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1、. . FEADCB初二数学奥数1、如图,梯形ABCD 中, AD BC , DE EC ,EFAB交 BC于点 F,EF EC ,连结 DF。(1) 试说明梯形ABCD 是等腰梯形;(2) 若 AD1,BC3,DC 2,试判断 DCF的形状;(3) 在条件 (2) 下,射线 BC上是否存在一点P,使 PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页. . 2、在边长为6 的菱形 ABCD 中,动点 M 从点 A 出发,沿ABC 向终点C 运动,连接DM 交
2、AC 于点 N. (1)如图 251,当点 M 在 AB 边上时,连接BN. 求证: ABNADN;若 ABC = 60 ,AM = 4,求点 M 到 AD 的距离;(2)如图 252,若 ABC = 90 ,记点 M 运动所经过的路程为x( 6x12)试问: x 为何值时, ADN 为等腰三角形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页. . 3、对于点O、M,点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N,使OMON,且OMON,这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”正方形ABCD和点P,P点关于A左转弯运动
3、到P1,P1关于B左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,(1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置;(2)连接 P1A、P1B,判断ABP1与 ADP之间有怎样的关系?并说明理由。(3) 以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系,并且已知点B在第二象限,A、P两点的坐标为( 0, 4) 、 ( 1,1) ,请你推断:P4、P2009、P2010三点的坐标PDCBAONM图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页. . 4、如图 1 和
4、2,在 2020 的等距网格(每格的宽和高均是1 个单位长)中, RtABC从点A与点M重合的位置开始,以每秒 1 个单位长的速度先向下平移,当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移,当点C与点P重合时, Rt ABC停止移动 . 设运动时间为x秒,QAC的面积为y. (1)如图 1,当 RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时,请你在网格中画出Rt A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;(2)如图 2,在 RtABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少?(3)在 RtABC向右平移的过程中,请你说明
5、当x取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最值分别是多少?为什么?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页. . 5、如图, ABC 中,AB=AC ,B、C 的平分线交于O 点, 过 O 点作 EFBC 交 AB 、AC 于 E、F(1)图中有几个等腰三角形?猜想:EF 与 BE、 CF 之间有怎样的关系,并说明理由(2)如图,若AB AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?如果有,分别指出它们在第 (1)问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗? (3)如图,若 ABC 中 B 的平分线BO 与三角形外角平分
6、线CO 交于 O,过 O 点作OEBC 交 AB 于 E,交 AC 于 F这时图中还有等腰三角形吗?EF 与 BE、CF 关系又如何 ?说明你的理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页. . 6、已知,如图,ABC 中,BAC=90,AB=AC,D 为 AC 上一点,且BDC=124,延长 BA 到点 E,使 AE=AD,BD的延长线交 CE于点 F,求 E 的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页. . 7、如图,正方形ABCD 的
7、对角线AC,BD交于点 O,将一三角尺的直角顶点放在点O处,让其绕点 O旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD 的两边交于点E和 F。 通过观察或测量OE,OF的长度,你发现了什么?试说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页. . 1、解:(1)证明: EF=EC , EFC=ECF, EFAB , B=EFC, B=ECF,梯形ABCD 是等腰梯形;(2)DCF 是等腰直角三角形,证明: DE=EC ,EF=EC, EF= 21CD, CDF 是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三
