《2022年第五章四边形【教师用】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第五章四边形【教师用】（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 / 23 第五章 四边形第二十讲多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形，各边相等、 各内角也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n 3)的内角和是 （n-2）180 外角和是 360 正 n 边形的每个外角的度数是360/n ，每个内角的度数是(n-2)180 /n。3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形不相邻 的两个顶点的线段，从n 边形的一个顶点出发有 n-3 条对角线，将多边形分成 n-2 个三角形，一个n边形共有n(n-3)/2 条对边线名师提醒： 1、三角形是边数最少
2、的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条对称轴，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形二、平面图形的密铺： 1、定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠 地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。2、密铺的方法：用同一种正多边形密铺，可以用三边、四边或 六边用两种正多边形密铺，组合方式有：三边和 六边、三边和四边等几种名师提醒： 能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360 并使相等的边互相平合三、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD 可表示为2、平行
3、四边形的特质：平行四边形的两组对边分别相等平行四边形的两组对角分别相等平行四边形的对角线互相平分名师提醒： 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段 相等该直线将原平行四边形分成全等的两个部分3、平行四边形的判定：用定义判定两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形名师提醒： 特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形4.平行四边形的面积：计算公式底 高同底（等底）同高（等高）的平行四
4、边形面积相等名师提醒： 夹在两平行线间的平行线段和 两平行线之间的距离处处相等【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例 1 （2018?梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（A）A 3 B4 C5 D6 思路分析： 由于任何一个多边形的外角和为360 ，由题意知此多边形的内角和小于360 又根据多边形的内角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页2 / 23 和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180 的整数倍，则此多边形的内角和等于180 由此可以得出这个多边形的边数解： 设边数为
5、n，根据题意得 (n-2)?180 360 解之得 n 4n 为正整数 ,且 n3 ， n=3故选 A点评： 本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解对应训练1（ 2018?长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（A）A四边形B五边形C六边形D八边形考点二：平面图形的密铺例 2 （2018?漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（B）A正方形B正十边形C正六边形D等边三角形思路分析：根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的
6、几个角能否构成周角若能构成360 ，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案解： 用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案不能铺满地面的是正十边形；故选B对应训练2（ 2018?呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（C）A正十边形B正八边形C正六边形D正五边形考点三：平行四边形的性质例 3 （2018?益阳）如图1，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（D）A 1=2 B BAD= BCD CAB=CD DAC BD 思路分析 :根据平行四边形的性质,平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可解 ： 在 平
7、 行 四 边 形ABCD中 ， AB CD ， 1= 2 ， 故 此 选 项 正 确 ， 不 合 题 意 ； 四 边 形ABCD是 平 行 四 边 形 ， BAD= BCD ， AB=CD ， 故B ， C 选 项 正 确 ， 不 合 题 意 ；无法得出 AC BD ，故此选项错误，符合题意故选D点评 ：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键例 4 （2018?泸州）如图2，已知 ?ABCD 中， F是 BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于点E求证： AB=BE 思 路 分 析 ： 根 据 平 行 四 边 形 性 质 得 出AB=DC ， AB CD ，
8、推 出 C=FBE ，CDF= E，证 CDF BEF，推出 BE=DC 即可证 明 ： F 是BC 边 的 中 点 ， BF=CF ， 四 边 形ABCD是 平 行 四 边 形 ， AB=DC ， AB CD ， C=FBE， CDF=E， 在 CDF 和 BEF 中， CDF BEF（AAS ），BE=DC ， AB=DC ， AB=BE 点评： 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出CDFBEF 对应训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页3 / 23 3（ 2018?
