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1、学而不思则惘，思而不学则殆第一章质点运动学第一节质点运动的描述一、参考系、坐标系和质点1参考系（参照系）宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫运动的绝对性。为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作参考物，被选作参考的物体称为参考系，参考系的选择可视问题性质而任意选定。同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描述的相对性。因此，描述运动必须指出参考系。Oxyz火车站图 1-1 参考系【注意】参考系不一定是静止的。【思考】一个点能否作为参考系？2坐标系只有参考系不能定量地描述物体的位置。所以要在参考系上固定一个坐标系。 这样就可定量描述物体的位
2、置。常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。3质点在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想的点， 这样的物体可称为质点。注意：（1）质点为一个理想模型；物理学中有很多模型（以后将会接触精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆到） ，是实际情况的简化。是对复杂问题抽出主要矛盾，加以研究的有效方法；（2）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：研究足球的运动，.（3）在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。4时间和时刻一个过程
3、对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。OxyzrP(x, y, z)图 1-2 直角坐标系xyzr1r2rP1(x, y, z)P2(x, y, z)O图 1-3 位移示意图二、位置矢量运动方程位移1位置矢量（位矢）在坐标系中，质点的位置可以用从原点到质点所在位置的矢径来表示，即kjirzyx.2运动方程质点在空间运动时， 位失随时间变化的规律即为运动方程，记为：kjirr)()()()(tztytxt.（1）运动方程中包含了质点运动的全部信息。或者说知道了也就可以解决质点的运动问题。（2）运动方程的分量式x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)，是运动方程的分量式。（3）轨道（轨迹）方程精选
4、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆在运动方程的分量式中， 消去时间 t 得 f(x, y, z)=0，此方程称为质点的轨道方程； 轨道是直线的称为直线运动； 轨道是曲线的称为曲线运动。3位移（1）概念t 时刻，质点在P1点，位矢为 r1；t+t 时刻，质点在 P2点，位矢为 r2 ，则在 t 这段时间内位矢的增量12rrr称为质点在 t时间内的位移。【注意】1位移为矢量，方向从初位置指向末位置。2. 位移的大小记为|12rr|r，它是位移矢量的长度。3. 位移和位矢的区别：位移是质点运动初末位
5、置的位矢之差；位矢是坐标原点指向质点位置的一段有向线段。4. 路程S与位移大小|r|的区别：路程是 t 内走过的轨道的长度，而位移大小是质点实际移动的直线距离，位移和位矢均为矢量，但路程为标量，路程用 S表示。即使在直线运动中，位移和路程也是截然不同的两个概念。xyzr1r2rP1(x, y, z)P2(x, y, z)O图 1-4 平均速度5. 当t0 时，S|r|.（2）直角坐标系中的数学表示kjir1111zyx，kjir2222zyx，kjikjirzyxzzyyxx)()()(121212. 大小：222)()()(|zyx|r. 方向：rxcos,rycos,rzcos.精选学习资
6、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆P1P2rvv图 1-5 速度xyzr(t)P1P2Ov1v2)(ttr图 1-6 瞬时速度三、速度表示质点运动快慢的物理量。1平均速度如图 1-4 和图 1-5，我们定义质点从时刻t 到时刻 t 至 t+t 的平均速度为：ttrrrv12，【注意】 （1）平均速度的物理意义： 质点在t 时间内运动的平均快慢程度。（2）平均速度为矢量，方向就是位移r的方向；大小为tt|12rrrv，单位 ms-1 .（3）平均速率的概念定义：tSv，和平均速度的区别。（4）在直角坐
7、标系中的分解kjikjirvzyxvvvtztytxt，2 （瞬时）速度定义：如图 1-6 所示，令0t，则质点在 t 时刻的瞬时速度为tttddlim0rrv.（ 1） 速 度 是 矢量 ， 速 度 的大 小 称 为 为 速 率 ，而 且 速 率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆trtStvdddd|dd|rv；方向为元位移dr 的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向；单位ms-1.（2）在直角坐标系中质点的速度表示为：kjikjirvzyxxvvtztytxtdddddddd.大小
