2022年初中数学知识点总结完整版 2

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1、2012年边城高级中学初中数学知识点总结第一讲数与式第 1 课时实数的有关概念考点一、实数的概念及分类（3 分）正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数（） 、开方开不尽的数负无理数凡能写成)0pq,p(pq为整数且形式的数，都是有理数.正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）2、数轴： 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是

2、另一个的相反数；0 的相反数还是0；(2)相反数的和为0 a+b=0 a、b 互为相反数 . 4、绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：)0a(a)0a(0)0a(aa绝对值的问题经常分类讨论；5、倒数若 ab=1 a、b互为倒数；若 ab=-1a、b 互为负倒数。 倒数等于本身的数是1 和-1。 零没有倒数。11aa考点三、平方根、算数平方根和立方根（310 分）6、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟） 。一个数有两个平方根，他们互为相反

3、数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数 a的平方根记做“a” 。算术平方根正数 a的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a” 。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2aa，2aa；注意a的双重非负性：0aa0 7、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

4、- - - 第 1 页，共 36 页 - - - - - - - - - 考点四、近似数（36 分）8、近似数1、近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.2、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。第 2 课时实数的运算与大小考点一、实数的运算（做题的基础，分值相当大）1、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0 相加，仍得这个数. 2、有理数

5、乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 3、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a. 4、实数的运算律加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba乘法交换律：baab乘法结合律：)()(bcacab乘法对加法的分配律acabcba)(5、乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；6、有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正

6、数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时 : (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n为正偶数时 : (-a)n =an或 (a-b)n=( b-a)n . 7、科学记数法把一个数写做na10的形式，其中101a，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。8、实数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。考点二、实数大小的比较（3 分）9、实数大小的比较数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活

7、运用。实数大小比较的几种常用方法数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。求差比较：设a、b 是实数，,0baba,0babababa0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 36 页 - - - - - - - - - 求商比较法：设a、b 是两正实数，;1;1;1babababababa绝对值比较法：设a、b 是两负实数，则baba。平方法：设a、b 是两负实数，则baba22。第 3 课时整式考点一、整式的有关概念（3 分）1

8、、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如ba2314，这种表示就是错误的，应写成ba2313。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如cba235是 6 次单项式。考点二、多项式（11 分）3、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。用数值代替代数式中的字母，按照代数

9、式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意： （1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。4、同类项： 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。合并同类项时，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变。5、去括号法则： （1）括号前是“ +” ，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。（2）括号前是“” ，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。6、整式的运算法则整式的加减法： （1）去括号；（2）合并同类项。整式的乘法：),(都是正整数

10、nmaaanmnm),(都是正整数）（nmaam nnm)()(都是正整数nbaabnnn22)(bababa2222)(bababa2222)(bababa222()2ababab22()()4ababab2233()()ab aabbab2233()()abaabbab单项式乘以多项式：()m abcmambmc多项式乘以多项式：()()mn abmambnanb整式的除法：)0,(anmaaanmnm都是正整数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3

11、 页，共 36 页 - - - - - - - - - 单项式除以单项式：()abmambm【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）),0(1);0(10为正整数paaaaapp（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。第 4 课时因式

12、分解（ 11 分）1、因式分解（整式乘法的逆变形）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(cbaacab（2）运用公式法：)(22bababa222)(2bababa222)(2bababa（3）分组分解法：)()()(dcbadcbdcabdbcadac（4）十字相乘法：)()(2qapapqaqpa3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公

13、式法、十字相乘法分解因式；4 项式及4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。第 5 课时分式（ 810 分）1、分式的概念形如BA的式子，其中A、B 是整式， B 中含有未知数且B 不等于 0 的整式叫做分式。2、分式有意义的条件：分母不等于0 3、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。4、约分： 把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分。公因式： 系数（各项系数的

14、最大公约数）字母及式子（相同字母和式子的最低次幂）5、通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。最简公分母：系数（各个分母的系数的最小公倍数）字母及式子（所有字母和式子的最高次幂）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 36 页 - - - - - - - - - 6、分式的四则运算：同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：ababccc异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分 ,化为

15、同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 .用字母表示为：bdbcadacac分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdbdacac分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. bdbcbcacadad第 6 课时二次根式（初中数学基础，分值很大）1、二次根式式子)0(aa叫做二次根式， 二次根式必须满足：含有二次根号 “” ；被开方数a 必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。最简