8、角形是直角三角形) ,梯形 ABCD 是等腰梯形,CF= 21(BC-AD )=1,DC= 2, 由勾股定理得:DF=1, DCF 是等腰直角三角形;(3)共四种情况:PB=1,PB=2, PB=3-2,PB=3+22、证明:(1)四边形ABCD 是菱形,AB=AD , 1=2又AN=AN , ABN ADN 解:作MH DA 交 DA 的延长线于点H由 AD BC,得 MAH= ABC=60 在 RtAMH 中, MH=AM ?sin60=4sin60=2 3 点 M 到 AD 的距离为 2 3AH=2 DH=6+2=8 (2)解: ABC=90 ,菱形 ABCD 是正方形 CAD=45 下
9、面分三种情形:()若 ND=NA ,则 ADN= NAD=45 此时,点M 恰好与点B 重合,得x=6;()若 DN=DA ,则 DNA= DAN=45 此时,点M 恰好与点C 重合,得x=12;()若 AN=AD=6 ,则 1=2AD BC, 1=4,又 2=3, 3=4CM=CN AC=6 2 CM=CN=AC-AN=6 2-6故 x=12-CM=12- ( 6 2-6)=18-6 2综上所述:当x=6 或 12 或 18-6 2 时, ADN 是等腰三角形。3、解:(1)用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰;(2) ABP1 ADP ,且 ABP1可看成是由ADP 绕点 A 顺时针旋转90而得
10、理由如下:在ABP1 和 ADP 中,由题意: AB=AD ,AP=AP1, PAD=P1AB , ABP1 ADP ,又 ABP1和 ADP 有公共顶点A,且 PAP1=90,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页. . ABP1可看成是由 ADP 绕点 A 顺时针旋转90而得;(3)点 P(1,1)关于点A( 0,4)左转弯运动到P1(-3,3) ,点 P1(-3,3)关于点 B(-4,4)左转弯运动到点P2(-5,3) ,点 P2(-5,3)关于点 C(-4,0)左转弯运动到点P3(-1,1) ,点 P3(-1,
11、1)关于点 D(0,0)左转弯运动到点P4(1,1) ,点 P4(1, 1)关于点 A(0,4)左转弯运动到点P5(-3,3) ,点 P5与点 P1重合,点P6与点 P2重合, ,点 P2009的坐标为( -3,3)点 P2010的坐标为( -5,3) 4、解:(1)如图 1, A2B2C2是 A1B1C1关于直线QN 成轴对称的图形;(2)当 ABC 以每秒 1 个单位长的速度向下平移x 秒时(如图2) ,则有: MA=x ,MB=x+4 ,MQ=20 ,y=S 梯形QMBC-SAMQ-SABC=214+20) (x+4)- 2120x- 214 4 =2x+40(0x16) 由一次函数的性
12、质可知:当 x=0 时, y 取得最小值,且y 最小 =40,当 x=16 时, y 取得最大值,且y 最大 =216+40=72;(3)解法一:当 ABC 继续以每秒1 个单位长的速度向右平移时,此时 16x32,PB=20-(x-16)=36-x ,PC=PB-4=32-x ,y=S 梯形BAQP-SCPQ-SABC= 21(4+20) (36-x) -2120( 32-x)- 2144 =-2x+104 (16x32) 由一次函数的性质可知:当 x=32 时, y 取得最小值,且y 最小 =-232+104=40;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 9 页,共 11 页. . 当 x=16 时, y 取得最大值,且y 最大 =-216+104=72解法二:在 ABC 自左向右平移的过程中,QAC 在每一时刻的位置都对应着(2)中 QAC 某一时刻的位置,使得这样的两个三角形关于直线QN 成轴对称因此,根据轴对称的性质,只需考查 ABC 在自上至下平移过程中QAC 面积的变化情况,便可以知道 ABC 在自左向右平移过程中QAC 面积的变化情况当 x=16 时, y 取得最大值,且y 最大 =72,当 x=32 时, y 取得最小值,且y 最小 =405、解:(1)图中有5 个等腰三角形,EF=BE+CF , BEO CF
14、O,且这两个三角形均为等腰三角形,可得 EF=EO+FO=BE+CF ;(2)还有两个等腰三角形,为BEO、 CFO,如下图所示:EFBC, 2=3,又 1=2, 1=3, BEO 为等腰三角形,在CFO 中,同理可证EF=BE+CF 存在(3)有等腰三角形:BEO、 CFO,此时 EF=BE-CF ,如下图所示:OEBC, 5=6,又 4=5, 4=6, BEO 是等腰三角形,在 CFO 中,同理可证CFO 是等腰三角形,此时 EF=BE-CF ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页. . 6、解:在 ABD 和
15、 ACE 中,AB=AC , DAB= CAE=90 AD=AE , ABD ACE (SAS) , E=ADB ADB=180 -BDC=180 -124=56, E=567、解: OE=OF证明:正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点 O,OA=OB , OAB= OBE=45, AC BD AOF+ FOB= EOB+ FOB=90, AOF= EOB在 AOF 和 BOE 中OAB= OBE,OA=OB , AOF= EOB, AOF BOE (ASA ) OE=OF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页