9、黔西南州）已知?ABCD 中， A+C=200 ，则 B 的度数是（C ）A 100B160C80 D604（ 2018?长春）如图3,在 ABC 中， AB=AC ，点 D、E、F 分别是AC 、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF 为平行四边形求证：AD=BF 证明： 四边形ADEF 为平行四边形，AD=EF ，AD EF， ACB= FEB， AB=AC ， ACB= B， FEB= B， EF=BF， AD=BF 考点四：平行四边形的判定例 5 （2018?荆门）四边形ABCD中，对角线AC、 BD 相交于点O，给出下列四个条件：AD BC；AD=BC ； OA=OC ； OB=OD
10、 从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（B）A3种 B4 种 C5 种 D6 种思路分析： 根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可解 :组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； 组 合 可 根 据 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 判 定 出 四 边 形ABCD为 平 行 四 边 形 ；可证明ADO CBO ，进而得到AD=CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADO CBO ，进而得到AD=CB ，可利用一组对边平行且相等
11、的四边形是平行四边形判定出四边形 ABCD 为平行四边形；故选：B点评 ：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理对应训练5（ 2018?泸州）如图4 四边形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（D）A ABDC，AD BC B AB=DC ，AD=BC C AO=CO ， BO=DO DAB DC，AD=BC 备考真题过关一、选择题1（ 2018?资阳）一个正多边形的每个外角都等于36 ，那么它是（C）A正六边形 B正八边形 C正十边形 D正十2（ 2018?湛江）已知一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是
12、（B）A四边形B五边形C六边形D七边形3（ 2018?六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（D）A正三角形B正六边形C正方形D正五边形4（ 2018?襄阳）如图5，平行四边形ABCD 的对角线交于点O，且 AB=5 ， OCD 的周长为23，则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是（C）A18 B28 C36 D46 5（ 2018?湘西州）如图6，在 ?ABCD 中， E 是 AD 边上的中点，连接BE，并延长BE 交 CD 延长线于点F，则 EDF 与 BCF 的周长之比是（A）A12 B13 C14 D1 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
13、纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页4 / 23 6（ 2018?云南）如图7，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，下列结论正确的是（A）A S?ABCD=4SAOBBAC=BD C AC BD D?ABCD 是轴对称图形7（ 2018?无锡）如图8，平行四边形ABCD 中， AB BC=3 2， DAB=60，E 在 AB 上，且AEEB=12，F 是 BC 的中点，过D 分别作 DPAF 于 P，DQ CE 于 Q，则 DPDQ 等于（D）A 34 B2C2D2二、填空题8（ 2018?无锡）六边形的外角和等于 360 度9（ 2018?遂宁）若一个
14、多边形内角和等于1260 ，则该多边形边数是 9 10（ 2018?三明） 如图 9，在四边形ABCD 中， AB CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD 成为平行四边形，你添加的条件是答案不唯一，如：AB=CD 或 AD BC 或 A=C 或 B=D 或 A+B=180 等11（ 2018?乐山）如图10,在四边形ABCD 中,A=45 ,直线 l 与边 AB ，AD 分别相交于点M， N，则 1+2= 22512（ 2018?江西）如图11，?ABCD与?DCFE 的周长相等，且BAD=60， F=110 ，则 DAE 的度数为2513（ 2018?安徽）如图12，P 为平行四边形AB
15、CD 边 AD 上一点， E、F 分别为PB、 PC 的中点， PEF、PDC、 PAB 的面积分别为S、S1、S2，若 S=2，则 S1+S2= 8 14（ 2018?荆州）如图13， ACE 是以 ?ABCD的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称若 E 点的坐标是（ 7，- 3），则 D 点的坐标是 （5，0）15（ 2018?十堰）如图14，?ABCD中， ABC=60，E、F 分别在CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFBC，EF=，则 AB 的长是 1 三、解答题16（ 2018?大连）如图15，?ABCD 中，点 E、F 分别在 AD 、BC 上，且 AE
16、=CF 求证： BE=DF 证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC ， AD=BC ， AE=CF ， DE=BF ， DE BF，四边形 DEBF 是平行四边形，BE=DF 17（ 2018?郴州）如图16，已知 BEDF， ADF= CBE，AF=CE ，求证：四边形DEBF 是平行四边形证 明： BE DF ， BEC= DFA， 在ADF和CBE中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页5 / 23 ADF CBE（AAS ）， BE=DF ，又 BEDF，四边形DEBF 是平行
17、四边形18（ 2018?广安）如图17，在平行四边形ABCD 中， AECF，求证： ABE CDF证 明 ： 四 边 形ABCD是 平 行 四 边 形 ， AE CF ， AD=BC， AB=CD， AE CF ， 四 边 形AECF是 平 行 四 边 形 ， AE=CF ， AF=CF ， BE=DE ，在 ABE和 CDF中 ， ABE CDF（SSS）19（ 2018?鞍山）如图18，E，F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点， AF=CE ，DF=BE ，DFBE求证：（1） AFD CEB；（ 2）四边形ABCD 是平行四边形证 明 ： （ 1 ） DF BE ， DFE= B