16、二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质（1）)0()(2aaa)0(aa（2）aa2)0(aa（3）)0, 0(babaab（4）)0, 0(bababa5、二次根式混合运算二次根式的混合运

17、算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 。第二讲方程与不等式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 36 页 - - - - - - - - - 第 7 课时一元一次方程（6 分）1、等式： 用等号“ =”来表示相等关系的式子叫等式。2、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。3、方

18、程： 含有未知数的等式叫做方程。4、方程的解 :能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。5、一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0ax0bax叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数， b 是常数项。6、一元一次方程解法的一般步骤：整理方程去分母去括号移项合并同类项系数化为1（检验方程的解）. 7、列方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、验、答！第 8 课时二元一次方程（810 分）1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是ax+by=c(a0,b

19、0)。2、二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。3、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。5、消元： 将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消

20、元法，简称加减法。6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。第 9 课时一元二次方程考点一、一元二次方程（ 6 分）1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。考点二、一元二次方程的解法（10 分）1、直接开平

21、方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大，当 k0 时， ,y 随 x 的增大而增大，当k0 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是x0，y 的取值范围是y0；当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（

22、3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

23、 - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 36 页 - - - - - - - - - a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时，图像与x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y 如图：点A 坐标为（ x1，y1）点 B 坐标为（ x2，y2）则 AB 间的距离，即线段AB 的长度为221221yyxxA 0 x B 2、函数平移规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间

24、）左加右减、上加下减第 18课时二次函数的应用（1）.定义： 一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做 x 的二次函数。（2）.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点。 a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x。（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) 名师归纳总

25、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 36 页 - - - - - - - - - cbxaxy2abx2(abacab4422，) （4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2。配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx。运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的

26、交点是顶点。若已知抛物线上两点12(, ) (, )、xyxy（及 y 值相同） ， 则对称轴方程可以表示为：122xxx（5）.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的 a完全一样。b和 a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线。abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即 a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0ab（即 a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。 c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置。当0x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（ 0， c） ：0c，抛物线经过原点 ; 0c,与y轴交

27、于正半轴； 0c,与y轴交于负半轴 . 以上三点中， 当结论和条件互换时， 仍成立 .如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab。第四讲三角形第 19课时线段，角，相交线和平行线考点一、直线、射线和线段（3 分）1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习

28、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 36 页 - - - - - - - - - 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。3、直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线

29、可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。（2）直线和射线无长度，线段有长度。（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。（4）点和直线的位置关系有线面两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无

30、穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角（3 分）1、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫

31、做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。2、角的表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共

32、36 页 - - - - - - - - - 用数字表示单独的角，如1， 2， 3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如， ， ， 等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B， C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD ， BAE ， CAE 等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180 等分，每一份就是1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“ 1” ， n 度记作“ n” 。把 1的角 60 等分，每一份叫做1分的角， 1 分记作“ 1 ” 。把 1的角 60

33、 等分，每一份叫做1 秒的角， 1 秒记作“ 1” ” 。1=60 =60”4、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。5、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线（3 分）1、相交线中的角两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中

34、，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补，对顶角相等。直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截） ，构成八个角。 其中 1 与 5 这两个角分别在AB，CD 的上方，并且在 EF 的同侧， 像这样位置相同的一对角叫做同位角；3 与 5 这两个角都在 AB ，CD 之间，并且在EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角； 3 与 6 在直线 AB ，CD 之间，并侧在EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。2、垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做

35、垂足。直线 AB，CD 互相垂直，记作“AB CD” （或“ CDAB ”)，读作“ AB 垂直于 CD” （或“ CD 垂直于 AB ” ） 。垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点四、平行线（38 分）1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“AB CD” ，读作“ AB平行于 CD” 。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。注意：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

36、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 36 页 - - - - - - - - - （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

37、简称：内错角相等，两直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。第 20课时三角形的基本概念和性质考点一、三角形（38 分）1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边； 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三

38、角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是

39、A、B、C 的三角形记作“ABC ” ，读作“三角形ABC ” 。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 36 页 - - - - - - - - - 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形

40、：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注： 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积=21底高

41、9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5

42、：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。第 21课时等腰三角形考点、等腰三角形（810 分）1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页

43、，共 36 页 - - - - - - - - - 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2ba 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为 B、 C，则 A=180 2 B， B=C=2180A2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论 3

44、：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边） ，那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线

45、相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半 腰长 BC ） ，并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中AC=215AB0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理（35 分）（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图： abc

