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1、一元二次方程根的判别式一、教案内容分析一元二次方程的根的判别式,从定理的推导到应用都比较简单.但是它在整个中学数学中占有重要的地位,既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况,又可以为今后研究不等式,二次函数,二次曲线等奠定基础,并且用它可以解决许多其它综合性问题.通过这一节的学习,培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力,并向学生渗透分类的数学思想. 教案重点: 根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教案难点: 根的判别式定理及逆定理的运用. 二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法,并对24bac的作用已经有所了解,在此基础上来进一步研究24bac作用
2、,它是前面知识的深化与总结.从思想方法上来说,学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力. 三、教案目标依据教案大纲和对教材的分析,及结合学生已有的知识基础,本节课的教案目标是:知识和技能:1、体会一元二次方程的根的判别式的产生的过程;2、能运用根的判别式,判别方程根的个数和进行有关的推理论证;3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围;过程和方法:1、培养学生的探索精神;2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 情感态度价值观:1、向学生渗透分类的数学思想;2、加深师生
3、间的交流,促进学生更好地学习;3、培养学生的合作精神 . 四、教案策略:本着“ 以学生为主体 ” 的教育理念,为了使学生都能积极地参与到课堂教案中,发挥学生的主观能动性,本节课主要采用了创设情境、引导发现、讲练结合的教案方法,按照“实践 认识 实践”的认知规律设计,以增加学生参与教案过程的机会和体验获取知识过程的时间,从而有效地调动了学生学习数学的积极性.具体如下:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页1、设置悬念 引发兴趣 2、设计练习,创设情境3、启发引导,发现结论4、引导学生,理论验证5、揭示定理内涵 6、应用定理
4、,解决问题7、归纳小结 8、布置作业五、教案流程:、设置悬念,引发兴趣:我们已经学会了怎么解一元二次方程,那么,我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用具体地去解它,就能很快知道它的根的个数,信不信?同学们可以随便地出两个题考考我 .【学生】会争先恐后地编题考老师.【说明】这样设计,能马上激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造一个最佳的心理状态 . 设置练习,创设情境 . 【教师】你们一定很想知道是怎么回事吧?那么好,现在就请同学们用以前学的公式法解以下三个一元二次方程;你们会很快发现用公式法解一元二次方程(用投影仪打出)22213202 96103230xxxxxx (注:找三名学生
5、板演,其余学生在位上做) 【说明】这样设计,使学生亲身感知一元二次方程根的情况,培养了学 生 的 探 索 精 神 , 变“ 老 师 教 ” 为 “ 自 己钻”,从而发挥了学生的主观能动性 . 启发引导,发现结论:【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程,可以发现:在把系数代入求根公式之前,每题都是先确定了a、b、c 的值,然后求出它的值24bac,为什么要这样做呢?【学生】会初步说出24bac的作用是:它能决定方程是否可解 . 【教师】( 1)由此可见:解22004axbxcabac一元二次方程时,代数式起着重要的作用,显然我们可以根据24bac的值的符号来判断200axbxca一元二次方程的
6、根的情况,因此,我们把24bac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“ (读作 delta,它是希腊字母) ” 来表示,即=24bac.说明:在今后的数学学习中还会遇到:用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况,同学们要逐渐适应这一点,它体现了数学的简洁美. 2244bacbac2注意:而应为:(3)通过解这三个方程,同学们可以发现一元二次方程根【 说 明 】 : 这 样 设 计(1)是为了让学生明白:24bac的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用,从而很自然地引出了根的判别式概念 .(2)是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识,真正体验自己
