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1、3.1.1方程的根与方程的根与函数的零点(二)函数的零点(二)主讲老师:陈鹏主讲老师:陈鹏练习练习1. 若方程若方程2ax2x10在在(0,1)内恰有一内恰有一解,则解,则a的取值范围是的取值范围是 ( )A. a1 B. a1C. 1a1 D. 0a1 B2函数函数yf(x)在区间在区间a, b上的图象是上的图象是连续不断的曲线,且连续不断的曲线,且f(a) f(b)0,则函则函数数yf(x)在区间在区间(a, b)内内 ( )A. 至少有一个零点至少有一个零点 B. 至多有一个零点至多有一个零点 C. 只有一个零点只有一个零点 D. 有两个零点有两个零点练习练习A3若函数若函数f(x)的图
2、象是连续不断的,的图象是连续不断的,且且f(0)0, f(1)f(2)f(4)0,则下列,则下列命题正确的是命题正确的是 ( )A. 函数函数f(x)在区间在区间(0,1)内有零点内有零点 B. 函数函数f(x)在区间在区间(1,2)内有零点内有零点C. 函数函数f(x)在区间在区间(0,2)内有零点内有零点D. 函数函数f(x)在区间在区间(0,4)内有零点内有零点练习练习D练习练习4. 教材教材P.88练习第练习第2题题利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间:利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间:(1)f(x)= x33x+5;(2)f(x)=2x ln(x2)3;(3)
3、f(x)=ex1+4x4;(4)f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.2(1)2(1)2(1)2(1)解:解:解:解:作出函数的图象,如下:作出函数的图象,如下: 因为因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)= x33x+5在区间在区间(1, 1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是(,)上的减函数,所以在区间上的减函数,所以在区间(1, 1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy01321125432(1) f(x)= x33x+5. . . . . . . . . . . . . . . .2(2)2(2)2(2)2(2)解:解:解:解
4、:作出函数的图象,如下:作出函数的图象,如下:. . . . . . . . . . . . . 因为因为f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x) =2x ln(x2)3是是(2,)上的增函数,)上的增函数,所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy01321125-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3 2(3)2(3)2(3)2(3)解:解:解:解:作出函数的图象,作出函数的图象,如下:如下: . . . . . . . . . . . . . 因为因为f(0)3.630,
5、所以所以f(x)= ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x) = ex1+4x4是是( ,)上的增函数,所以在)上的增函数,所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。2(3) f(x)=ex1+4x4xy01321121234242(4)2(4)2(4)2(4)解:解:解:解:作出函数的图象,如下:作出函数的图象,如下:x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3 )、 (3,2,)、 (2,3 )
6、上各有上各有一个零点。一个零点。2(4) f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .例2设x0是方程lnxx4的解,则x0属于区间( )解:(1)设f(x)lnxx4,则因为f(1)30,f(2)ln22lne10,所以f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)上有零点.故选C.A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C点评:判断零点所在的范围,常利用零点定理.为了减少利用零点验证的次数,有时也可借助函数图象进行估计,再用零点定理作出判断.
7、 A、(6,7) B、(7,8) C、(8,9) D、(9,10) 例4函数ylnx2x6的零点的个数为( )题型:确定函数零点的个数A.0个 B.1个 C.2个 D.3个B解法1:设f(x)lnx2x6,因为ylnx和y2x6均为增函数,所以f(x)也是增函数.又因为f(1)02640,所以f(x)在(1,3)上存在零点,又f(x)为增函数,所以函数f(x)存在唯一的零点.故选B.解法2:在同一坐标系中,画出ylnx与y62x的图象,由图象可知,只有一个交点,故函数ylnx2x6只有一个零点.故选B.点评:判断方程的根的个数,函数的零点个数等问题,常用方法有:利用函数零点定理;利用函数图象,
8、将方程的解转化为两个函数图象交点的横坐标;解方程得出方程的解.1.(2009山东卷)若函数f(x)axxa(a0,且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是.【练习】(1,+)1,+)解:设函数yax(a0,且a1)和函数yxa,则函数f(x)axxa(a0,且a1)有两个零点,就是yax(a0,且a1)和函数yxa有两个交点.由图象可知当0a1时,因为函数yax(a1)的图象过(0,1)点,而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,如图,所以实数a的取值范围是a1.练习:C5.(2010福建卷)函数f(x)的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0x22x3,
9、x0,2lnx, x0B解:当x0时,x22x30,解得x1或x3,则f(x)在(,0上有1个零点.当x0时,2lnx0的解xe2,则f(x)在(0,)上有1个零点,所以f(x)共有2个零点,选B. 6 6函数函数f(x)x3 33 3x1 1在以下哪个区间内一定有零点在以下哪个区间内一定有零点( )( )A.A.(1,01,0) B.B.(0,10,1) C.C.(1,21,2) D.D.(2,32,3)B解:因为因为f(0 0)f(1 1)0,0,所以在(所以在(0,10,1)上)上f(x)一定有零点,)一定有零点,选选B.B.7.若若f(x)在区间()在区间(a,b)上连续不断,且)上连
10、续不断,且f(x)0 0在区间在区间(a,b)上恰有一解,则函数)上恰有一解,则函数f(x)在区间()在区间(a,b)上是)上是( () )A.A.单调递减单调递减B.B.单调递增单调递增C.C.单调递减或单调递增单调递减或单调递增D.D.以上说法都不对以上说法都不对解:如如f f(x)x2 20 0在(在(1,11,1)上恰有一解)上恰有一解x0,0,但但f(x)x2 2在(在(1,11,1)并不单调,选)并不单调,选D.D. D课课 堂堂 小小 结结1. 知识方面:知识方面:零点的概念、求法、判定;零点的概念、求法、判定;2. 数学思想方面:数学思想方面:函数与方程的相互转化,即转化思想函数与方程的相互转化,即转化思想借助图象探寻规律,即借助图象探寻规律,即数形结合数形结合思想思想.课课 后后 作作 业业2. 习题习题3.1P92A组第一、第二组第一、第二1. 预习教材预习教材P.89 P.90.