46、，直线 l1与 l2分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C 和 D、E、F，则有,ABDEABDEBCEFBCEFACDFACDF。（2）推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 如 图 ： ABC 中 ， DE BC， DE 与 AB、 AC 相 交 与 点 D 、 E， 则 有 ：,ADAEADAEDEDBECDBECABACBCABACdcbaaABDEl1bl2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2

47、1 页，共 36 页 - - - - - - - - - （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。考点三、相似三角形（38 分）1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：DEBC， ADE ABC 相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC ，都有 ABC ABC ；（2）对称性：若ABC A B C

48、 ，则 A B C ABC （3）传递性：若ABC A B C ，并且 A B C ABC，则 ABC ABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的

49、三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABCDECEABD名师归纳总结 精品学习资料 - - -

50、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 36 页 - - - - - - - - - 5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在

51、直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。第 25课时锐角三角函数考点三、锐角三角函数的概念（38 分） 1、如图，在 ABC中， C=90锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为sinA ，即casin斜边的对边AA锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AA

52、A锐角 A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 2122231 cos1 2322210 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 36 页 - - - - - - - - - tan0 331 3不存在cot不存在31 330 4、各锐角三角函数之间的关系（1

53、）互余关系sinA=cos(90A) ，cosA=sin(90A) tanA=cot(90A) ，cotA=tan(90A) （2）平方关系1cossin22AA（3）倒数关系tanAtan(90 A)=1 （4）弦切关系tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在0 90 之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形（ 35）1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元

54、素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中， C=90， A， B， C 所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+ B=90（3）边角之间的关系：baBabBcaBcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径第五讲四边形第 26课时多边形与平行四边形考点一、四边形的相关概念（3 分）1、四边形在同一平面内

55、，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 36 页 - - - - - - - - - 形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就

56、是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于)2(n180；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为2)3(nn。考点二、平行四边形（310 分）1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号 “ABCD ” 表示，如平行四边形ABCD 记作 “ABCD ” ， 读作 “平行四边形ABCD ” 。

57、2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平

58、行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长高 =ah 第 27课时矩形、菱形和正方形考点一、矩形（310 分）1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 36 页 - - - -

59、- - - - - （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长宽 =ab 考点二、菱形（310 分）1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长高 =两条对角线乘积

60、的一半考点三、正方形（310 分）1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等

61、。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b S正方形=222ba第 28课时梯形考点、梯形（310 分）1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 36 页 - - - - - - - - - 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常

62、把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相

63、等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积（1）如图，DEABCDSABCD)(21梯形（2）梯形中有关图形的面积：BACABDSS；BOCAODSS；BCDADCSS6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。梯形常用辅助线：初中几何常见辅助线作法歌诀汇编图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角

64、线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 36 页 - - - - - - - - - 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和

65、弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练第六讲 圆第 29课时圆的基本性质考点一、圆的相关概念（ 3 分）1、圆的定义在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。2、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“O” ，

66、读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3 分）（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2 倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧AB ”或“弧AB” 。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论（3 分）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直

67、径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性（3 分）1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 36 页

68、 - - - - - - - - - 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3 分）1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论（38 分）1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推

69、论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。第 30课时与圆有关的位置关系考点一、点和圆的位置关系（3 分）设 O 的半径是r，点 P到圆心 O 的距离为d，则有：dr点 P 在 O 外。考点二、过三点的圆（3 分）1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心

70、。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。考点三、反证法（3 分）先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。考点四、直线与圆的位置关系（35 分）直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果 O的半径为r ，圆心 O到直线 l 的距离为d, 那么：直线 l 与 O相交dr；考点五、切

71、线的判定和性质（38 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 36 页 - - - - - - - - - 1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。考点六、切线长定理（3 分）1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点七、三角

72、形的内切圆（38 分）1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。考点八、圆和圆的位置关系（3 分）1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和 r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdr）两圆内含dr

73、）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。第 31课时与圆有关的计算考点一、正多边形和圆（ 3 分）1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。考点二、与正多边形有关的概念（3 分）1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的

74、距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 36 页 - - - - - - - - - 考点三、正多边形的对称性（3 分）1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角

75、器或尺规等分圆，再做正多边形。考点四、弧长和扇形面积（38 分）1、弧长公式n的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rnl2、扇形面积公式lRRnS213602扇其中 n是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积rlrlS221其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。补充 ： （此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）1、相交弦定理O 中，弦 AB 与弦 CD 相交与点E，则 AEBE=CEDE 2、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即： BA

