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1、九年级数学竞赛专题勾股定理一、选择题1 ABC周长是 24,M是 AB的中点 MC=MA=5, 则 ABC的面积是()A12; B 16; C 24; D 30 2如图 1,在正方形ABCD中, N是 CD的中点, M是 AD上异于 D的点,且 NMB= MBC ,则AM :AB= ()A31; B 33; C 21; D 633如图 3,P为正方形ABCD 内一点, PA=PB=10 ,并且 P点到 CD边的距离也等于10,那么,正方形 ABCD 的面积是()A200; B 225; C 256; D150+1024如图4,矩形 ABCD中, AB=20 ,BC=10 ,若在AB 、AC上各
2、取一点 N、M ,使得 BM+MN 的值最小,这个最小值为()A12; B 102; C 16; D 20 二、填空题 (4)1 如 图 , ABC 中 , AB=AC=2 , BC 边 上 有 10 个 不 同 的 点1021,PPP,记CPBPAPMiiii2( i = 1 , 2, , 10) , 那 么 ,1021MMM=_。2 如图,设 MPN=20 , A 为 OM上一点, OA=43,D 为 ON上一点, OD=83,C 为 AM上任一点, B 是 OD上任意一点,那么折线 ABCD 的长最小为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 1 页,共 9 页3如图,四边形ABCD是直角梯形,且AB=BC=2AB , PA=1 ,PB=2 ,PC=3,那么梯形ABCD的面积 =_。4若 x + y = 12,那么9422yx的最小值 =_。5已知一个直角三角形的边长都是整数,且周长的数值等于面积的数值,那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题1如图 ABC三边长分别是BC=17 ,CA=18 ,AB=19 ,过 ABC内的点 P向 ABC三边分别作垂线 PD ,PE , PF,且 BD+CE+AF=27 ,求 BD+BF的长度。2如图,在ABC中, AB=2 ,AC=3, A=BCD=45 ,求 BC的长及 BDC
4、的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页3设 a,b,c,d都是正数。求证:addbacbcddca22222222224如图,四边形ABCD中,ABC=135 , BCD=120 , AB=6,BC=5-3,CD=6 ,求AD。5如图,正方形ABCD内一点 E,E到 A、B、C三点的距离之和的最小值为62,求此正方形的边长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页答案一、选择题1C 2A 3B 4C 5C 解答:1 MA=MB=MC=5, A
5、CB=90 知周长是24,则 AC+BC=14 ,AC2+BC2=102,2AC BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2) = 142-102=424 2421BCACSABC2如图,延长MN交 BC的延长线于T,设 MB的中点为O ,连 TO ,则 BAM TOB AM :MB=OB :BT MB2=2AM BT (1)令 DN=1 ,CT=MD=k ,则 AM=2 k 所以 BM=222)2(4kAMABBT= 2 + k代入( 1) ,得 4 + (2 k )2= 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 34所以 AM :AB=32:2 = 313如图,过O作 EF AD于
6、E,交 BC于 F;过 O作 GH DC于 G,交 AB于 H 设 CF=x,FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s 所以 OF2=OB2- BF2=OC2-CF2即 42- x2= 32- y2所以 x2- y2= 16 9 =7 (1)同理有 OH2=12- s2= 32- t2所以 t2- s2= 32- 12= 8 (2)又因为 OH2+HB2=OB2即 y2+ t2= 9 (1)- (2)得 (x2+s2) (y2+ t2) = 12 2 2 22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
7、页,共 9 页所以 OD2=x2+ s2= (y2+ t2) 1 = 9 1 = 8 所以 OD=224如图,过P作 EF AB于 E,交 CD于 F,则 PF CD 所以 PF=PA=PB=10 ,E为 AB中点设 PE = x ,则 AB=AD=10 + x 所以 AE=21AB=21(10 + x) 在 RtPAE中, PA2=PE2+AE2所以 102= x2+ 21(10 + x )2所以 x = 6 所以正方形ABCD面积 =AB2=(10 + 6)2 = 256 5如图,作B关于 AC的对称点B,连 A B,则 N点关于 AC的对称点N在 A B上,这时, B到 M到 N的最小值
