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1、27.2 27.2 三角形相似的判定三角形相似的判定（3 3）复习1、相似三角形有哪些判定方法、相似三角形有哪些判定方法?AC/B/A/ CB2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ （）定义法（不常用）（）定义法（不常用）（）（）“平行平行”定理：定理：平行于三角形一边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似。（）（）“三边三边”定理：定理：三边对应的比相等，三边对应的比相等，两个三角形相似两个三角形相似.（）（）“两边夹角两边夹角”定理：定理：两组对应边的比相两组
2、对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似.观察 观察两副三角尺，其中同样角度（观察两副三角尺，其中同样角度（30与与60，或，或45与与45）的两个三角尺）的两个三角尺,它们一定相它们一定相似吗？似吗？ 如果两个三角形有两组角对应相等，如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？它们一定相似吗？ (1)作作ABC和和 ABC,使得使得AA,BB，这时它们的第三个角满足，这时它们的第三个角满足CC吗吗?(2)分别度量这两个三角形的边长分别度量这两个三角形的边长,计算计算 ,你有什么发现你有什么发现?(3)ABC和和 ABC相似相似吗吗?ABCA
3、/ C/ B/ 分析分析:要证两个三角形相似，要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是三角形相似的定义；二是“平行平行”定理；三是定理；三是“三边三边”定理；定理；四是上节课学习的四是上节课学习的“两边夹角两边夹角”定理。定理。ABCA/ C/ B/ 已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/ 中中,求证求证:ABC A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢怎样实现移动呢?为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？证
4、明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结连结DE。ABCA/ C/ B/ P48 P48 判定定理判定定理判定定理判定定理3 3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/ A DE A/B/C/（SAS） ADE=B/，又又 B/=B， ADE=B， DE/BC， ADEABC。 A/B/C/ABC求证：求证：
5、ABCABC ABC已知：在已知：在ABC ABC 和和 A AB BC C, ,中中, ,若若A=A，B=B，-“两角两角”定理定理用数学符号表示：用数学符号表示：例例1 1、已知：、已知：ABC和和DEF中，中， A=400，B=800，E=800， F=600。求证：。求证：ABCDEF AFECBD证明：证明： 在在ABC中，中，A=400，B=800， C=1800A B =1800400 800 600 在在DEF中，中，E=800，F=600 B=E，C=F ABCDEF（两角对应相等，两三角形相似）。（两角对应相等，两三角形相似）。400 800 800 600 60600 0
6、 2 2、课堂练习、课堂练习（1）、已知）、已知ABC与与A/B/C/中，中，B=B/=750，C=500，A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？，这两个三角形相似吗？为什么？（ 2） 已已 知知 等等 腰腰 三三 角角 形形 ABC和和A/B/C/中中，A、A/分分别别是是顶顶角角，求求证证：如如果果A=A/，那那么么ABCA/B/C/。 如如 果果 B=B/， 那那 么么ABCA/B/C/。ABCA/ B/ C/ 750 750 500 550 550 ABCA/B/C/ABCA/B/C/例例2. 如图，如图，ABC中，中， DEBC，EFAB， 试说明试说明ADEEFC. AEFBC
7、D例题分析例题分析解解: DEBC，EFAB（已知），已知）， ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）AEDC. （两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等） ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个角分别对应相等的两个三角形相似）两个三角形相似）3.从下面这些三角形中，选出从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的一组你喜欢的相相似的三角形似的三角形证明证明.应用新知：应用新知：选一选选一选（1）与（）与（4）与（）与（5）-“两角两角”定理定理（2）与（）与（6）-“两边夹角两边夹角”定理定理4、判断题：、判断题：(1)所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都
8、相似 . ( ) (2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.( )(3)所有的等边三角形都相似所有的等边三角形都相似. ( )(4)所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似. ( )(5)顶角相等的两个等腰三角形相似顶角相等的两个等腰三角形相似. ( )(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( ) 应用新知：应用新知：想一想想一想A AB BD DC C图图 3 3填一填填一填（1）如图）如图3，点，点D在在AB上，当上，当 时，时， ACDABC。（2）如图）如图4，已知点，已知点E在在AC上，若点上，若点
9、D在在AB上，则满足上，则满足 条件条件 ，就可以使，就可以使ADE与原与原ABC相似。相似。 A AB BC CE E图图 4 4 ACD B ( (或者或者 ACB ADB) )DE/BCD D( (或者或者 C ADE) )( (或者或者 B ADE) )D DP48 练习 1、2例例2 2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PAPB=PCPD证明：连接证明：连接ACAC、BDBD。A A和和D D都是弧都是弧CBCB所对的圆周角，所对的圆周角， A=A=D D。同理同理C=C=B B （或APCDPB） 。PACPACPDBPDB。A AB BC CD DP POO即PAPB
10、=PCPD例例 2.2.弦弦 ABAB和和 CDCD相相 交交 于于 o o内内 一一 点点 P,P,求求 证证:PA:PAPB=PCPB=PCPDPDABCDPO证明:连接AD、BCA、C都是BD所对的圆周角 A=C同理: D=B（或APDCPB）PADPCB即PAPB=PCPDABCDE例例3.已知已知D、E分别是分别是ABC的边的边AB,AC上的点，上的点，若若A=35, C=85,AED=60 则则ADAB= AEAC85356085例4、在四边形ABCD中，AC平分DAB，ACD=ABC。求证：AC2=ABADABCD1、在ABC中，ACB90，CDBA于点D。证明：AC2ADAB练
