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1、. . FEADCB初二数学奥数1、如图，梯形ABCD 中， AD BC ， DE EC ，EFAB交 BC于点 F，EF EC ，连结 DF。(1) 试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2) 若 AD1，BC3，DC 2，试判断 DCF的形状；(3) 在条件 (2) 下，射线 BC上是否存在一点P，使 PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页. . 2、在边长为6 的菱形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿ABC 向终点C 运动，连接DM 交
2、AC 于点 N. （1）如图 251，当点 M 在 AB 边上时，连接BN. 求证： ABNADN；若 ABC = 60 ，AM = 4，求点 M 到 AD 的距离；（2）如图 252，若 ABC = 90 ，记点 M 运动所经过的路程为x（ 6x12）试问： x 为何值时， ADN 为等腰三角形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页. . 3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OMON，且OMON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动
3、到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；（2）连接 P1A、P1B，判断ABP1与 ADP之间有怎样的关系？并说明理由。(3) 以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、P两点的坐标为（ 0， 4） 、 （ 1，1） ，请你推断：P4、P2009、P2010三点的坐标PDCBAONM图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页. . 4、如图 1 和
4、2，在 2020 的等距网格（每格的宽和高均是1 个单位长）中， RtABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒 1 个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时， Rt ABC停止移动 . 设运动时间为x秒，QAC的面积为y. （1）如图 1，当 RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图 2，在 RtABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在 RtABC向右平移的过程中，请你说明
5、当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页. . 5、如图， ABC 中，AB=AC ，B、C 的平分线交于O 点， 过 O 点作 EFBC 交 AB 、AC 于 E、F(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF 与 BE、 CF 之间有怎样的关系，并说明理由(2)如图，若AB AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们在第 (1)问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗? (3)如图，若 ABC 中 B 的平分线BO 与三角形外角平分
6、线CO 交于 O，过 O 点作OEBC 交 AB 于 E，交 AC 于 F这时图中还有等腰三角形吗?EF 与 BE、CF 关系又如何 ?说明你的理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页. . 6、已知，如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC,D 为 AC 上一点，且BDC=124，延长 BA 到点 E，使 AE=AD,BD的延长线交 CE于点 F，求 E 的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页. . 7、如图，正方形ABCD 的
7、对角线AC,BD交于点 O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点 O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD 的两边交于点E和 F。 通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页. . 1、解：（1）证明： EF=EC ， EFC=ECF， EFAB ， B=EFC， B=ECF，梯形ABCD 是等腰梯形；（2）DCF 是等腰直角三角形，证明： DE=EC ，EF=EC， EF= 21CD， CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三
8、角形是直角三角形） ，梯形 ABCD 是等腰梯形，CF= 21（BC-AD ）=1，DC= 2， 由勾股定理得：DF=1， DCF 是等腰直角三角形；（3）共四种情况：PB=1，PB=2， PB=3-2，PB=3+22、证明：（1）四边形ABCD 是菱形，AB=AD ， 1=2又AN=AN ， ABN ADN 解：作MH DA 交 DA 的延长线于点H由 AD BC，得 MAH= ABC=60 在 RtAMH 中， MH=AM ?sin60=4sin60=2 3 点 M 到 AD 的距离为 2 3AH=2 DH=6+2=8 （2）解： ABC=90 ，菱形 ABCD 是正方形 CAD=45 下
9、面分三种情形：（）若 ND=NA ，则 ADN= NAD=45 此时，点M 恰好与点B 重合，得x=6；（）若 DN=DA ，则 DNA= DAN=45 此时，点M 恰好与点C 重合，得x=12；（）若 AN=AD=6 ，则 1=2AD BC， 1=4，又 2=3， 3=4CM=CN AC=6 2 CM=CN=AC-AN=6 2-6故 x=12-CM=12- （ 6 2-6）=18-6 2综上所述：当x=6 或 12 或 18-6 2 时， ADN 是等腰三角形。3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（2） ABP1 ADP ，且 ABP1可看成是由ADP 绕点 A 顺时针旋转90而得
10、理由如下：在ABP1 和 ADP 中，由题意： AB=AD ，AP=AP1， PAD=P1AB ， ABP1 ADP ，又 ABP1和 ADP 有公共顶点A，且 PAP1=90，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页. . ABP1可看成是由 ADP 绕点 A 顺时针旋转90而得；（3）点 P（1，1）关于点A（ 0，4）左转弯运动到P1（-3，3） ，点 P1（-3，3）关于点 B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5，3） ，点 P2（-5，3）关于点 C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1，1） ，点 P3（-1，
11、1）关于点 D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1） ，点 P4（1， 1）关于点 A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3） ，点 P5与点 P1重合，点P6与点 P2重合， ，点 P2009的坐标为（ -3，3）点 P2010的坐标为（ -5，3） 4、解：（1）如图 1， A2B2C2是 A1B1C1关于直线QN 成轴对称的图形；（2）当 ABC 以每秒 1 个单位长的速度向下平移x 秒时（如图2） ，则有： MA=x ，MB=x+4 ，MQ=20 ，y=S 梯形QMBC-SAMQ-SABC=214+20） （x+4）- 2120x- 214 4 =2x+40（0x16） 由一次函数的性
12、质可知：当 x=0 时， y 取得最小值，且y 最小 =40，当 x=16 时， y 取得最大值，且y 最大 =216+40=72；（3）解法一：当 ABC 继续以每秒1 个单位长的速度向右平移时，此时 16x32，PB=20-（x-16）=36-x ，PC=PB-4=32-x ，y=S 梯形BAQP-SCPQ-SABC= 21（4+20） （36-x） -2120（ 32-x）- 2144 =-2x+104 （16x32） 由一次函数的性质可知：当 x=32 时， y 取得最小值，且y 最小 =-232+104=40；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 9 页，共 11 页. . 当 x=16 时， y 取得最大值，且y 最大 =-216+104=72解法二：在 ABC 自左向右平移的过程中，QAC 在每一时刻的位置都对应着（2）中 QAC 某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN 成轴对称因此，根据轴对称的性质，只需考查 ABC 在自上至下平移过程中QAC 面积的变化情况，便可以知道 ABC 在自左向右平移过程中QAC 面积的变化情况当 x=16 时， y 取得最大值，且y 最大 =72，当 x=32 时， y 取得最小值，且y 最小 =405、解：（1）图中有5 个等腰三角形，EF=BE+CF ， BEO CF
14、O，且这两个三角形均为等腰三角形，可得 EF=EO+FO=BE+CF ；（2）还有两个等腰三角形，为BEO、 CFO，如下图所示：EFBC， 2=3，又 1=2， 1=3， BEO 为等腰三角形，在CFO 中，同理可证EF=BE+CF 存在（3）有等腰三角形：BEO、 CFO，此时 EF=BE-CF ，如下图所示：OEBC， 5=6，又 4=5， 4=6， BEO 是等腰三角形，在 CFO 中，同理可证CFO 是等腰三角形，此时 EF=BE-CF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页. . 6、解：在 ABD 和
15、 ACE 中，AB=AC ， DAB= CAE=90 AD=AE ， ABD ACE （SAS） ， E=ADB ADB=180 -BDC=180 -124=56， E=567、解： OE=OF证明：正方形ABCD 的对角线AC，BD 交于点 O，OA=OB ， OAB= OBE=45， AC BD AOF+ FOB= EOB+ FOB=90， AOF= EOB在 AOF 和 BOE 中OAB= OBE，OA=OB ， AOF= EOB， AOF BOE （ASA ） OE=OF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