8、等于BM N的最小值,等于B到 A B的距离 BH,连 B与 A B和 DC的交点 P,则ABPS=21 2010=100,由对称知识,PAC= BAC= PCA 所以 PA=PC , 令 PA=x ,则 PC=x ,PD=20 x ,在 RtADP中, PA2=PD2+AD2所以 x2 = (20 x )2 + 102所以 x = 12.5 因为ABPS=21PA BH所以 BH=165.1221002PASABP二、填空题140;212;3223415;413;56,8,10 或 5,12,13 解答:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 5 页,共 9 页1如图,作AD BC于 D,在 Rt ABD和 RtAPiD中, AB2=AD2+BD2222DPADAPii所以22222)(DPADBDADAPABiiBPCPDPBDDPBDDPBDiiiii)(22所以422ABBPCPAPiii所以4iM所以401021MMM3 如图,作A关于 ON的对称点A,D关于 OM 的对称点 D,连结 AB,CD,则 AB=AB ,CD=CD ,从而 AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因为 AON= MON= MOD=20,所以 AOD=60又因为 OA=OA=43,OD=OD=83,所以 OD=2OA即 ODA为直角三角形,且O
10、AD=90所以 AD=12)34()38(2222 OAOD所以,折线ABCD的长的最小值是12 3如图,作PM AB于 M ,PN BC于 N,设 AB = m, PM = x, PN = y,则)3(9)()2( 1)() 1(4222222yxmymxyx由( 2) 、 (3)分别得,12222ymymx(3)92222xmxmy(4)将( 1)代入( 4)得;2303222mmymym精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页将( 1)代入( 5)得;2505222mmxmxm把 x,y 的表达式分别代入(1)得01
11、71024mm因为 m20 所以 m2=5+22所以 AB=22521,225,225ADBCm所以223415)(21ABBCADSABCD4如图, AB=12 , AC=2 ,BD=3 ,且 AB AC ,ABBD ,P在 AB上且 PA=x,PB=y ,连 PC ,PD ,在 RtCAP和 RtDBP中9,4222222yPBBDPDxPAACPC如图, P点在0P位置时, PC+PD 的值最小,为线段CD的长度,而CD=1312)32(22所以9422yx的最小值为13。5设三边长为a,b,c ,其中 c 是斜边,则有)3(2)1 (222abcbacba(2)代入( 1)得222)2
12、(baabba即0)844(4baabab因为 ab0 所以 ab 4a 4b + 8 = 0 所以484ba(a,b 为正整数 ) 所以 b 4 = 1,2,4,8,所以 b = 5 ,6, 8,12;a = 12 ,8, 6,5;c = 13 ,10,10,13,所以,三边长为6,8,10 或 5, 12,13 三、解答题1如图 , 连结 PA,PB,PC,设 BD=x ,CE=y ,AF=z,则 DC=17-x,EA=18 y ,FB = 19 z 在 RtPBD和 RtPFB中,有2222)19(PFzPDx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
13、 - - -第 7 页,共 9 页同理有:22222222)18()17(PEyPFzPDxPEy将以上三式相加,得222222)19()18()17(zyxzyx即 17x + 18y + 19z = 487 又因为 x + y + z = 27,所以 x = z 1, 所以 BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 18 2如图,作CE AB于 E,则 CE=AE=2622AC所以 BE=AB-AE=2 - 26426又222BECEBC所以 BC=1662722BECE再过 D作 DFBC ,交 CB延长线于F,并设 DF=CF=x ,则 BF= x BC
14、 = x + 1 - 6又 RtDFB RtCEB ,所以 DF:BF=CE :BE ,即 x:(x + 1 - 6) = 264:26所以 x = 2623所以4692623)16(2121DFBCSBCD4 如图,构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形 ABCD ,在 RtABE中, BE=22ABAE所以 BE=cddcadca2)(22222在 RtBCF中,BF=abdbadbaCFBC2)(2222222在 R t DEF中, EF=2222cbDFDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页在 B
15、EF中, BE+EFBF 即abdbacbcddca22222222225 如图,过A作 AEBC交 CD于 E,则 1=45, 2=60,过 B作 BF AE于 F,作 CG AE于 G ,则 RtABF为等腰直角三角形,BCFG 为矩形,又因为 AB=6,BC=5-3,所以 BF=AF=22AB=3,所以 CG=BF=3,所以 CE=32CG=2 ,EG=31CG=1 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D作 DM AE延长线于M MED=180 - AED=180 - BCD=180 -120 =60所以 EM=21DE=2 ,DM=23
16、DE=23在 RtAMD 中, AD=192)32()26(2222DMAM5如图,以A为中心,将 ABE旋转 60到 AMN ,连 NB ,MB ,则AE+EB+EC=AN+MN+EC 因为 AE=AN , NAE=60 所以 AE=NE 所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC 当 AE+EB+EC取最小值时,折线MNEC成为线段,且MC=62, MBC=150 在 RtPMC 中,设 BC=x ,PM=xPBx23,2所以222)23()2()62(xxx所以 x = 2, BC=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页