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1、第十八章勾股定理 18 1 勾股定理(一)一、教学目标1了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。二、重点、难点1重点:勾股定理的内容及证明。2难点:勾股定理的证明。三、学案(一)阅读课本第64 页,并完成思考题:1、毕达哥拉斯在地板上的发现:(1)图中线条加黑的三个小正方形围成了一个;(2)若设两个较小正方形边长均为a,则它们的面积都为,设较大的正方形边长为c,则它的面积为。(3)再次观察,可以发现两个小正方形的面积和较大的正方形面积,即有
2、 = 。(4)因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边,由 = 可知,等腰直角三角形的两条边的平方等于边的平方。2、由第 1 题知等腰三角形具有上述性质,是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢?观察下图,尝试探究.(如图,每个小方格的面积均为1)观察图( 1)正方形A中含有 _个小方格,即 A的面积是 _个单位面积;正方形B中含有 _个小方格,即B的面积是 _个单位面积;正方形C中含有 _个小方格,即C的面积是 _个单位面积图( 2)正方形A中含有 _个小方格,即 A的面积是 _个单位面积;正方形B中含有 _个小方格,即B的面积是 _个单位面积;正方形C中含有 _个小方格,即C的面
3、积是 _个单位面积3、根据上述观察分析,你能得出什么结论(提示:以斜边为边长的正方形的面积,等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积)(二)归纳:直角三角形三边关系:勾股定理:;用公式表示为。变式:。直角三角形性质归纳:如图,直角 ABC的主要性质是:C=90,(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系:;(2)若 B=30,则 B的对边和斜边:;(3)直角三角形斜边上的等于斜边的。(4)三边之间的关系:。(5)已知在RtABC中, B=90, a、b、c 是 ABC的三边,则c= 。(已知a、b,求 c)a= 。(已知b、c,求 a)A B C A B C 图( 1)图( 2)ACBabc
4、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页b= 。(已知a、c,求 b). (三)例题精讲例 1、如图,一根旗杆在离地面9m处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12m处,旗杆折断之前有多高? 例 2:在 RtABC ,C=90 已知 a=b=5,求 c。 已知 a=1,c=2, 求 b。 已知 c=17,b=8, 求 a。 已知 a b=12,c=5, 求 a。 已知 b=15,A=30 ,求a,c。(四)课堂基础训练1、求出下列直角三角形中未知的边2、( 1)在 Rt ABC , C=90 , a=8,b=15,则 c= 。(
5、2)在 RtABC , C=90 , a=6, b=8,则 c= 。(3)已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm ,则第三边长为。3、如图:所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 cm2。10 303 5 10 4581144x ABCD7cmF E 第 3 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页 18 1 勾股定理(二)一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点:勾股定理的简单
6、计算。2难点:勾股定理的灵活运用。三、学案1、直角三角形性质有:如图,直角ABC的主要性质是:C=90,(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系:;(2)若 B=30,则 B的对边和斜边:;(3)直角三角形斜边上的等于斜边的。(4)三边之间的关系:。(5)已知在RtABC中, B=90, a、b、c 是 ABC的三边,则c= 。(已知a、b,求 c)a= 。(已知b、c,求 a)b= 。(已知a、c,求 b). 2、( 1)在 Rt ABC , C=90 , a=3,b=4,则 c= 。(2)在 RtABC , C=90 , a=6, c=8,则 b= 。(3)在 RtABC , C=90 ,
7、 b=12,c=13,则 a= 。四、学习过程(一)例题尝试例 1:一个门框的尺寸如图所示若有一块长3 米,宽 0.8 米的薄木板,问怎样从门框通过?若薄木板长3 米,宽 1.5 米呢?若薄木板长3 米,宽 2.2 米呢?(注意解题格式)当堂练习:如下图,池塘边有两点A, B ,点 C是与 BA方向成直角的AC方向上一点测得CB 60m ,AC20m ,你能求出A、B两点间的距离吗? 例 2:长 3 米的梯子AB ,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5 米求梯子的底端B距墙角 O多少米?如果梯的顶端A沿墙下滑 0.5 米至 C,请同学们猜一猜,底端也将滑动0.5 米吗?算一算,底端滑
