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1、精品资料欢迎下载函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组( 一) 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf 2 、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf若 写 成 ：)()(xbfxaf， 则 函 数)(xfy关 于 直 线22)()(baxbxax对称证 明 ： 设 点),(11yx
2、在)(xfy上 ， 通 过)2()(xafxf可 知 ，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于 x=a对称。得证。说明：关于ax对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。1111(,)(,)ax yaxy与关于xa对称，函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf1111(,)(2,)xyaxy与关于xa对称，函数)(xfy关于ax对称)2()(xafxf1111(,)(2,)x yaxy与关于xa对称，函数)(xfy关于ax对称)2()(xafxf（2）函数的点对称：函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)
3、()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载证明：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2 ,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称得证。说 明 : 关 于 点),(ba对 称 要 求
4、横 坐 标 之 和 为 2a , 纵 坐 标 之 和 为 2b , 如()axax与（之和为2a。（3）函数)(xfy关于点by对称: 假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个 y 值与其对应， 显然这不符合函数的定义， 故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于 y=0 对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 yfg(x)为偶函数，则 fg( x) fg(x)。复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg( x) fg(x)。性质 2、复合函数 yf(x a)为偶函数，则 f(x a)f(
5、 xa)；复合函数 yf(x a)为奇函数，则 f( xa)f(a x) 。性质 3、复合函数 yf(x a)为偶函数，则 yf(x) 关于直线 xa 轴对称。复合函数 yf(x a)为奇函数，则 yf(x) 关于点 (a,0) 中心对称。总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，相加除以 2，可得对称轴方程总结：x 的系数一个为 1，一个为 -1，f(x) 整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为 -1，存在对称中心。总结： x 的系数同为为 1，具有周期性。( 二) 、两个函数的图象对称性1、( )yf x与( )yf x关于 X轴对称。证 明： 设( )yf x上 任一 点为11(
6、,)xy则11()yf x， 所以( )yf x经 过 点11(,)xy11(,)xy与11(,)xy关于 X轴对称， 11()yfx与( )yf x关于 X轴对称 . 注：换种说法：)(xfy与( )( )yg xf x若满足)()(xgxf，即它们关于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载0y对称。2、( )yf x与()yfx关于 Y轴对称。证明：设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x， 所以()yfx经过点11(,)xy11(,)xy与11(,)x y关于 Y 轴对称，( )y
7、fx与()yfx关于 Y 轴对称。注：因为11(,)xy代入()yfx得111( ()()yfxf x所以()yfx经过点11(,)x y换种说法：)(xfy与( )()yg xfx若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。()( ()( )gxfxf x3、( )yf x与(2)yfax关于直线xa对称。证明：设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x，所以(2)yfax经过点11(2,)axy11(,)xy与11(2,)axy关于xa轴对称，( )yf x与(2)yfax关于直线xa对称。注：换种说法：)(xfy与( )(2)yg xfax若满足)2()(xagxf，即它
8、们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。证明：设( )yfx上任一点为11(,)xy则11()yf x，所以)(2xfay经过点11(,2)xay11(,)xy与11(,2)xay关于ya轴对称，)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称. 注：换种说法：)(xfy与( )2( )yg xaf x若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点 (a,b) 对称。证明：设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x，所以2(2)ybfax经过点11(2,2)axby11(,)xy与11(2,2)axby关于点 (a,b
9、) 对称，)2(2)(xafbyxfy与关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载于点(a,b) 对称. 注：换种说法：)(xfy与( )2(2)yg xbfax若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点 (a,b) 对称。(2)2(2(2)2( )gaxbfaaxbf x6、)(xafy与()yf xb关于直线2bax对称。证明：设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x，所以()yf ax经过点11(,)ax y,()yf bx经 过点11(,)bxy, 11(,)axy与11(,)b
10、x y关于 直 线2bax对称，)(xafy与()yfxb关于直线2bax对称。三、总规律：定义在上的函数xfy，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题( 即函数自身 ) ( 一) 、函数的周期性：对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数)(xfy满足如下关系式，则Txf2)(的周期为 A 、
11、)()(xfTxf B 、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或 C 、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形（2）函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)(2)2()2()2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为 2(b-a) ，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载（3） 如果奇函数满
12、足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T， 且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T）如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T， 且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk， 根 据)2()(Txfxf可 以 推 出 对 称 轴 为kTTx2)(zk（以上0T）（4）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T） ，则函数)(xfy是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T） ，则函数)(xfy是以 2T为周期的周期性函数。定理 1：若函数xf在 R上满足
13、xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba） ，则函数xfy以ba2为周期 . 定理 2：若函数xf在 R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba） ，则函数xfy以ba2为周期 . 定理 3： 若函数xf在 R上满足xafxaf)(， 且xbfxbf)(（其中ba） ，则函数xfy以ba4为周期 . 定理 4：若函数 f(x)的图像关于直线x=a 和 x=b 都对称，则 f(x)是周期函数， 2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 5：若函数 f(x) 的图像关于点（ a,c）和(b,c)都成中心对称，则 f(x)是周期函数， 2（b-a）是它的一个周期（未必
14、是最小正周期） 。定理 6： 若函数 f(x)关于点（a,c） 和 x=b 都对称，则 f(x)是周期，4 （b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 7：若函数 f(x)满足 f(x-a)=f(x+a)(a0),则 f(x)是周期函数， 2a是它的一个周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载定理 8：若函数 f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0)( 或 f(x+a)=)(1xf或 f(x+a)=)(1xf)则 f(x)周期函数， 2a是它的一个周期。定理 9：若函数)0,1)()(1)(1)(axfxfxfaxf,则 f(x)是周期函数， 4a是它的一个周期。若 f(x)满足)0,1)()(1)(1)(axfxfxfaxf,则 f(x)是周期函数， 2a 是它的一个周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