76、C= ADC 3、切割线定理PA 为 O 切线， PBC 为 O 割线，则PCPBPA2第七讲 图像的变换名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 36 页 - - - - - - - - - 第 32课时轴对称与中心对称考点一、轴对称（35 分）1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对

77、称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。考点二、中心对称（3 分）1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，

78、并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征（3 分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（ x，y）关于原点的对称点为P （-x，-y）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等， y 的符号相反，即点P（x，y）

79、关于 x 轴的对称点为P （x， -y）3、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等， x 的符号相反，即点P（x，y）关于 y 轴的对称点为P （-x，y）第 33课时平移与旋转考点一、平移（35 分）1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。考点二、旋转（38 分）1、定义名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

80、- - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 36 页 - - - - - - - - - 把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。第 34课时视图与投影（3 分）1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图当我们从

81、某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 （长对正、高平齐、宽相等）主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。3、展开图第八讲 统计与概率第 35课时统计考点一、平均数（3 分）1、平均数的概念（1）平均数：一般地，如果有n 个数,21nxxx那么，)(121nxxxnx叫做这 n 个数的平均数，x读作“ x 拔” 。（ 2）加权平均数：如果n 个数中，1x出现1f次，2x出现2f次，kx

82、出现kf次（这里nfffk21）， 那 么 ， 根 据 平 均 数 的 定 义 ， 这n个 数 的 平 均 数 可 以 表 示 为nfxfxfxxkk2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中kfff,21叫做权。2、平均数的计算方法（1）定义法当所给数据,21nxxx比较分散时，一般选用定义公式：)(121nxxxnx（2）加权平均数法：当 所 给 数 据 重 复 出 现 时 ， 一 般 选 用 加 权 平 均 数 公 式 ：nfxfxfxxkk2211， 其 中nfffk21。（3）新数据法：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整

83、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 36 页 - - - - - - - - - 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：axx。其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，axx11，axx22， ，axxnn。)(121nxxxnx是新数据的平均数（通常把,21nxxx叫做原数据，,21nxxx叫做新数据）。考点二、统计学中的几个基本概念（4 分）1、总体所有考察对象的全体叫做总体。2、个体总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量样本中个体的

84、数目叫做样本容量。5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数（ 35 分）1、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。考点四、方差（3 分）1、方差的概念在一组数据,21nxxx中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即)()()(1222212xxxxxxnsn2、方差的计算（1）基本公式：)()(

85、)(1222212xxxxxxnsn（2）简化计算公式（） ：)(12222212xnxxxnsn也可写成2222212)(1xxxxnsn此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。（3）简化计算公式（） ：)(12222212xnxxxnsn当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 36 页 - - - - - - - - - 均 数

86、接 近 的 常 数a， 得 到 一 组 新 数 据axx11，axx22， ，axxnn， 那 么 ，2222212)(1xxxxnsn此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。（4）新数据法：原数据,21nxxx的方差与新数据axx11，axx22，axxnn的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得,21nxxx的方差就等于原数据的方差。3、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即)()()(1222212xxxxxxnssn考点五、频率分布（6 分）1、频率分布的意义在许多问题中， 只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小

87、范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。2、研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：计算极差（最大值与最小值的差）决定组距与组数决定分点列频率分布表画频率分布直方图（2）频率分布的有关概念极差：最大值与最小值的差频数：落在各个小组内的数据的个数频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。第 36课时概率考点一、确定事件和随机事件（3 分）1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件

88、。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。考点二、随机事件发生的可能性（3 分）一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。考点三、概率的意义与表示方法（56 分）1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p就叫做

89、事件A 的概率。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 36 页 - - - - - - - - - 2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，表示事件A 的概率 p，可记为 P（A）=P 考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3 分）1、确定事件概率（1）当 A 是必然发生的事件时，P（A） =1 （2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的可能性越来越小0 1

90、概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大考点五、古典概型（3 分）1、古典概型的定义某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P（A）=nm考点六、列表法求概率（ 10 分）1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能

91、的结果，通常采用列表法。考点七、树状图法求概率（10 分）1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。考点八、利用频率估计概率（8 分）1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随

92、机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。某些数列前n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+ +(2n -1)=n22+4+6+8+10+12+14+ +(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+ +n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 36 页 - - - - - - - - -