18、EF 又 AF=CE ， DF=BE ， AFD CEB （ SAS ） （ 2 ） 由（ 1 ）知 AFD CEB， DAC=BCA，AD=BC， AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）20（ 2018?台州）如图19，在 ?ABCD 中，点E，F 分别在边DC，AB 上， DE=BF ，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C 分别落在B ，C 处，线段EC 与线段AF 交于点G，连接DG，BG求证：（ 1） 1=2；（ 2）DG=B G 证 明 ： (1). 在 平 行 四边 形ABCD中 ,DC AB ， 2= FEC,由 折 叠 得 ：
19、1= FEC ， 1= 2；（2）1=2，EG=GF，ABDC，DEG=EGF，由折叠得：EC BF， BFG= EGF， DE=BF=B F ， DE=B F， DEG BFG ， DG=B G 21（ 2018?重庆）已知，如图20，在 ?ABCD 中， AEBC，垂足为E，CE=CD ，点 F 为 CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF、EG、AG ， 1=2（ 1）若 CF=2，AE=3，求 BE 的长；（ 2）求证： CEG=AGE (1). 解 ： CE=CD ，点F 为CE 的 中点 ， CF=2， DC=CE=2CF=4 ， 四 边形ABCD是平 行四边形， AB=CD
20、=4 ， AE BC ， AEB=90 ， 在Rt ABE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BE=；(2).证明 ：如图，过G 作GM AE 于M ， AE BE， GM BC AD ，在DCF 和 ECG 中， DCF ECG （ AAS ） ， CG=CF ， CE=CD ， CE=2CF ， CD=2CG 即 G 为 CD 中点， AD GMBC， M 为 AE 中点， GM AE， AM=EM ， AGE=2 MGE， GMBC， EGM= CEG， CEG=AGE 22（ 2018?北京）如图21，在 ?ABCD中， F 是AD 的中点，延长BC 到点E，使CE=BC ，连接DE，
21、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页6 / 23 CF(1).求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2).若 AB=4 ，AD=6 ， B=60 ，求 DE 的长（ 1 ） 证 明 ： 在 ? ABCD中 ， AD BC ， 且AD=BC F是AD的 中 点 ， DF=AD 又 CE=BC，DF=CE， 且DFCE ，四边形CEDF是平行四边形；（ 2 ） 解 ： 如 图 ， 过 点D作DH BE 于 点H 在 ? ABCD中 ， B=60 ， DCE=60 AB=4 ， CD=AB=4， CH=2 ， DH=2 在
22、 ? CEDF中 ， CE=DF=AD=3 ， 则EH=1 在 RtDHE 中，根据勾股定理知DE=23（ 2018?兰州）如图22，在 OAB 中， OAB=90 ， AOB=30 ，OB=8以OB 为边，在 OAB 外作等边 OBC，D 是 OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于 E（ 1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图23，将图 1 中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点 A 重合，折痕为FG，求 OG的长(1). 证 明 ： Rt OAB中 ， D 为OB的 中 点 ， DO=DA ， DAO= DOA=30 ， EOA=90 ， AEO=60 ， 又 OBC为 等
23、边 三 角 形 ， BCO= AEO=60 ， BC AE ，BAO=COA=90 ，COAB，四边形ABCE是平行四边形；（ 2）解：设OG=x ，由折叠可得：AG=GC=8-x ，在RtABO中， OAB=90 ， AOB=30 ， BO=8 ，AO=BO?cos30 =8=4，在 RtOAG 中， OG2+OA2=AG2，x2+(4)2=(8-x)2，解得： x=1， OG=1第二十一讲矩形 菱形 正方形【基础知识回顾】一、矩形： 1、定义：有一个角是直角角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质：矩形的四个角都相等 90 度矩形的对角线相等3、矩形的判定：用定义判定有三个角是直角的四边形是
24、矩形对角线相等的平行四边形是矩形名师提醒： 1、矩形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，矩形又是轴对称图形，对称轴有 2 条 2、矩形被它的对角线分成四个全等的等腰三角形和两对全等的直角三角形 3、矩形中常见题目是对角线相交成600或 1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题二、菱形：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线垂直且每条对角线互相平分3、菱形的判定：用定义判定对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
25、6 页，共 23 页7 / 23 名师提醒： 1、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线 2、菱形被对角线分成四个全等的直角三角形和两对全等的等腰三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的一半来计算 4、菱形常见题目是内角为1200或 600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目三、正方形： 1、定义：有一组邻边相等的矩形是正方形，或有一个角是直角的菱形是正方形2、性质：正方形四个角都相等都是直角，正方形四边条都相等正方形两对角线相等 、垂直且互相平分每条对角线平分一组内角3、判定：先证是矩形，再证邻边相等先证是菱形
