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1、九年级数学竞赛专题勾股定理一、选择题1 ABC周长是 24，M是 AB的中点 MC=MA=5， 则 ABC的面积是（）A12; B 16; C 24; D 30 2如图 1，在正方形ABCD中， N是 CD的中点， M是 AD上异于 D的点，且 NMB= MBC ，则AM ：AB= （）A31; B 33; C 21; D 633如图 3，P为正方形ABCD 内一点， PA=PB=10 ，并且 P点到 CD边的距离也等于10，那么，正方形 ABCD 的面积是（）A200; B 225; C 256; D150+1024如图4，矩形 ABCD中， AB=20 ，BC=10 ，若在AB 、AC上各
2、取一点 N、M ，使得 BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A12; B 102; C 16; D 20 二、填空题 (4)1 如 图 ， ABC 中 ， AB=AC=2 ， BC 边 上 有 10 个 不 同 的 点1021,PPP，记CPBPAPMiiii2（ i = 1 ， 2， ， 10） ， 那 么 ，1021MMM=_。2 如图，设 MPN=20 ， A 为 OM上一点， OA=43，D 为 ON上一点， OD=83，C 为 AM上任一点， B 是 OD上任意一点，那么折线 ABCD 的长最小为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 1 页，共 9 页3如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB ， PA=1 ，PB=2 ，PC=3，那么梯形ABCD的面积 =_。4若 x + y = 12，那么9422yx的最小值 =_。5已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题1如图 ABC三边长分别是BC=17 ，CA=18 ，AB=19 ，过 ABC内的点 P向 ABC三边分别作垂线 PD ，PE ， PF，且 BD+CE+AF=27 ，求 BD+BF的长度。2如图，在ABC中， AB=2 ，AC=3， A=BCD=45 ，求 BC的长及 BDC
4、的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3设 a,b,c,d都是正数。求证：addbacbcddca22222222224如图，四边形ABCD中，ABC=135 ， BCD=120 ， AB=6，BC=5-3，CD=6 ，求AD。5如图，正方形ABCD内一点 E，E到 A、B、C三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页答案一、选择题1C 2A 3B 4C 5C 解答：1 MA=MB=MC=5， A
5、CB=90 知周长是24，则 AC+BC=14 ，AC2+BC2=102，2AC BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2) = 142-102=424 2421BCACSABC2如图，延长MN交 BC的延长线于T，设 MB的中点为O ，连 TO ，则 BAM TOB AM ：MB=OB ：BT MB2=2AM BT （1）令 DN=1 ，CT=MD=k ，则 AM=2 k 所以 BM=222)2(4kAMABBT= 2 + k代入（ 1） ，得 4 + (2 k )2= 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 34所以 AM ：AB=32：2 = 313如图，过O作 EF AD于
6、E，交 BC于 F；过 O作 GH DC于 G，交 AB于 H 设 CF=x，FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s 所以 OF2=OB2- BF2=OC2-CF2即 42- x2= 32- y2所以 x2- y2= 16 9 =7 （1）同理有 OH2=12- s2= 32- t2所以 t2- s2= 32- 12= 8 （2）又因为 OH2+HB2=OB2即 y2+ t2= 9 （1）- （2）得 (x2+s2) (y2+ t2) = 12 2 2 22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
7、页，共 9 页所以 OD2=x2+ s2= (y2+ t2) 1 = 9 1 = 8 所以 OD=224如图，过P作 EF AB于 E，交 CD于 F，则 PF CD 所以 PF=PA=PB=10 ，E为 AB中点设 PE = x ，则 AB=AD=10 + x 所以 AE=21AB=21(10 + x) 在 RtPAE中， PA2=PE2+AE2所以 102= x2+ 21(10 + x )2所以 x = 6 所以正方形ABCD面积 =AB2=(10 + 6)2 = 256 5如图，作B关于 AC的对称点B，连 A B，则 N点关于 AC的对称点N在 A B上，这时， B到 M到 N的最小值
