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1、第十八章勾股定理 18 1 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、学案（一）阅读课本第64 页，并完成思考题：1、毕达哥拉斯在地板上的发现：（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个；（2）若设两个较小正方形边长均为a，则它们的面积都为，设较大的正方形边长为c，则它的面积为。（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和较大的正方形面积，即有
2、 = 。（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边，由 = 可知，等腰直角三角形的两条边的平方等于边的平方。2、由第 1 题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）观察图（ 1）正方形A中含有 _个小方格，即 A的面积是 _个单位面积；正方形B中含有 _个小方格，即B的面积是 _个单位面积；正方形C中含有 _个小方格，即C的面积是 _个单位面积图（ 2）正方形A中含有 _个小方格，即 A的面积是 _个单位面积；正方形B中含有 _个小方格，即B的面积是 _个单位面积；正方形C中含有 _个小方格，即C的面
3、积是 _个单位面积3、根据上述观察分析，你能得出什么结论（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积）（二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理：；用公式表示为。变式：。直角三角形性质归纳：如图，直角 ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：；（2）若 B=30，则 B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在RtABC中， B=90， a、b、c 是 ABC的三边，则c= 。（已知a、b，求 c）a= 。（已知b、c，求 a）A B C A B C 图（ 1）图（ 2）ACBabc
4、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页b= 。（已知a、c，求 b）. （三）例题精讲例 1、如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高? 例 2：在 RtABC ，C=90 已知 a=b=5，求 c。 已知 a=1，c=2, 求 b。 已知 c=17，b=8, 求 a。 已知 a b=12，c=5, 求 a。 已知 b=15，A=30 ，求a，c。（四）课堂基础训练1、求出下列直角三角形中未知的边2、（ 1）在 Rt ABC ， C=90 ， a=8，b=15，则 c= 。（
5、2）在 RtABC ， C=90 ， a=6， b=8，则 c= 。（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm ，则第三边长为。3、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。10 303 5 10 4581144x ABCD7cmF E 第 3 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页 18 1 勾股定理（二）一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单
6、计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、学案1、直角三角形性质有：如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：；（2）若 B=30，则 B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在RtABC中， B=90， a、b、c 是 ABC的三边，则c= 。（已知a、b，求 c）a= 。（已知b、c，求 a）b= 。（已知a、c，求 b）. 2、（ 1）在 Rt ABC ， C=90 ， a=3，b=4，则 c= 。（2）在 RtABC ， C=90 ， a=6， c=8，则 b= 。（3）在 RtABC ， C=90 ，
7、 b=12，c=13，则 a= 。四、学习过程（一）例题尝试例 1：一个门框的尺寸如图所示若有一块长3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长3 米，宽 1.5 米呢？若薄木板长3 米，宽 2.2 米呢？（注意解题格式）当堂练习：如下图，池塘边有两点A， B ，点 C是与 BA方向成直角的AC方向上一点测得CB 60m ，AC20m ，你能求出A、B两点间的距离吗? 例 2：长 3 米的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 米求梯子的底端B距墙角 O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑 0.5 米至 C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5 米吗？算一算，底端滑
8、动距离的近似值你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？（结果均保留两位小数）ACBabcB C 1m2mA 实际问题数学模型O B D CA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页例 3：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m ，消防队员取来65 m 长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是25m ，请问消防队员能否进入三楼灭火? （三）巩固练习1、一个高 1.5 米、宽 0.8 米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为。2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
9、钢缆 A到电线杆底部B的距离为。3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少为（结果保留根号）4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高。5、如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长 100cm ，顶端 A在 AC上运动，量得滑杆下端B距 C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？B A C 第 2 题A E B D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页 18 1 勾股定理（三）一、教学目标1会用勾股定理解决简单
10、的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。 18 1 勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、学案（一）问题引入：1、你能画出长为2cm的线段吗？小组讨论后说说你的办法。2、你能在数轴上找出表示2的点吗？请作图说明。3、在数轴上表示3、4、5、n的点又如何表示呢？4、你能找到5、13、17、20、，在数轴上更简便的画法吗？（二）例题尝试例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。步骤如下： 1在数轴上