26、，再证一个角是直角名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 4 条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从邻边、 直角、对角线三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例 1 （2018?泸州）如图1，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，把 ADE 沿 AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在 BC 上，已知折痕AE=10cm，且 tanEFC=，那么该矩形的周长为（A）A 72cm B 36cm C20cm D16cm
27、思路分析：根据矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ， B=D=90 ，再根据翻折变换的性质可得 AFE= D=90 ， AD=AF ，然后根据同角的余角相等求出BAF= EFC，然后根据 tanEFC=，设BF=3x 、AB=4x ，利用勾股定理列式求出AF=5x ，再求出CF，根据tanEFC=表示出CE 并求出 DE，最后在 RtADE 中，利用勾股定理列式求出x，即可得解解： 在矩形ABCD 中， AB=CD ，AD=BC ， B=D=90 ， ADE 沿 AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上， AFE= D=90 ，AD=AF ， EFC+AFB=180 -90 =90
28、， BAF+ AFB=90 ， BAF= EFC， tanEFC=，设 BF=3x 、AB=4x ，在 RtABF 中， AF=， AD=BC=5x ， CF=BC-BF=5x-3x=2x ， tan EFC=， CE=CF?tan EFC=2x?=x ， DE=CD-CE=4x-x=x ， 在Rt ADE中 ，AD2+DE2=AE2， 即 （ 5x ）2+ （x ）2= （ 10）2， 整 理 得 ， x2=16 ， 解 得x=4 ， AB=44=16cm ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页8 / 23 AD=
29、54=20cm，矩形的周长 =2（16+20）=72cm故选 A对应训练1（ 2018?湖州）如图2，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点 E 处，连接DE若DE：AC=3 ：5，则的值为（A）ABCD考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例 2（2018?泉州）如图3，菱形ABCD 的周长为8，对角线AC 和 BD 相交于点O，ACBD=1 2，则AO：BO= 1 2，菱形 ABCD 的面积 S= 16 思路分析： 由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC BD=1 2，所以AOBO=1 2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可解 ： 四
30、 边 形ABCD是 菱 形 ， AO=CO ， BO=DO ， AC=2AO ， BD=2BO ， AO BO=1 2 ； 菱 形ABCD的 周 长 为8， AB=2， AO BO=1 2 ， AO=2 ， BO=4 ，菱形 ABCD 的面积 S=16，故答案为：点评： 本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半对应训练2（ 2018?凉山州）如图4，菱形ABCD中， B=60 ， AB=4 ，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（C） A14 B15 C16 D17 考点三：和正方形有关的证明题例 3 （2018?湘潭
31、）在数学活动课中，小辉将边长为和 3 的两个正方形放置在直线l 上，如图5，他连结AD 、CF，经测量发现AD=CF （ 1）他将正方形ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图6，试判断 AD 与CF 还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点E 旋转至直线l 上，如图7，请你求出 CF 的长思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90 ，然后求出AOD=COF，再 利 用 “边 角 边 ”证 明 AOD和 COF全 等 ， 根 据 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 即 可 得 证 ；精选学习资料 - - - -
32、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页9 / 23 （ 2）与（ 1）同理求出CF=AD ，连接DF 交 OE 于 G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF OE，DG=OG= OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD 解： （1）AD=CF 理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中， AO=CO ，OD=OF ，AOC=DOF=90 ，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF，在 AOD和 COF中 ， AOD COF （ SAS ） ， AD=CF；（ 2） 与 （ 1） 同 理 求 出CF=AD ， 如 图0
33、1， 连 接DF 交OE 于G ， 则DF OE ， DG=OG=OE， 正 方 形ODEF的 边 长 为， OE=2 ， DG=OG=OE= 2=1 ，AG=AO+OG=3+1=4 ，在 Rt ADG 中， AD=， CF=AD=点评： 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键对应训练3（ 2018?三明）如图8，在正方形ABCD中， P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB（ 1）求证： BCP DCP；（ 2
34、）求证： DPE=ABC ；（ 3）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图9），若 ABC=58 ，则 DPE= 58 度（ 1 ） 证 明 ： 在 正 方 形ABCD中 ， BC=DC ， BCP= DCP=45 ， 在 BCP和 DCP中 ，BCPDCP（SAS）；（ 2 ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 ， BCP DCP ， CBP= CDP ， PE=PB ， CBP= E ， DPE= DCE ， 1= 2（对顶角相等），180 - 1- CDP=180 - 2- E，即 DPE= DCE ，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC；（3）解：与（ 2）同理可得：DPE=
