《2022年第十专题不等式选讲》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年第十专题不等式选讲(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第十专题不等式问题选讲一、基础知识1、 (幂平均值不等式)nmZnm且,,则)()(xMxMnm,等号当且仅当nxxx21时成立。常见的平均值不等式:niiniinniiniixnxnxxn12111111。2、 (柯西不等式)设nnbbbaaa,2121;是两组实数,则211212)(niiiniiniibaba,等号成立的充要条件是对应系数成比例。推论:(1)Rai,有niiniiana1221)(;(2)Rbaii、,有niiniiniiibaba12112)(;3、 (琴生不等式)设)(xf在,ba上 是 一 个 上 凸 函数,对,baxi), 2, 1(ni有)()(
2、)(1)(2121nnxfxfxfnnxxxf(*)当且仅当nxxx21时等号成立。若)(xf在,ba上是一个下凸函数,则(* )不等号方向相反。推 广 : 设)(xf在,ba上 是 一 个 上 凸 ( 下 凸 ) 函 数 , 对0i及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载,baxi有niiniiiniiniiixfxf1111)()((* )当且仅当nxxx21时等号成立。4、排序不等式与切比雪夫不等式设nnbbbaaa2121;是两组有序实数,则(1) 、 (排序不等式)nnjnjjnnnbababa
3、babababababan221121112121(顺序和乱序和倒序和)(2) 、 (切比雪夫不等式))(1)1()1()(111111niininiiniiniiibanbnanban二、例题选讲例 1、 设xyzzyxRzyx且,,求xyzzyx222的最小值。例 2、 设Rcba,,求证:)()(cbabacacbabc例 3、若0ba,求证:103223baba,并确定等号成立的条件。例 4、已知)2,0(,,求证:1sincoscossin22nnnn。例 5、 设1,2, 1,niRai,且11111niia,求证:111ninina精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载例 6、 已知niiniiinnaxaaxRx1221)2(1),0(,且,求证:), 2, 1(20ninaxi例 7、 对于满足41tsr的实数tsr,,求2222)14()1() 1() 1(tstrsrF的最小值。例 8、523x,求证:1923153212xxx。例 9、 设)2( ,21nRxxxn,且niix11。求证:niniiiinxxx1111。例 10、设Rai,求证:214323211212)(2)(aaaaaaaaaaanniinii。例 11、naaa,21是满足Sanii12的正实数,
5、求证:1121331323231nSaaaaaaaaaaaannnn例 12、设0,21naaa,且满足)3()1()(14122nananiinii,求证:naaa,21中任何三个一定是某个三角形的三边长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下载例 13、若Rxxxn,21,则niinniiniixnxxn11111例 14、若)2,0(,21nxxx,求证:nniiniinxx11sinsin。例 15、若niiiaa11,0 且,求证:nniiinnaa)1()11(例 16、 (赫尔得不等式)若),
6、2, 1(,niRbaii,有qp与是大于 1的数,且111qp,则qniqipnipiniiibaba11111,等号当且仅当qipiba时取得。注: (1)当2qp时便为柯西不等式。(2)赫尔得不等式的变形:1)1 ,0(,且Ryxii,则niiniiiniiyxyx111。例 17、 (闵科夫斯基不等式)设1),2, 1(,rniRbaii,则rnirirnirirniriibaba111111)(等号当且仅当iiba(),2 , 1ni时成立。注:当1r时,不等号方向相反;当2r时为三角不等式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
7、 4 页,共 7 页学习必备欢迎下载例 18、设3n,求证:32432!43nnnn。例 19、设),2 ,1(1nixi,求证:nininiinininiixxxx1111)1() 1()(例 20、设zyx,是不全为0 的实数,求2222zyxyzxy的最大值。例 21、设0,cba,求满足不等式:22)4()(cbabacbakabc的最大常数k。例 22、设RxxxnkNnkn,1 ,21,且kiikiixx11,求证:knxkini11,并确定等号成立的充要条件。例 23、求最大的常数k,使得对Rzyx,有zyxkyxzxzyzyx恒成立。例 24、设cba,是直角三角形的三边,且c
8、为斜边,求最大常数k,使得cbakcba111。练 习 题1、设nmZnm且,,求证:mnnm)1 ()1(。2、已知设bxai0,ni,3 ,2,1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习必备欢迎下载求证:22114)(1nabbaxxniinii。3、设2 , 1,2121nnbbbaaa;且niiniiba1212。求证:niiniiiaba121310174、 已知M为ABC内一点,FED、分别为M到ABCABC、各边所引垂线的垂足,求所有使MFABMECAMDBC为最小的点M。5、给定正整数n和正数M,对于
9、满足条件Maan2121的所有等差数列,321aaa,试求1221nnnaaaS的最大值。6、设cba,都是正实数且满足1abc,求证:23)(1)(1)(1333bacacbcba7、设n是不小于2 的正整数,求证:4)1(122121nnnkknk(提示: 构造辅助函数xxxflg)(2,易知)(xf在1x时是下凸函数。从而得baZba,且,时有2)(2222babababa)8、设cba、是三角形的三边长,p是其半周长。求证:) 1(3212npbacacbcbannnnn9、设wzyx,是不全为0 的实数,求22222wzyxzwyzxy的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习必备欢迎下载10、已知为正常数,求最大的常数c,使对任意非负实数21, xx有221212221)(xxcxxxx。11、求最小的实数c,具有如下性质:对每一正实数的数列,若, 2, 1,121nxxxxnn,则),2, 1(2121nxxxcxxxnn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页