8、222|zyxvvvvv，方向vvxcos,vvycos,vvzcos. （3）速度的相对性和瞬时性； （4）|v与v的区别；（5）v与v的区别。四、加速度描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化的快慢） .1平均加速度在t 时间内，速度增量为12vvv，定义平均加速度：tva，与速度增量v方向相同。P1v1v2v图 1-7 平均加速度2瞬时加速度220ddddlimttttrvva. 大小：ttad|d|dd|vva，方向：0t时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。单位：ms-2（SI 制）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
9、- - - - - -第 5 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆1-8 加速度3直角坐标系中加速度的数学表示kjikjikjivazyxzyxaaatztytxtvtvtvtdddddddddddddd222.大小kjikjikjivazyxzyxaaatztytxtvtvtvtdddddddddddddd222.方向：222|zyxaaaaa，aaxcos,aaycos,aazcos.【注意】加速度的相对性和瞬时性。第二节加速度为恒矢量时的质点运动引言：运动学中的两类问题第一类：已知运动方程，求速度和加速度，微分问题；第二类：已知速度、加速度和初始条件运动方程，积分问题。一、 a 为
10、恒矢量时质点的运动方程这是运动学第二类问题的一个例子，中学中的匀加速直线运动是它的特例。已知条件： a恒矢量（ invariable Vector）t=0 时，0vv, 0rr.1速度方程由tddva，tt0dd0avvv解得：t avv0.2运动学方程（位矢随时间的变化）由tddrv，ttttdddd0avvr，ttttddd000avrrr可得：20021)(tttavrr.3分量表示和运动叠加原理（1）直角坐标系中的表示tavvxxx0，tavvyyy0，tavvzzz0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学
11、而不思则惘，思而不学则殆20021)(tatvxtxxx，20021)(tatvytyyy，20021)(tatvztzzz.（2）运动叠加原理（运动独立性原理）当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运动叠加原理，或运动的独立性原理。例如斜抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其轨道为抛物线。当抛射角为90时，称为竖直上抛运动。二、斜抛运动1问题实质a 为恒矢量 -g，取 x 坐标水平向右为正向， 取 y 坐标垂直向上为正向，则有0xa,gay,0za.初始条件，t=0 时，质点在原点，速度为0v，它的方向与 x 轴夹角为，
12、即：sin0cos0000000vvyvvxyx,则容易得到20021sincosgttvytvxtvx0tvy0t0v221t arxOy221txa221tya精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆图 1-9 运动的叠加xxyyOOv0t221gtr有地球引力时无地球引力时图 1-10 运动的叠加2轨道方程。上式消去t，即得斜抛运动的轨道方程为2220cos2tanxvgxy. 它为一条抛物线。3射程。（1）定义：从发射点到落点间水平距离。（2）公式2sincossin220200gvgv
13、d. （3）最大射程4时， d0有最大值，gvd20max0.4. 讨论：（1）空气阻力的影响（ 2）体会一下用微积分方法解抛体运动问题的步骤和方法，体会大学物理与中学物理的区别。第三节圆周运动引言：圆周运动的本质，一种特殊的平面曲线运动。下面我们先研究一般的平面曲线运动，然后才将结论运用到圆周运动上一、平面极坐标系1基本概念在平面极坐标系中，单位矢量是re和e，ere. 当质点做圆周运动时，质点的径向坐标r 为常量。当质点做直线运动时，质点的坐标为常量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆
14、在二维空间中，确定一个位置，需2 个参数。而极坐标中，质点的坐标值表示为rrer.直角坐标系与平面极坐标系的坐标之间的变换关系即为cosrx，sinry.2平面极坐标系下质点运动的速度表达式如图 1-12所示， 在t时间间隔内质点的位移可表示为21rrr. 式中AC1r表示质点的横向位移，即质点垂直于径向的位置变化；CB2r表示质点的径向位移，即质点离原点O 远近的变化。当t很 小 时 ， 由r|OCOA和rOCOB|可 得err1,rrer2. 所以，运动质点的速度在极坐标中有对应的表达式：（1）若=常量，运动是沿固定径向的一维运动。（2）若 r = 常量，速度 v沿切向，运动是圆周运动。O