7、发现结论的成功乐趣 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页的情况有哪几种,谁能总结出来?【学生】由于前面作了铺垫,所以学生很快可以答出结论. 引导学生,理论验证:【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗?请同学们认真阅读课本内容,书上给我们做了很好的解释. 【学生】带着老师提出的问题,会很认真地去看书,寻找答案. 【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性,养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养.揭示定理:【教师】( 1)由此我们就得出了关于200axbxca一元二次方程的根的判别式定理:22004axbxcaba
8、c在一元二次方程中,若 0 则方程有两个不相等的实数根若 =0 则方程有两个相等的实数根若 0 则方程没有实数根(2)我们说:这个定理的逆命题也成立,即有如下的逆定理:22004axbxcabac在一元二次方程中,若方程有两个不相等的实数根,则0 若方程有两个相等的实数根,则=0 若方程没有实数根,则 0 (3)定理与逆定理的用途不同定理的用途是:在不解方程的情况下,根据值的符号,用定理来判断方程根的情况. 逆定理的用途是:在已知方程根的情况下,用逆定理来确定值的符号,进而可求出系数中某些字母的取值范围. (4)注意运用定理和逆定理时,必须把所给的方程化成一般形式后方可使用 .【说明】这样设计
9、是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论,如何将感性认识上升到理性认识,以及加深学生对两个定理的认识,为定理及逆定理的正确运用做好铺垫 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页应用定理,解决问题:【教师】 下面我们就来利用这两个定理. 例 1:不解方程判别下列方程根的情况(用投影仪打出)222221 23402 169243 517042 20xxyyxxxkxk分析;要判别方程根的情况,根据定理可知;就是要确定值的符号,(4)补充了一个含有字母系数的方程,补充此题的目的是使学生进一步地掌握此类题中值的符号的判
10、断方法,也为今后解综合性问题打好基础.在练习中作了相应地补充. 22221240xmxmxm例 :求证关于的方程没有实数根分析:先提出两个问题:(1)是谁决定了方程有无实数根?(2)现在要证方程无实数根,只要证明什么就行了?例 2 是补充的一个用定理证明的题目,它含有字母系数,它的证明实际与例1 的第( 4)的解法类似,但学生易于出错,往往错用逆定理来证. 小结(1)关于运用根的判别式定理来判断:含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是:把方程化为一般形式,确定a、b、c的值,计算;用配方法等将变形,使之符号明朗化后,判断的符号. 根据根的判别式定理,写出结论. (2)注意关于的变形;一
11、般情况下,由配方或因式分解后能变形222222222222aaaaaa等形式;那么的符号就明朗了,即可判断其符号. 学生练习不解方程,判别下列方程根的情况22221 168-3 2 96103 2980 47180xxxxxxxx22521210mxmx【说明】以上例题的设计,主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会,同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑,各抒 己 见 的 活 跃 气 氛 中来,并培养学生分析问题,解决问题的能力 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页注意:做以上练习时,学生板演,其余学
12、生在位上做;板演后如果发现有错或有其他解法,下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法,然后教师进行讲评.从而调动学生的参与意识 . 2221450xxaxaaa思考题:已知关于的方程当 取何正整数时,方程有实数根?先让学生自己思考几分钟,再告诉学生思路,最后让学生作为作业完成 . 分析:要解决这个问题,应先假设方程有实根,然后根据根的判别式的逆定理,得出0,再由 0 解这个不等式,从而求出 a的取值范围,进而得出a的正整数解 . 归纳小结【教师】( 1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上,学习了根的判别式的应用,它在整个中学数学中占有重要地位,是中考命题的重要知识点,所以必须牢固掌握好它.
13、 (2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别:一般当已知值的符号时,使用定理;当已知方程根的情况时,使用逆定理 . 22004axbxcabac3 一元二次方程判别式的情况根 的 情 况定 理 与 逆 定 理0 21 242bbacxa、0方程有两个不相等的实数根0 1 2022bbxaa、 0方程有两个相等的实数根0 2124bacx x无意义、 、 不存在0方程没有实数根【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容,与前后知识的联系以及它在教材中的地位,能起到提纲挈领的作用 . 布置作业:1、刚布置的思考题; 2、不解方程判定下列方程根的情况:222223110260 3 3650 4 404115 - 30 6 46 -07(4)58416xxxxxxxxxxx xx【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页