35、ABC ， ABC=58 ， DPE=58 故答案为： 58考点四：四边形综合性题目例 4 （2018?资阳）在一个边长为a（单位： cm）的正方形ABCD 中，点E、 M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F，过点 M 作 MN DF 于 H，交 AD 于 N（ 1）如图 10，当点 M 与点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页10 / 23 C 重合，求证：DF=MN ；（ 2）如图 11，假设点M 从点 C 出发，以1cm/s的速度沿CD 向点 D 运动，点E 同时从 点A出 发
36、 ， 以cm/s速 度 沿AC向 点C运 动 ， 运 动 时 间 为t （ t 0 ） ； 判 断 命 题 “ 当 点F 是 边AB中 点 时 ， 则 点M是 边CD的 三 等 分 点 ” 的 真 假 ， 并 说 明 理 由 连结FM 、 FN， MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a， t 之间的关系；若不能，请说明理由思路分析：（1）证明 ADF DNC ，即可得到DF=MN ；（ 2）首先证明AFE CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；若 MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论解： （ 1）证明：DNC+ ADF=90 ， DNC+
37、 DCN=90 ， ADF= DCN 在 ADF 与 DNC 中，ADFDNC（ASA），DF=MN（ 2 ） 解 ： 该 命 题 是 真 命 题 理 由 如 下 ： 当 点F 是 边AB中 点 时 ， 则AF=AB=CD AB CD， AFE CDE ，=， AE=EC，则AE=AC=a， t=a则CM=1?t=a=CD，点M为边CD的三等分点 能 理 由 如 下 ： 易 证AFE CDE ， =， 即， 得AF=易 证 MND DFA ， ， 即， 得ND=t ND=CM=t， AN=DM=a-t若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（ I ） 若FN=MN ， 则 由AN=DM知 FA
38、N NDM ， AF=DM ， 即=t ， 得t=0 ， 不 合 题 意 此种情形不存在；（ II ） 若FN=FM ， 由MN DF 知 ， HN=HM ， DN=DM=MC， t=a， 此 时 点F 与 点B 重 合 ；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如图02所示：易得 MFC NMD ， FC=DM=a-t ；又由 NDM DCF，即，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页11 / 23 FC=a-t， t=a，此时点F与点 C 重合综上所述，当t=a或 t=a 时，MNF 能够成为等腰三角形点
39、评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解备考真题过关一、选择题1（ 2018?铜仁地区）下列命题中，真命题是（C）A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形2（ 2018?宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（B）A两组对边分别平行 B对角线相等 C对角线互相平分 D两组对角分别相等3（ 2018?随州）如图12，在菱形ABC
40、D 中， BAD=120已知 ABC 的周长是15，则菱形ABCD 的周长是（C）A25 B20 C15 D10 4（ 2018?重庆）如图13，矩形纸片ABCD 中， AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边 AD上的点 B1 处，折痕与边BC 交于点 E，则 CE 的长为（C）A6cm B 4cm C2cm D1cm 5（ 2018?南充）如图14，把矩形ABCD 沿 EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的 B 处，若AE=2 ，DE=6，EFB=60 ，则矩形 ABCD 的面积是（D）A12 B24 C12D166（ 2018?巴中）如图15，菱形ABCD 的两
41、条对角线相交于O，若AC=6 ，BD=4 ，则菱形ABCD的周长是（C）A 24 B 16 C4D27（ 2018?茂名）如图16，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， AOD=60 ， AD=2 ，则AC 的长是（B）A 2 B 4 C2 D48（ 2018?成都）如图17，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点 C 重合，若AB=2 ，则 CD的长为（B）A 1 B 2 C3 D4 9（ 2018?包头）如图18，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在 EF 边上，若矩形ABCD 和矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
42、 - - -第 11 页，共 23 页12 / 23 AEFC 的面积分别是S1、S2 的大小关系是（B）AS1S2 BS1=S2 CS1S2 D3S1=2S2 10（ 2018?扬州）如图19，在菱形ABCD中， BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接 DF，则 CDF 等于（C）A50B60 C70 D 8011（ 2018?绵阳）如图20，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm ， BD=6cm ，DH AB 于点H，且 DH 与AC 交于 G，则 GH=（B）A cm Bcm Ccm D cm 12（ 2018?雅安）如图21，正方形ABCD 中，点
43、E、F 分别在 BC、CD 上， AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于 G，下列结论：BE=DF ， DAF=15， AC 垂直平分EF， BE+DF=EF ， SCEF=2SABE 其中正确结论有（C）个 A2 B3 C4 D5 二、填空题13（ 2018?宿迁）如图22，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线长度也在发生改变当为 90 度时，两条对角线长度相等14（ 2018?淮安）若菱形的两条对角线分别为2 和 3，则此菱形的面积是 3 15（ 2018?无锡）如图23，菱形 ABCD 中，对角线AC 交 BD 于 O，AB=8 ，E