15、r极轴图 1-11 极坐标二、圆周运动的角速度对圆周运动，我们使用平面极坐标系可得，r=const . 因此，圆周运动的质点的速度为：vv，沿圆周的切线方向。大小为矢径r 乘于质点的矢径与极轴之间的夹角对随时间的微商，即仅仅决定于角坐标)(t随时间的变化。1定义角坐标随时间的变化率t dd称为角速度。单位： rads-1.【注意】在这里我们将角速度定义为标量，第四章我们将进一步将它定义为矢量。2圆周运动质点速率和角速度的关系由eev)(dd)(trtrt，质点作圆周运动时速率和角速度之间的瞬时关系是rv.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
16、第 9 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆三、圆周运动的切向加速度和法向加速度角加速度1平面曲线运动的自然坐标系描述（1）自然坐标系自然坐标系的原点为质点运动轨道上的一点。ne沿轨道法线，指向轨道的曲率中心，称为法向单位矢量；e沿轨道切向，指向质点的前进方向，称为切向单位矢量。OSeten图 1-12 切向和法向（2）运动方程在自然坐标中，质点某一时刻的位置由质点与原点间的轨道长度S来确定。质点在坐标系中运动时，有S=S(t)，这就是运动方程。（3）速度自然坐标中质点运动的路程可表示为S =S(t+t)-S(t)速度为evv，式中tStSvtddlim0为速度 v 的值，即为速率。（4
17、）加速度如图 1-12 所示，质点运动的加速度为：ntvtvtaaeevadddddd，可见加速度由两个相互垂直的分矢量a和na合成，a称为切向加速度，na称为法向加速度。2圆周运动的切向加速度和法向加速度如果质点作圆周运动， 比较一下平面极坐标系和自然坐标系，可见：rnee，ee. 【注意】nntvtvtaaeevadddddd.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆（1）切向加速度。 切向加速度的大小：trtvaccdddd|a，方向：沿圆周切向质点前进的方向。（2）法向加速度。法向加速
18、度tvnddea. 因为12eee，而且|ee, 所以当t0 时，0，这时e的方向趋向于与1e垂直，即趋于指向圆心，为法线方向ne. 所以，ntttteeeddddlim0即得nnnnnrvrvtvtveeeeea22dddd.为质点的法向加速度。大小：rvrvan22. 方向：沿半径指向圆心。（3）角加速度注意到圆周运动中r= 常数，因此质点的切向加速度的大小tradd仅仅决定于tdd. 我们定义角速度对时间的变化率tdd为角加速度，记为：22ddddtt. 这样，ra. 即ear. 【注意】这里我们将角加速度定义为标量，在第四章中我们将定义它为矢量。【讨论】一般（变速）圆周运动的加速度的方
19、向四、匀速圆周运动和匀变速圆周运动t0，)(20202，20021tt.anaOra图 1-13 切向加速度和法向加速度1匀变速率圆周运动精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆角加速度=常量，而加速度为nnrreeaaa2，加速度的值为22aaan，其方向并非指向圆心。2匀速率圆周运动质点的速率 v 和角速度都为常量，则角加速度0，因此nnreaa2，t0. 第四节相对运动一、时间与空间在牛顿力学范围内，时间与空间的测量与参考系的选取无关，这就是时间的绝对性和空间的绝对性。二、相对运动1描述
20、运动的相对性在牛顿力学范围内，运动质点的位移、速度和运动轨迹则与参考系的选取有关，即运动的描述具有相对性。匀速运动的火车中的人，垂直上抛一个小球， 不同的观察者观察的结果不同。在火车上的人认为小球作垂直上抛，而在地面上的人认为作抛物线运动。2速度关系设有两个参考系，一个为S系（即 Oxyz坐标系） ，另一个为 S 系（即 Oxyz 坐标系） . t=0 时，这两个参考系相重合。有一个质点在 S系中位于 P，而在 S系中位于 P 点。在0t时间内， S 系沿 x 轴以恒定的速度相对S系运动的同时，质点运动到点 Q . 在这段时间内， S 系沿 x 轴相对 S系的位移为r.精选学习资料 - - -
21、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆tuDDrrPPPOOy y(a) t=0(b) t=tyx xx xPQyOOu图 1-14S系：质点从QP，其位移为r；S系：质点由QP，其位移为r；由位移的相对性及时间的绝对性 tt可得出速度的相对性。 用时间t除以上式有urrtt. 取0t时的极限值，得urrttdddd. 即uvv.v：质点在 S系中的速度，称为绝对速度；u：S 系相对于 S系的速度，称为牵连速度；v ：质点在 S 系中的速度，称为相对速度。v绝对速度v绝对速度u牵连速度图 1-15 切向加速度和法向加速度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