8、动距离的近似值你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗?(结果均保留两位小数)ACBabcB C 1m2mA 实际问题数学模型O B D CA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页例 3:某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3m ,消防队员取来65 m 长的云梯,如果梯子的底部离墙基的水平距离是25m ,请问消防队员能否进入三楼灭火? (三)巩固练习1、一个高 1.5 米、宽 0.8 米的长方形门框,需要在其相对的顶点间用一条木条加固,则需木条长为。2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面
9、钢缆 A到电线杆底部B的距离为。3、有一个边长为50dm的正方形洞口,想用一个圆盖盖住这个洞口,圆的直径至少为(结果保留根号)4、一旗杆离地面6m处折断,其顶部落在离旗杆底部8m处,则旗杆折断前高。5、如图,滑杆在机械槽内运动,ACB为直角,已知滑杆AB长 100cm ,顶端 A在 AC上运动,量得滑杆下端B距 C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时,滑杆顶端A下滑多长?B A C 第 2 题A E B D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页 18 1 勾股定理(三)一、教学目标1会用勾股定理解决简单
10、的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点:勾股定理的应用。2难点:实际问题向数学问题的转化。 18 1 勾股定理(四)一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点:勾股定理的综合应用。2难点:勾股定理的综合应用。三、学案(一)问题引入:1、你能画出长为2cm的线段吗?小组讨论后说说你的办法。2、你能在数轴上找出表示2的点吗?请作图说明。3、在数轴上表示3、4、5、n的点又如何表示呢?4、你能找到5、13、17、20、,在数轴上更简便的画法吗?(二)例题尝试例:用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点,并补充完整作图方法。步骤如下: 1在数轴上
11、找到点A,使 OA ;2作直线l垂直于 OA ,在l上取一点B ,使 AB ;3以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点 C即为表示13 的点当堂练习:课本第69 页练习第1 题例 2:已知直角三角形的两边长分别为5 和 12,求第三边。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页例 3:已知:如图,等边ABC的边长是6cm 。(1)求等边 ABC的高。(2)求 SABC。(三)小结在数轴上寻找无理数:_ 。(四)达标训练1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm,则第三边长为。2、已知等边三角形的边长
12、为2cm,则它的高为,面积为。3、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示29的点。5、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出一个三角形,使三角形的三边长分别是10,5,13。6、( B组)已知:在Rt ABC中, C=90 , CD AB于 D, A=60, CD=3,求线段 AB的长。DCBACABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页 18 2 勾股定理的逆定理(一)一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。
13、3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点:勾股定理的逆定理的证明。三、学案1、勾股定理:直角三角形的两条_的平方 _等于 _的_,即 _. 2、已知在RtABC中, C=90,a、b、c是ABC的三边,则(1)c。(已知a、b,求c)(2)a。(已知b、c,求a)(3)b。(已知a、c,求b)3、填空题(1)在 RtABC ,C=90 ,a8,b15,则c。(2)在 RtABC ,B=90 ,a3,b4,则c。(如图)4、直角三角形的性质(1)有一个角是;( 2)两个锐角,(3)两直角边的平方和等于斜边的平方:(4)在含 30角的直角三
14、角形中, 30的角所对的边是边的一半四、学习过程(一)阅读课本第73 页,并完成思考题:1、 对于一个直角三角形,如果知道任意的两条边,我们可以根据勾股定理的公式及其变形求出第三边,例如 RtABC中, C=90 , BC=4 ,AC=3 ,试求 AB的长?2、如果已知一个三角形的三边分别为5,12, 13,你能判断这个三角形的形状吗?3、若一个三角形的三边a、b、c满足222cba,试证明ABC是直角三角形,请简要地写出证明过程尝试证明你的结论?(二)归纳定理及知识点1、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。2、命题:对一件事情做出的语句。 命题由和组