44、 是 CD 的中点，则OE 的长等于4 16（ 2018?黔西南州）如图24 所示，菱形ABCD 的边长为4，且 AEBC 于 E，AFCD 于 F， B=60 ，则菱形的面积为17（ 2018?攀枝花）如图25，在菱形ABCD 中， DEAB 于点 E， cosA=，BE=4，则 tanDBE 的值是 2 18（ 2018?南充）如图26，正方形ABCD 的边长为2，过点 A 作 AE AC，AE=1 ，连接 BE，则 tanE= 2/ 319（ 2018?苏州）如图27，在矩形ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折叠后得到AFE，且点 F 在矩形ABCD 内部将A
45、F 延长交边BC 于点G若，则用含k 的代数式表示）20（ 2018?哈尔滨）如图28，矩形 ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，过点 O 作 OEAC 交 AB 于 E，若BC=4， AOE 的面积为5，则 sinBOE 的值为 3/ 5 21（ 2018?北京）如图29，O 是矩形 ABCD 的对角线AC 的中点， M 是 AD 的中点若AB=5 ，AD=12 ，则四边形 ABOM 的周长为 20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页13 / 23 22（ 2018?南京）如图30，将菱形纸片ABCD
46、折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF，若菱形 ABCD 的边长为2cm， A=120 ，则 EF= cm23（ 2018?舟山）如图31，正方形ABCD 的边长为3，点 E，F分别在边AB、BC 上， AE=BF=1 ，小球 P从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球P 第一次碰到点E时，小球 P 所经过的路程为24（ 2018?桂林）如图32，已知线段AB=10 ，AC=BD=2 ，点 P 是 CD 上一动点，分别以AP、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和 PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P 从点C
47、运动到点D 时，线段O1O2 中点 G 的运动路径的长是25（ 2018?荆州）如图33，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD 沿 CA 方向平移得到A1C1D1 ，连结 AD1 、 BC1若 ACB=30 ，AB=1 ，CC1=x， ACD 与 A1C1D1 重叠部分的面积为s，则下列结论：A1AD1 CC1B；当 x=1 时，四边形ABC1D1 是菱形；当x=2 时， BDD1 为等边三角形；s=（x-2）2 （0x2）；其中正确的是 （填序号）三、解答题26（ 2018?南通）如图34，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且 BAD= CAE 求证：四边形BCDE 是矩形
48、证明： BAD= CAE ， BAD- BAC= CAE- BAC ， BAE= CAD ，在BAE 和 CAD 中 BAE CAD （ SAS ） ， BEA= CDA ， BE=CD ， DE=BC ，四边形BCDE 是平行四边形，AE=AD ， AED= ADE ， BEA= CDA ， BED= CDE ， 四 边 形BCDE是 平 行 四 边 形 ， BE CD ， CDE+ BED=180 ， BED= CDE=90 ，四边形 BCDE 是矩形27（ 2018?广州）如图35，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与 BD 相交于 O，AB=5 ，AO=4 ，求 BD 的长解 ：四边
49、形ABCD是菱形，对角线AC 与BD 相交于O， AC BD ， DO=BO ， AB=5 ， AO=4 ，BO=3，BD=2BO=23=628（ 2018?厦门）如图36 所示，在正方形ABCD 中，点G 是边 BC 上任意一点，DE AG，垂足为E，延长DE 交 AB 于点 F在线段 AG 上取点 H，使得 AG=DE+HG ，连接 BH求证： ABH= CDE 证明： 如图36-1，在正方形ABCD中， AB=AD ， ABG= DAF=90 ， DE AG， 2+ EAD=90 ，又 1+EAD=90 ， 1=2，在 ABG 和 DAF 中，精选学习资料 - - - - - - - -
50、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页14 / 23 ， ABG DAF （ ASA ） ， AF=BG ， AG=DF ， AFD= BGA ， AG=DE+HG ，AG=DE+EF ， EF=HG ，在 AEF 和 BHG 中， AEF BHG（SAS）， 1=3， 2=3， 2+CDE=ADC=90 ， 3+ABH= ABC=90 ， ABH= CDE29（ 2018?黔东南州）如图37，在正方形ABCD 中，点 M 是对角线BD 上的一点，过点M 作 ME CD 交 BC于点 E，作 MFBC 交 CD 于点 F求证： AM=EF 证明： 过 M 点作
51、 MQ AD ，垂足为Q，作 MP 垂足 AB ，垂足为P，(如图 37-1)四边形ABCD 是正方形，四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF， PM=PB=ME ，在 APM 和 FME 中， APM FME （SAS）， AM=EF 30（ 2018?铁岭）如图38， ABC 中， AB=AC ，AD 是 ABC 的角平分线，点O 为 AB 的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD ，连接AE，BE（ 1）求证：四边形AEBD是矩形；（ 2）当 ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由（ 1）证明 ：点O 为 AB
