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1、1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 1 of 8本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔
2、细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算， 一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的， 这里我们把较小的数写在前面，即 ab ，那么有1111()abbaab(2) 对于分母上为3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项
3、的三大关键特征：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1 的运算。（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、 “裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 2 of 8（ 1）11abababababba（2）2222ababab
4、abababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1 】111111223344556。【巩固】111.101111 125960【巩固】2222109985443L【例 2 】111111212312100L LL公式的变式11221nnn()当n分别取 1， 2，3， 100 时，就有112121122231123234112342451121002100101例题精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
5、- -第 2 页，共 8 页1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 3 of 8111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101()()()2100101200101199101求和公式推导：S1=1+2+3+4+5+ S1=5+4+3+2+1【例 3 】111113355799101L【巩固】 计算：1111251 335572325L【巩固】251251251251251488 1212162000200420042008L【巩固】 计算：324
6、5671255771111 1616222229293 13(12-15) + ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 4 of 8【例 4 】计算：11111111()1288244880120168224288方法一：= (12 4+14 6+16 8+18 10+110 12+112 14+114 16+116 18) 128=12(12-14+ ? +114-116+116-118) 128方法二：= 18(1 +13+16+110+115+121+128+136)
7、 128= 16 (22+26+212+220+230+242+256+272)= 16 (21 2+22 3+23 4+24 5+25 6+26 7+27 8+28 9)= 16 2 (1 -12+12-13+ ? +18-19)【巩固】11111111612203042567290_【巩固】11111113610152128一项隔一项来拆项= 1 +12(1 -13) +16+13(12-15) +115+14(13-17) +128【巩固】 计算：1111111112612203042567290=12- (12-13) - ? (19-110)【巩固】11111104088154238
8、。=13(12-15+15-18+ ?114-117)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 5 of 8【例 5 】74.50.1611111813153563133.753.23&【例 6 】计算：11111123420261220420L=(1 + 2 + ? + 20)+ (1 -12+12-13+ ? +120-121)【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270= 。【巩固】 计算：1122426153577_。【巩
9、固】 计算：1111111315356399143195【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900L= 1 -12+ 1 -16+ ? + 1 -19900= 99 - (12+16+ ? +19900)【例 7 】111123234789L精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 6 of 8【巩固】 计算：1111232349899100L【巩固】 计算：11111 35246357202224L=14(11 3-13 5+12 4-1
10、4 6+ ? +120 22-122 24)【巩固】999897112323434599100 101L= 1 -11 2 3+ 1 -22 3 4+ 1 -33 4 5+ ? 1 -9999 100 101【例 8 】11111123423453456678978910=13(11 2 3-12 3 4+ ? +17 8 9-18 9 10)【例 9 】计算：571912323489 10L=2 + 31 2 3+3 + 42 3 4+ ? +9 + 108 9 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页1-2-2-1
11、.分数裂项 .题库教师版page 7 of 8【例 10 】123456121231234123451234561234567= 1 -11 2+31 2 3-11 2 3+41 2 3 4-11 2 3 4+ ? +71 2 3 4 5 6 7-11 2 3 4 5 6 7【巩固】 计算：23993!4!100!L . 【例 11 】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)LLL= 2 12(1 -11 + 2) + 3 13(11 + 2-11 + 2 + 3) + ? + 50 150(11 + 2 + ? + 49-11 + 2 + ? +
12、 50【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)LLL（）【例 12 】5667788991056677889910【巩固】36579111357612203042=35+67+56+3 + 43 4+4 + 54 5+5 + 65 6+6 + 76 7【巩固】计算：1325791011193457820212435精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 8 of 8=13+34+25+57+78+4 + 54 5+3 + 73 7+3 + 83 8+5 + 7 + 75 7【巩固】123791117253571220283042【巩固】111112010263827233031415111912012312410119=17 -717 726120=30 -430 438123=41 -341 327124=31 -431 4【巩固】 计算：57911131517191612203042567290【考点】分数裂项【难度】 3 星【题型】计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