15、成,命题可以改写成 “如果, 那么”的形式。3、逆命题:把一个命题的和调换位置后,称这个命题是原命题的逆命题。4、原命题与逆命题的关系:在一定条件下可以互相转化。原命题成立,逆命题成立(填“一定”或“不一定”)。5、互逆定理:原命题与它的逆命题经过都是正确的,这样的两个定理称为互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。(三)例题精讲A B C abcA B C B C A 勾股数: 能够精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页例 1:判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:(1)17,8,15cba;(2
16、)15,14,13cba方法小结: 给出三边判断组成的三角形是否为直角三角形,应验证 “较两边平方和 =较大边的平方” ,如相等,则是且较长边为斜边,如不相等,则不能组成直角三角形。当堂练习:课本P76习题第 1 题例 2:说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行,内错角相等(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等(3)全等三角形的对应角相等(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等当堂练习:课本P76习题第 2 题( 4 分钟)(三)达标练习1、以下列各组线段为边长,能构成三角形的是_,能构成直角三角形的是_(填序号)3,4,5 1 , 3,4 4 ,4, 6
17、6 ,8,10 5 ,7,2 13 ,5,12 7 ,25,24 2、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是() A 5,6,7 B1,4,9 C5,12,13 D5,11,12 3、在下列以线段a、b、c 的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是()A、a=9,b=41, c=40 B 、a=b=5,c=25 C 、abc=345 D a=11 ,b=12,c=15 4、若一个三角形三边长的平方分别为:32,42, x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是() A 42 B52 C 7 D52或 7 5、命题“全等三角形的对应角相等”(1)它的逆命题是。(2)这个逆命题正确吗?(3
18、)如果这个逆命题正确,请说明理由,如果它不正确,请举出反例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页 18 2 勾股定理的逆定理(二)一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 18 2 勾股定理的逆定理(三)一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重
19、点、难点1重点:利用勾股定理及逆定理解综合题。2难点:利用勾股定理及逆定理解综合题。三、学案(一)复习练习1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:(1)5,2, 1cba;( 2)5.2,2,5.1cba(3)6,5,5cba2、写出下列真命题的逆命题,并判断这些逆命题是否为真命题。(1)同旁内角互补,两直线平行;解:逆命题是:;它是命题。(2)如果两个角是直角,那么它们相等;解:逆命题是:;它是命题。(3)全等三角形的对应边相等;解:逆命题是:;它是命题。(4)如果两个实数相等,那么它们的平方相等;解:逆命题是:;它是命题。(二)例题精讲例 1:“远航”号、“海天”号轮船同时离
20、开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 海里,“海天”号每小时航行12 海里,它们离开港口一个半小时后相距30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?反思:( 1)解应用问题的三个基本过程:建立数学模型求解数学模型回到实际问题中去;(2)本题的关键在于判断PQR的形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页当堂检验:完成课本P76 练习第 3 题,习题第3 题(独立按照格式完成)例 2:如图,有一块四边形地ABCD ,90B,4ABm ,3BCm ,12CDm ,13A
21、Dm ,求该四边形地ABCD的面积 ? 反思:构造直角三角形是解题的关键。(三)达标练习(5分钟)1下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )A1,2,3 B7,24,25 C 58,10 D 7,12, 15 2“内错角相等两直线平行”的逆命题是 . 3一个三角形的两边长分别为4 和 5,要使三角形为直角三角形,则第三边为 . 4在 RtABC中 ,90C, 若5AC,3BC, 则AB . 5在 RtABC中,90C,oA45,10b, 则c . 6在 RtABC中 ,90B,oA30, 则cba: . 7. 已知ABC的三边为a、b、c,且2:1:1:cba,求三角形三个内角度数的比8. 写出下列命题的逆命题,并判断它是否正确(1) 等腰三角形的两底角相等;(2) 三角形的三内角之比为l :1:2,则三角形为等腰直角三角形;(3) 正方形的四个内角都是直角9ABC的三边a、b、c满足0)40(32|50|2cbaba试判断ABC的形状A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页