52、的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD ，四边形AEBD 是平行四边形， AB=AC ， AD是 ABC的 角 平 分 线 ， AD BC ， ADB=90 ， 平 行 四 边 形AEBD是 矩 形 ；（ 2 ） 当 BAC=90 时 ， 理 由 ： BAC=90 ， AB=AC ， AD是 ABC的 角 平 分 线 ， AD=BD=CD ，由（ 1）得四边形AEBD 是矩形，矩形AEBD 是正方形31（ 2018?南宁）如图39，在菱形ABCD中， AC 为对角线，点E、 F 分别是边BC 、 AD的中点（1）求证： ABE CDF；（ 2）若 B=60 ，AB=4 ，求线段AE 的长
53、解： （1）四边形ABCD 是菱形， AB=BC=AD=CD， B=D，点E、F 分别是边BC、 AD 的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页15 / 23 BE=DF，在ABE和 CDF中，ABECDF（SAS ）；（ 2 ） B=60 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， 点E是 边BC的 中 点 ， AE BC ，在 RtAEB 中， B=60 ，AB=4 ，sin60 =，解得 AE=232（ 2018?贵阳）已知：如图40，在菱形ABCD 中， F 是 BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点
54、 E，连接 EC（ 1）求证： AE=EC ；（ 2）当 ABC=60 ， CEF=60 时，点 F 在线段 BC 上的什么位置？说明理由（ 1）证明 ：如图40-1，连接AC ， BD 也是菱形ABCD的对角线，BD 垂直平分AC ， AE=EC ；（ 2 ） 解： 点F是 线 段BC的中 点 理 由 如下 ： 在 菱 形ABCD中 ， AB=BC，又 ABC=60 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， BAC=60 ， AE=EC ， CEF=60 ， EAC=BAC=30 ， AF 是 ABC 的角平分线，AF 交 BC 于 F，AF 是 ABC 的 BC 边上的中线，点F是线段 BC
55、的中点33（ 2018?曲靖）如图41，点 E 在正方形ABCD 的边 AB 上，连接DE，过点C 作 CFDE 于 F，过点A 作AGCF 交 DE 于点G（ 1）求证： DCF ADG （ 2）若点E 是 AB 的中点，设DCF= ，求sin 的值（ 1 ） 证 明 ： 在 正 方 形ABCD中 ， AD=DC ， ADC=90 ， CF DE ， CFD= CFG=90 ， AG CF ， AGD= CFG=90 ， AGD= CFD ， 又 ADG+ CDE= ADC=90 ，DCF+ CDE=90 ， ADG= DCF，在 DCF 和 ADG 中，DCFADG（AAS）；（ 2 ）
56、设 正 方 形ABCD的 边 长 为2a ， 点E是AB的 中 点 ， AE= 2a=a ，在Rt ADE中 ， DE=， sin ADG=， ADG= DCF= ， sin =35（ 2018?绥化）已知，在ABC 中， BAC=90， ABC=45，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ， C 重合）以AD 为边做正方形ADEF ，连接CF（ 1）如图42，当点D 在线段BC 上时求证CF+CD=BC ；（ 2）如图 43，当点D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF， BC，CD 三条线段之间的关系；（ 3）如图44，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A
57、，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC ，CD 三条线段之间的关系；若正方形ADEF 的边长为2，对角线AE，DF 相交于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页16 / 23 点 O，连接 OC求 OC 的长度证明： （1） BAC=90 ， ABC=45 ， ACB= ABC=45 ， AB=AC ，四边形 ADEF 是正方形， AD=AF ， DAF=90 ， BAD=90 -DAC ， CAF=90 -DAC ， BAD= CAF，则在 BAD 和 CAF 中， BAD CAF （SA
58、S），BD=CF，BD+CD=BC，CF+CD=BC；（2）CF-CD=BC；（3） CD-CF=BC BAC=90 ， ABC=45 ， ACB= ABC=45 ， AB=AC ， 四 边 形ADEF是 正 方 形 ，AD=AF ， DAF=90 ， BAD=90 -BAF ， CAF=90 - BAF ， BAD= CAF ，在 BAD 和 CAF 中， BAD CAF （SAS）， ACF= ABD ， ABC=45 ， ABD=135 ， ACF=ABD=135 ， FCD=90 ， FCD是 直 角 三 角 形 正方形 ADEF 的边长为2且对角线AE、DF 相交于点 O DF=AD
59、=4 ，O 为 DF 中点OC=DF=236（ 2018?盘锦）如图，正方形ABCD 的边长是3，点 P是直线 BC 上一点，连接PA，将线段PA 绕点 P逆时针旋转 90 得到线段PE，在直线BA 上取点 F，使 BF=BP ，且点 F 与点 E 在 BC 同侧，连接EF，CF（ 1）如图45?，当 点P在CB延长 线上时 ，求证 ：四 边 形PCFE是平 行四边 形 ；（ 2 ） 如 图46? ， 当 点P 在 线 段BC 上 时 ， 四 边 形PCFE 是 否 还 是 平 行 四 边 形 ， 说 明 理 由 ；（3）在（ 2）的条件下，四边形PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积
60、的最大值及此时BP 长；若没有，请说明理由解 ： （ 1） 四 边 形ABCD是 正 方 形 ， AB=BC ， ABC= PBA=90 在 PBA 和 FBC中 ， PBA FBC （ SAS ） ， PA=FC ， PAB= FCB PA=PE ，PE=FCPAB+ APB=90 ， FCB+ APB=90 EPA=90 ， APB+EPA+FPC=180 ,即 EPC+PCF=180 ， EPFC， 四 边 形EPCF是 平 行 四 边 形 ；（ 2）结论：四边形EPCF 是平行四边形，四边形ABCD是正方形，AB=BC ， ABC= CBF=90 精选学习资料 - - - - - -
61、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页17 / 23 直角梯形：一腰与底垂直的梯形叫做直角梯形在 PBA 和 FBC 中， PBA FBC（SAS）， PA=FC， PAB=FCB PA=PE， PE=FC FCB+ BFC=90 ， EPB+ APB=90 ， BPE= FCB ， EP FC，四边形EPCF是平行四边形；（3）设BP=x，则PC=3-x 平行四边形PEFC的面积为S，S=PC?BF=PC?PB=（3-x）x=-（x-）2+a=-10，抛物线的开口向下，当x=时， S最大 =，当 BP=时，四边形PCFE 的面积最大，最大值为第二十二讲