11、一练练一练BDAC2、已知梯形ABCD中，ADBC，BAD90，对角线BDDC。证明：BD2ADBC练一练练一练BDACEABDC C3.如图已知如图已知D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC上的点，且上的点，且 。证明：证明：练一练练一练EABDC C解：解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =43.已知如图，已知如图， ABD=C AD=2 AC=8，求，求AB ABC CDDBC CA184 21224、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDAC于于D 若若 AB=6 AD=
12、2 则则AC= BD= BC=相似三角形的识别方法有那些？相似三角形的识别方法有那些？方法方法1：通过定义：通过定义方法方法5：“两角两角”定理：定理：两角对应相等，两角对应相等，两三角形相似。两三角形相似。课课 堂堂 小小 结结（这可是今天新学的，要牢记噢！（这可是今天新学的，要牢记噢！)方法方法2： “平行平行”定理：定理：平行于三角形一边的直线和平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。方法方法3：“三边三边”定理：定理：三组对应的比相等，两个三组对应的比相等，两个三角形相似三角形相似.方法方法4：“两边夹角两边夹角”
13、定理：定理：两组对应边的比相等，两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似且夹角相等的两个三角形相似.（不常用）（不常用） 四、课外作业四、课外作业1.填填练习册练习册2.复习复习下下 课课5、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDAC于于D ABDC CEF问：若问：若E是是BC中点，中点，ED的延的延长线交长线交BA的延长线于的延长线于F，求证：求证：AB : AC=DF : BFABCDEABCDE 21OCBADOCDABABCDE如图如图, ABC中中,CD是边是边AB上的高上的高,且且AD:CD=CD:BD, 求求C的大小的大小.综合提高综合提高4.如图，
14、如图，P是是RtABC的斜边的斜边BC上异于上异于B、C的一点，过点的一点，过点P作直线截作直线截ABC，使截得的，使截得的三角形与三角形与ABC相似，满足这样条件的直线相似，满足这样条件的直线共有共有 （ ） A.1条条 B.2条条 C.3条条 D.4条条应用新知：应用新知：画一画画一画C4.如图如图, B=90,AB=BE=EF=FC=1,求证求证:(1) AEF CEA.(2) 1+ 2= 45 证一证证一证应用新知：应用新知：已知零件的外径为已知零件的外径为25cm，要求，要求它的厚度它的厚度x，需先求出它的内孔，需先求出它的内孔直径直径AB，现用一个交叉卡钳，现用一个交叉卡钳（AC和
15、和BD的长相等）去量的长相等）去量（如图），若（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的。求此零件的厚度厚度x。 例例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。和原三角形相似。ADBC已知：在已知：在RtABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高。上的高。证明证明: A=A，ADC=ACB=900，此此结论可以称为结论可以称为“母子相似定理母子相似定理母子相似定理母子相似定理”,今今后可以直接使用后可以直接使用. ACDABC（两角对应相等，两（两角对应相等，两 三角形相似）。三角形相似）。同理同理
16、 CBD ABC 。 ABCCBDACD。求证：求证：ABCACD CBD 。延伸练习延伸练习已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AD、BE分别是分别是BC、AC上的高，上的高，AD、BE相交于点相交于点F。（2）图中还有与）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出相似的三角形吗？请一一写出 。ABCDE（1）求证：）求证：AEFADC；FAFEDC答答:有有AEFADCBECBDF.课外思考题：课外思考题： 如图，在如图，在ABC中中 ，点，点D、E分别是边分别是边AB、AC上的点，连上的点，连结结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，
17、ADE与与 ABC相似？相似？ ABCDEABCDE（提示：图有两种可能）（提示：图有两种可能）（提示：图有两种可能）（提示：图有两种可能）泰勒斯测量金字塔高度的示意图泰勒斯测量金字塔高度的示意图: : AAB C B CCBACBA如如果果人人体体高高度度AC1.7米米，人人影影长长BC2.2米米，而而BC176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？可证可证ABCABC即即所以所以A C=1.7x1762.2=136m怎样创造具备预备定理条件的图怎样创造具备预备定理条件的图形？形？ABCD F E 是否相似？是否相似？利用相似三角形的利用相似
18、三角形的定义定义？利用相似三角形的利用相似三角形的预备定理？预备定理？ 条件不够条件不够可以证明！可以证明！求证：求证：ABCABC ABC已知：在已知：在ABC ABC 和和 A AB BC C, ,中中, ,若若A=A，B=B，把小的三角形移动到大的三角形上把小的三角形移动到大的三角形上。ABCD F E M N AM=DE,A=D，AN=DF AMN DEF， AMN=E，又又 B=E， AMN=B， MN/BC， AMNABC。 DEFABC证明：证明：在在AB,AC上分别截取上分别截取AM= DE,AN = DF已知已知: :在在ABCABC和和DEFDEF中中, ,A=D,B=E,
19、求证求证: ABC与与 DEF.判定定理判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。形相似。 (两角两角对应对应相等相等，两三角形两三角形相似相似)找一找找一找F FA AB BC CD DG GE E图图 1 1（1）图）图1中中DEFGBC，找出图中所有的相似三角形。，找出图中所有的相似三角形。（2）图）图2中中ABCDEF，找出图中所有的相似三角形。，找出图中所有的相似三角形。答：相似三角形有答：相似三角形有 ADEAFGABC。答：相似三角形有答：相似三角形有 AOBFOEDOC。A AB B图图 2 2C CF FD DE EO O （3）在在ABC和和ABC中中，如如果果A80，C60，A80，B40，那么这两个三角形是否相似？为什么？，那么这两个三角形是否相似？为什么？B=180 （A+C)=180 （80 +60 )=40
