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1、学习必备欢迎下载第十专题不等式问题选讲一、基础知识1、 （幂平均值不等式）nmZnm且,，则)()(xMxMnm，等号当且仅当nxxx21时成立。常见的平均值不等式：niiniinniiniixnxnxxn12111111。2、 （柯西不等式）设nnbbbaaa,2121；是两组实数，则211212)(niiiniiniibaba，等号成立的充要条件是对应系数成比例。推论：（1）Rai，有niiniiana1221)(；（2）Rbaii、，有niiniiniiibaba12112)(；3、 （琴生不等式）设)(xf在,ba上 是 一 个 上 凸 函数，对,baxi), 2, 1(ni有)()(
2、)(1)(2121nnxfxfxfnnxxxf（*）当且仅当nxxx21时等号成立。若)(xf在,ba上是一个下凸函数，则（* ）不等号方向相反。推 广 ： 设)(xf在,ba上 是 一 个 上 凸 （ 下 凸 ） 函 数 ， 对0i及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载,baxi有niiniiiniiniiixfxf1111)()(（* ）当且仅当nxxx21时等号成立。4、排序不等式与切比雪夫不等式设nnbbbaaa2121；是两组有序实数,则（1） 、 （排序不等式）nnjnjjnnnbababa
3、babababababan221121112121（顺序和乱序和倒序和）（2） 、 （切比雪夫不等式）)(1)1()1()(111111niininiiniiniiibanbnanban二、例题选讲例 1、 设xyzzyxRzyx且,，求xyzzyx222的最小值。例 2、 设Rcba,，求证：)()(cbabacacbabc例 3、若0ba，求证：103223baba，并确定等号成立的条件。例 4、已知)2,0(,，求证：1sincoscossin22nnnn。例 5、 设1,2, 1,niRai，且11111niia，求证：111ninina精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 6、 已知niiniiinnaxaaxRx1221)2(1),0(,且，求证：), 2, 1(20ninaxi例 7、 对于满足41tsr的实数tsr,，求2222)14()1() 1() 1(tstrsrF的最小值。例 8、523x，求证：1923153212xxx。例 9、 设)2( ,21nRxxxn，且niix11。求证：niniiiinxxx1111。例 10、设Rai，求证：214323211212)(2)(aaaaaaaaaaanniinii。例 11、naaa,21是满足Sanii12的正实数，
5、求证：1121331323231nSaaaaaaaaaaaannnn例 12、设0,21naaa，且满足)3()1()(14122nananiinii，求证：naaa,21中任何三个一定是某个三角形的三边长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 13、若Rxxxn,21，则niinniiniixnxxn11111例 14、若)2,0(,21nxxx，求证：nniiniinxx11sinsin。例 15、若niiiaa11,0 且，求证：nniiinnaa)1()11（例 16、 （赫尔得不等式）若),
6、2, 1(,niRbaii，有qp与是大于 1的数，且111qp，则qniqipnipiniiibaba11111，等号当且仅当qipiba时取得。注： (1)当2qp时便为柯西不等式。(2)赫尔得不等式的变形：1)1 ,0(,且Ryxii，则niiniiiniiyxyx111。例 17、 （闵科夫斯基不等式）设1),2, 1(,rniRbaii，则rnirirnirirniriibaba111111)(等号当且仅当iiba（),2 , 1ni时成立。注：当1r时，不等号方向相反；当2r时为三角不等式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
7、 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 18、设3n，求证：32432!43nnnn。例 19、设),2 ,1(1nixi，求证：nininiinininiixxxx1111)1() 1()(例 20、设zyx,是不全为0 的实数，求2222zyxyzxy的最大值。例 21、设0,cba，求满足不等式：22)4()(cbabacbakabc的最大常数k。例 22、设RxxxnkNnkn,1 ,21，且kiikiixx11，求证：knxkini11，并确定等号成立的充要条件。例 23、求最大的常数k，使得对Rzyx,有zyxkyxzxzyzyx恒成立。例 24、设cba,是直角三角形的三边，且c
8、为斜边，求最大常数k，使得cbakcba111。练 习 题1、设nmZnm且,，求证：mnnm)1 ()1(。2、已知设bxai0，ni,3 ,2,1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载求证：22114)(1nabbaxxniinii。3、设2 , 1,2121nnbbbaaa；且niiniiba1212。求证：niiniiiaba121310174、 已知M为ABC内一点，FED、分别为M到ABCABC、各边所引垂线的垂足，求所有使MFABMECAMDBC为最小的点M。5、给定正整数n和正数M，对于
9、满足条件Maan2121的所有等差数列,321aaa，试求1221nnnaaaS的最大值。6、设cba,都是正实数且满足1abc，求证：23)(1)(1)(1333bacacbcba7、设n是不小于2 的正整数，求证：4)1(122121nnnkknk（提示： 构造辅助函数xxxflg)(2，易知)(xf在1x时是下凸函数。从而得baZba，且,时有2)(2222babababa）8、设cba、是三角形的三边长，p是其半周长。求证：) 1(3212npbacacbcbannnnn9、设wzyx,是不全为0 的实数，求22222wzyxzwyzxy的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载10、已知为正常数，求最大的常数c，使对任意非负实数21, xx有221212221)(xxcxxxx。11、求最小的实数c，具有如下性质：对每一正实数的数列，若, 2, 1,121nxxxxnn，则),2, 1(2121nxxxcxxxnn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
