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1、二阶常系数线性非齐次微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节一、一、 第十一章 二、 型机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为其中 为常数. 它所对应的齐次方程为一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构 及特解的可叠加性及特解的可叠加性是二阶常系数线性非齐次方程（1）的一个特解, 是（1）所对应的齐次定理定理 3.是方程（1）的通解 .方程（2）的通解, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 和 分别是二阶常系数线性非齐次的特解，其中 为常数. 是微分方程的特解, 则定理定理 3.方程 和二、二阶
2、常系数线性非齐次微分方程的解法二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .（1） 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为
3、(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 可知例例3. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为因此
4、特解为所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 求方程 的通解. 由 可知代入方程，整理并约去 ，得即例例4. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为的特解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求方程 满足初值条件： 由 可知代入方程，整理得比较系数, 得因此特解为所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得将上面的通解对 求导，得把初值条件： 分别代入通解及上式，得即得于是所求特解为对非齐次方程则可设特解:其中 为待定系数.当 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 型型其中 为实常数，且 不同时为零.
5、例例5. 求微分方程 的一个特解 .解解: 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程，整理得比较上式两端同类项的系数 , 得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根为由于解得例例6. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.则可设特解:其中 为待定系数.当 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 作业作业P271 ：1 (1) , (3) , (4)；2 (2).习题课2 目录 上页 下页 返回 结束
