要条件是秩(A) n典型例题:一、单项选择题1若线性方程组的增广矩阵为41221A,则当()时线性方程组有无穷多解A1B1 C2 D21(答案 D)
8、 2若非齐次线性方程组AmnX=b的( ),那么该方程组无解A秩(A) nB秩(A)m C秩(A)秩 (A)D秩(A)= 秩(A) (答案 C) 3线性方程组012121xxxx解的情况是()A. 无解B. 只有 0 解C. 有唯一解D. 有无穷多解答案 A 4 线性方程组 AX0只有零解,则AXb b()0( ).A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解答案 B 5设线性方程组AX=b 中,若r(A, b) = 4,r(A) = 3,则该线性方程组()A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解答案 B 6设线性方程组bAX有唯一解,则相应的齐次方程组OAX()A无解 B
9、有非零解 C只有零解 D解不能确定答案 C 二、填空题1若 r(A, b) = 4,r(A) = 3,则线性方程组 AX = b答案:无解2若线性方程组002121xxxx有非零解,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页6 / 7 答案:-13设齐次线性方程组01nnmXA,且秩 (A) = r n,则其一般解中的自由未知量的个数等于答案:rn4齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为 .5线性方程组AXb的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为110000012401021dA则当d时,方
10、程组AXb有无穷多解 . 答案:1d三.计算题1求解线性方程组的一般解0232022023432143214321xxxxxxxxxxxx解:将方程组的系数矩阵化为阶梯形010030101031020031101231311031101231232121211231010030108001一般解为03834241xxxxx(4x 是自由未知量 )2求当取何值时,线性方程组1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页7 / 7 有解,在有解的情况下求方程组的一般
11、解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形1000010511102121119102220105111021211114796371221211所以,当1时,方程组有解,且有无穷多解,00000105111084901答案:43243151110498xxxxxx其中43, xx是自由未知量3求当取何值时,线性方程组432143214321114724212xxxxxxxxxxxx解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形273503735024121114712412111112500003735024121当5时,方程组有解,且方程组的一般解为432431575353565154xxxxxx其中43, xx为自由未知量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页