《2022年函数对称性、周期性和奇偶性规律总结》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年函数对称性、周期性和奇偶性规律总结(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组( 一) 、同一函数的函数的奇偶性与对称性: (奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性 : (1) 奇函数关于( 0,0)对称,奇函数有关系式0)()(xfxf(2)偶函数关于 y(即 x=0)轴对称,偶函数有关系式)()(xfxf 2 、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性(1)函数的轴对称:函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf若 写 成 :)()(xbfxaf, 则 函 数)(xfy关 于 直 线22)()(baxbxax对称证 明 : 设 点),(11yx
2、在)(xfy上 , 通 过)2()(xafxf可 知 ,)2()(111xafxfy,即点)(),2(11xfyyxa也在上,而点),(11yx与点),2(11yxa关于 x=a对称。得证。说明:关于ax对称要求横坐标之和为2a,纵坐标相等。1111(,)(,)ax yaxy与关于xa对称,函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf1111(,)(2,)xyaxy与关于xa对称,函数)(xfy关于ax对称)2()(xafxf1111(,)(2,)x yaxy与关于xa对称,函数)(xfy关于ax对称)2()(xafxf(2)函数的点对称:函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)
3、()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(若写成:cxbfxaf)()(,函数)(xfy关于点)2,2(cba对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精品资料欢迎下载证明:设点),(11yx在)(xfy上,即)(11xfy,通过bxfxaf2)()2(可知,bxfxaf2)()2(11,所以1112)(2)2(ybxfbxaf,所以点)2 ,2(11ybxa也在)(xfy上,而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称得证。说 明 : 关 于 点),(ba对 称 要 求
4、横 坐 标 之 和 为 2a , 纵 坐 标 之 和 为 2b , 如()axax与(之和为2a。(3)函数)(xfy关于点by对称: 假设函数关于by对称,即关于任一个x值,都有两个 y 值与其对应, 显然这不符合函数的定义, 故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于by对称,比如圆04),(22yxyxc它会关于 y=0 对称。(4)复合函数的奇偶性的性质定理:性质 1、复数函数 yfg(x)为偶函数,则 fg( x) fg(x)。复合函数 yfg(x)为奇函数,则 fg( x) fg(x)。性质 2、复合函数 yf(x a)为偶函数,则 f(x a)f(
5、 xa);复合函数 yf(x a)为奇函数,则 f( xa)f(a x) 。性质 3、复合函数 yf(x a)为偶函数,则 yf(x) 关于直线 xa 轴对称。复合函数 yf(x a)为奇函数,则 yf(x) 关于点 (a,0) 中心对称。总结: x 的系数一个为 1,一个为 -1 ,相加除以 2,可得对称轴方程总结:x 的系数一个为 1,一个为 -1,f(x) 整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为 -1,存在对称中心。总结: x 的系数同为为 1,具有周期性。( 二) 、两个函数的图象对称性1、( )yf x与( )yf x关于 X轴对称。证 明: 设( )yf x上 任一 点为11(
6、,)xy则11()yf x, 所以( )yf x经 过 点11(,)xy11(,)xy与11(,)xy关于 X轴对称, 11()yfx与( )yf x关于 X轴对称 . 注:换种说法:)(xfy与( )( )yg xf x若满足)()(xgxf,即它们关于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精品资料欢迎下载0y对称。2、( )yf x与()yfx关于 Y轴对称。证明:设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x, 所以()yfx经过点11(,)xy11(,)xy与11(,)x y关于 Y 轴对称,( )y
7、fx与()yfx关于 Y 轴对称。注:因为11(,)xy代入()yfx得111( ()()yfxf x所以()yfx经过点11(,)x y换种说法:)(xfy与( )()yg xfx若满足)()(xgxf,即它们关于0x对称。()( ()( )gxfxf x3、( )yf x与(2)yfax关于直线xa对称。证明:设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x,所以(2)yfax经过点11(2,)axy11(,)xy与11(2,)axy关于xa轴对称,( )yf x与(2)yfax关于直线xa对称。注:换种说法:)(xfy与( )(2)yg xfax若满足)2()(xagxf,即它
8、们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。证明:设( )yfx上任一点为11(,)xy则11()yf x,所以)(2xfay经过点11(,2)xay11(,)xy与11(,2)xay关于ya轴对称,)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称. 注:换种说法:)(xfy与( )2( )yg xaf x若满足axgxf2)()(,即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点 (a,b) 对称。证明:设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x,所以2(2)ybfax经过点11(2,2)axby11(,)xy与11(2,2)axby关于点 (a,b
9、) 对称,)2(2)(xafbyxfy与关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精品资料欢迎下载于点(a,b) 对称. 注:换种说法:)(xfy与( )2(2)yg xbfax若满足bxagxf2)2()(,即它们关于点 (a,b) 对称。(2)2(2(2)2( )gaxbfaaxbf x6、)(xafy与()yf xb关于直线2bax对称。证明:设( )yf x上任一点为11(,)xy则11()yf x,所以()yf ax经过点11(,)ax y,()yf bx经 过点11(,)bxy, 11(,)axy与11(,)b
10、x y关于 直 线2bax对称,)(xafy与()yfxb关于直线2bax对称。三、总规律:定义在上的函数xfy,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题( 即函数自身 ) ( 一) 、函数的周期性:对于函数)(xfy,如果存在一个不为零的常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf都成立,那么就把函数)(xfy叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性:(1)函数)(xfy满足如下关系式,则Txf2)(的周期为 A 、
11、)()(xfTxf B 、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或 C 、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf(等式右边加负号亦成立) D 、其他情形(2)函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf,则可推出)(2)2()2()2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为 2(b-a) ,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精品资料欢迎下载(3) 如果奇函数满
12、足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T, 且可以推出对称轴为kTTx22)(zk,根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT,)(zk(以上0T)如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T, 且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk, 根 据)2()(Txfxf可 以 推 出 对 称 轴 为kTTx2)(zk(以上0T)(4)如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf(0T) ,则函数)(xfy是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf(0T) ,则函数)(xfy是以 2T为周期的周期性函数。定理 1:若函数xf在 R上满足
13、xafxaf)(,且xbfxbf)((其中ba) ,则函数xfy以ba2为周期 . 定理 2:若函数xf在 R上满足xafxaf)(,且xbfxbf)((其中ba) ,则函数xfy以ba2为周期 . 定理 3: 若函数xf在 R上满足xafxaf)(, 且xbfxbf)((其中ba) ,则函数xfy以ba4为周期 . 定理 4:若函数 f(x)的图像关于直线x=a 和 x=b 都对称,则 f(x)是周期函数, 2(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期) 。定理 5:若函数 f(x) 的图像关于点( a,c)和(b,c)都成中心对称,则 f(x)是周期函数, 2(b-a)是它的一个周期(未必
14、是最小正周期) 。定理 6: 若函数 f(x)关于点(a,c) 和 x=b 都对称,则 f(x)是周期,4 (b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期) 。定理 7:若函数 f(x)满足 f(x-a)=f(x+a)(a0),则 f(x)是周期函数, 2a是它的一个周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精品资料欢迎下载定理 8:若函数 f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0)( 或 f(x+a)=)(1xf或 f(x+a)=)(1xf)则 f(x)周期函数, 2a是它的一个周期。定理 9:若函数)0,1)()(1)(1)(axfxfxfaxf,则 f(x)是周期函数, 4a是它的一个周期。若 f(x)满足)0,1)()(1)(1)(axfxfxfaxf,则 f(x)是周期函数, 2a 是它的一个周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页