11、找到点A，使 OA ；2作直线l垂直于 OA ，在l上取一点B ，使 AB ；3以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点 C即为表示13 的点当堂练习：课本第69 页练习第1 题例 2：已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页例 3：已知：如图，等边ABC的边长是6cm 。（1）求等边 ABC的高。（2）求 SABC。（三）小结在数轴上寻找无理数：_ 。（四）达标训练1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm，则第三边长为。2、已知等边三角形的边长
12、为2cm，则它的高为，面积为。3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示29的点。5、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个三角形，使三角形的三边长分别是10，5，13。6、（ B组）已知：在Rt ABC中， C=90 ， CD AB于 D， A=60， CD=3，求线段 AB的长。DCBACABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页 18 2 勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。
13、3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、学案1、勾股定理：直角三角形的两条_的平方 _等于 _的_，即 _. 2、已知在RtABC中， C=90，a、b、c是ABC的三边，则（1）c。（已知a、b，求c）（2）a。（已知b、c，求a）（3）b。（已知a、c，求b）3、填空题（1）在 RtABC ，C=90 ，a8，b15，则c。（2）在 RtABC ，B=90 ，a3，b4，则c。（如图）4、直角三角形的性质（1）有一个角是；（ 2）两个锐角，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：（4）在含 30角的直角三
14、角形中， 30的角所对的边是边的一半四、学习过程（一）阅读课本第73 页，并完成思考题：1、 对于一个直角三角形，如果知道任意的两条边，我们可以根据勾股定理的公式及其变形求出第三边，例如 RtABC中， C=90 ， BC=4 ，AC=3 ，试求 AB的长？2、如果已知一个三角形的三边分别为5，12， 13，你能判断这个三角形的形状吗？3、若一个三角形的三边a、b、c满足222cba，试证明ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程尝试证明你的结论？（二）归纳定理及知识点1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。2、命题：对一件事情做出的语句。 命题由和组
15、成，命题可以改写成 “如果， 那么”的形式。3、逆命题：把一个命题的和调换位置后，称这个命题是原命题的逆命题。4、原命题与逆命题的关系：在一定条件下可以互相转化。原命题成立，逆命题成立（填“一定”或“不一定”）。5、互逆定理：原命题与它的逆命题经过都是正确的，这样的两个定理称为互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。（三）例题精讲A B C abcA B C B C A 勾股数： 能够精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页例 1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）17,8,15cba；（2
16、）15,14,13cba方法小结： 给出三边判断组成的三角形是否为直角三角形，应验证 “较两边平方和 =较大边的平方” ，如相等，则是且较长边为斜边，如不相等，则不能组成直角三角形。当堂练习：课本P76习题第 1 题例 2：说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等（3）全等三角形的对应角相等（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等当堂练习：课本P76习题第 2 题（ 4 分钟）（三）达标练习1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_，能构成直角三角形的是_（填序号）3，4，5 1 ， 3，4 4 ，4， 6
17、6 ，8，10 5 ，7，2 13 ，5，12 7 ，25，24 2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（） A 5，6，7 B1，4，9 C5，12，13 D5，11，12 3、在下列以线段a、b、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A、a=9，b=41， c=40 B 、a=b=5，c=25 C 、abc=345 D a=11 ，b=12，c=15 4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42， x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（） A 42 B52 C 7 D52或 7 5、命题“全等三角形的对应角相等”（1）它的逆命题是。（2）这个逆命题正确吗？（3
18、）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页 18 2 勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 18 2 勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重
19、点、难点1重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、学案（一）复习练习1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）5,2, 1cba；（ 2）5.2,2,5.1cba（3）6,5,5cba2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。（1）同旁内角互补，两直线平行；解：逆命题是：；它是命题。（2）如果两个角是直角，那么它们相等；解：逆命题是：；它是命题。（3）全等三角形的对应边相等；解：逆命题是：；它是命题。（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：逆命题是：；它是命题。（二）例题精讲例 1：“远航”号、“海天”号轮船同时离
20、开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？反思：（ 1）解应用问题的三个基本过程：建立数学模型求解数学模型回到实际问题中去；（2）本题的关键在于判断PQR的形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页当堂检验：完成课本P76 练习第 3 题，习题第3 题（独立按照格式完成）例 2：如图，有一块四边形地ABCD ，90B,4ABm ，3BCm ，12CDm ，13A
21、Dm ，求该四边形地ABCD的面积 ? 反思：构造直角三角形是解题的关键。（三）达标练习（5分钟）1下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )A1，2，3 B7，24，25 C 58，10 D 7，12， 15 2“内错角相等两直线平行”的逆命题是 . 3一个三角形的两边长分别为4 和 5，要使三角形为直角三角形，则第三边为 . 4在 RtABC中 ,90C, 若5AC,3BC, 则AB . 5在 RtABC中,90C,oA45,10b, 则c . 6在 RtABC中 ,90B,oA30, 则cba: . 7. 已知ABC的三边为a、b、c，且2:1:1:cba，求三角形三个内角度数的比8. 写出下列命题的逆命题，并判断它是否正确(1) 等腰三角形的两底角相等；(2) 三角形的三内角之比为l ：1：2，则三角形为等腰直角三角形；(3) 正方形的四个内角都是直角9ABC的三边a、b、c满足0)40(32|50|2cbaba试判断ABC的形状A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