8、等于BM N的最小值，等于B到 A B的距离 BH，连 B与 A B和 DC的交点 P，则ABPS=21 2010=100，由对称知识，PAC= BAC= PCA 所以 PA=PC ， 令 PA=x ，则 PC=x ，PD=20 x ，在 RtADP中， PA2=PD2+AD2所以 x2 = (20 x )2 + 102所以 x = 12.5 因为ABPS=21PA BH所以 BH=165.1221002PASABP二、填空题140；212；3223415；413；56，8，10 或 5，12，13 解答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 5 页，共 9 页1如图，作AD BC于 D，在 Rt ABD和 RtAPiD中， AB2=AD2+BD2222DPADAPii所以22222)(DPADBDADAPABiiBPCPDPBDDPBDDPBDiiiii)(22所以422ABBPCPAPiii所以4iM所以401021MMM3 如图，作A关于 ON的对称点A，D关于 OM 的对称点 D，连结 AB，CD，则 AB=AB ，CD=CD ，从而 AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因为 AON= MON= MOD=20，所以 AOD=60又因为 OA=OA=43，OD=OD=83，所以 OD=2OA即 ODA为直角三角形，且O
10、AD=90所以 AD=12)34()38(2222 OAOD所以，折线ABCD的长的最小值是12 3如图，作PM AB于 M ，PN BC于 N，设 AB = m, PM = x, PN = y，则)3(9)()2( 1)() 1(4222222yxmymxyx由（ 2） 、 （3）分别得，12222ymymx（3）92222xmxmy（4）将（ 1）代入（ 4）得;2303222mmymym精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页将（ 1）代入（ 5）得;2505222mmxmxm把 x,y 的表达式分别代入（1）得01
11、71024mm因为 m20 所以 m2=5+22所以 AB=22521,225,225ADBCm所以223415)(21ABBCADSABCD4如图， AB=12 ， AC=2 ，BD=3 ，且 AB AC ，ABBD ，P在 AB上且 PA=x，PB=y ，连 PC ，PD ，在 RtCAP和 RtDBP中9,4222222yPBBDPDxPAACPC如图， P点在0P位置时， PC+PD 的值最小，为线段CD的长度，而CD=1312)32(22所以9422yx的最小值为13。5设三边长为a,b,c ，其中 c 是斜边，则有)3(2)1 (222abcbacba（2）代入（ 1）得222)2
12、(baabba即0)844(4baabab因为 ab0 所以 ab 4a 4b + 8 = 0 所以484ba(a,b 为正整数 ) 所以 b 4 = 1，2，4，8，所以 b = 5 ，6， 8，12；a = 12 ，8， 6，5；c = 13 ，10，10，13，所以，三边长为6，8，10 或 5， 12，13 三、解答题1如图 , 连结 PA,PB，PC，设 BD=x ，CE=y ，AF=z，则 DC=17-x，EA=18 y ，FB = 19 z 在 RtPBD和 RtPFB中，有2222)19(PFzPDx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
13、 - - -第 7 页，共 9 页同理有：22222222)18()17(PEyPFzPDxPEy将以上三式相加，得222222)19()18()17(zyxzyx即 17x + 18y + 19z = 487 又因为 x + y + z = 27，所以 x = z 1, 所以 BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 18 2如图，作CE AB于 E，则 CE=AE=2622AC所以 BE=AB-AE=2 - 26426又222BECEBC所以 BC=1662722BECE再过 D作 DFBC ，交 CB延长线于F，并设 DF=CF=x ，则 BF= x BC
14、 = x + 1 - 6又 RtDFB RtCEB ，所以 DF：BF=CE ：BE ，即 x：(x + 1 - 6) = 264:26所以 x = 2623所以4692623)16(2121DFBCSBCD4 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形 ABCD ，在 RtABE中， BE=22ABAE所以 BE=cddcadca2)(22222在 RtBCF中，BF=abdbadbaCFBC2)(2222222在 R t DEF中， EF=2222cbDFDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页在 B
15、EF中， BE+EFBF 即abdbacbcddca22222222225 如图，过A作 AEBC交 CD于 E，则 1=45， 2=60，过 B作 BF AE于 F，作 CG AE于 G ，则 RtABF为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为 AB=6，BC=5-3，所以 BF=AF=22AB=3，所以 CG=BF=3，所以 CE=32CG=2 ，EG=31CG=1 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D作 DM AE延长线于M MED=180 - AED=180 - BCD=180 -120 =60所以 EM=21DE=2 ，DM=23
16、DE=23在 RtAMD 中， AD=192)32()26(2222DMAM5如图，以A为中心，将 ABE旋转 60到 AMN ，连 NB ，MB ，则AE+EB+EC=AN+MN+EC 因为 AE=AN ， NAE=60 所以 AE=NE 所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC 当 AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，且MC=62， MBC=150 在 RtPMC 中，设 BC=x ，PM=xPBx23,2所以222)23()2()62(xxx所以 x = 2, BC=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