62、梯形基础知识回顾一、梯形的定义、分类和面积： 1、定义：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，两底间的距离叫做梯形的高。2、分类：梯形3、梯形的面积：S梯形= （上底 +下底） 高【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要证明它有一组对边平行外，还需注明另一组对边不平行或平行的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定： 1、性质：等腰梯形的两腰相等，底角相等 等腰梯形的对角线相等等腰梯形是轴对称图形 2、判定：用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形【名师提醒：1、梯形的性
63、质和判定中“ 同一底上的两个角相等” 不能说成 “ 两底角相等” 2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形 3 、解决梯形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为平行四边形或矩形常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页18 / 23 考点一：梯形的基本概念和性质例 1 （2018?广州）如图1 所示，四边形ABCD是梯形， AD BC，CA 是 BCD 的平分线，且AB AC，A
64、B=4 ， AD=6 ，则 tanB=（） A2B2CD思路分析： 先判断 DA=DC ，过点 D 作 DEAB ，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，由等腰三角形的性质，可得点F是 AC 中点，继而可得EF 是 CAB 的中位线，继而得出EF、DF 的长度，在RtADF 中求出 AF，然后得出AC，tanB 的值即可计算解： CA 是 BCD 的平分线，DCA= ACB ，又 AD BC， ACB= CAD ， DAC= DCA ， DA=DC ，如图 1-1，过点 D 作 DEAB ，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E， AB AC ， DE AC （ 等 腰 三 角 形 三 线
65、合 一 的 性 质 ） ， 点F 是AC中 点 ， AF=CF ，EF是CAB的中位线，EF=AB=2，=1，EF=DF=2，在 RtADF 中， AF=，则 AC=2AF=8，tanB=故选 B点评： 本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F 是 AC 中点，难度较大对应训练1（ 2018?宁波）如图2，梯形ABCD 中， AD BC，AB=，BC=4 ，连结 BD ， BAD 的平分线交BD 于点E，且 AECD，则 AD 的长为（B）AB CD2 考点二：等腰梯形的性质例 2 （2018?柳州）如图3，四边形ABCD 为等腰梯
66、形， AD BC，连结 AC 、BD在平面内将DBC 沿 BC 翻折得到 EBC （1）四边形 ABEC 一定是什么四边形？（2）证明你在（1）中所得出的结论思 路 分 析 ： （ 1 ） 首 先 观 察 图 形 ， 然 后 由 题 意 可 得 四 边 形ABEC一 定 是 平 行 四 边 形 ；（2）由四边形ABCD 为等腰梯形， AD BC，可得 AB=DC ，AC=BD ，又由在平面内将DBC 沿 BC 翻折得到EBC，可得 EC=DC， DB=BE ，继而可得： EC=AB ，BE=AC ，则可证得四边形ABEC 是平行四边形解答：（1）解：四边形ABEC一定是平行四边形；（2 ）证
67、明：四边形ABCD为等腰梯形， AD BC， AB=DC，AC=BD，由折叠的性质可得：EC=DC ，DB=BE ， EC=AB ，BE=AC ，四边形ABEC 是平行四边形点评： 此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用对应训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页19 / 23 2（ 2018?杭州）如图4，在等腰梯形ABCD 中， AB DC，线段 AG ，BG 分别交 CD 于点 E，F，DE=CF 求证： GAB 是等腰三角形证 明 ： 在 等腰 梯形
68、中ABCD中， AD=BC ， D= C ， DAB= CBA ， 在 ADE和 BCF 中 ， ADE BCF （ SAS ） ， DAE= CBF ， GAB= GBA ， GA=GB ，即 GAB 为等腰三角形考点三：等腰梯形的判定例 3 （ 2018?钦州）如图5，梯形ABCD中， AD BC，AB DE， DEC= C，求证：梯形ABCD 是等腰梯形思路分析 ：由AB DE， DEC= C，易证得 B= C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论证明： AB DE， DEC=B， DEC= C， B=C，梯形ABCD 是等腰梯形点评： 此题考查了等腰梯形的判定此题比较简
69、单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用对应训练3（ 2018?上海）在梯形ABCD 中， AD BC ，对角线AC 和 BD 交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（C）A.BDC= BCD B.ABC= DAB C.ADB= DAC D. AOB=BOC 考点四：梯形的综合应用例 4 （2018?扬州）如图6，在梯形ABCD 中， AB CD， B=90 ， AB=2 ， CD=1，BC=m ，P为线段 BC 上的一动点，且和B、C 不重合，连接PA，过 P 作 PEPA 交 CD 所在直线于E设 BP=x，CE=y（ 1）求 y 与
70、 x的函数关系式；（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求 m 的取值范围；（3）如图7，若m=4，将 PEC 沿 PE 翻折至 PEG 位置， BAG=90 ，求 BP 长思 路 分 析 ： （ 1 ） 证 明 ABP PCE ， 利 用 比 例 线 段 关 系 求 出y与x的 函 数 关 系 式 ；（2）根据（ 1）中求出的y 与 x 的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m 的取值范围；（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP 的长度解答中提供了三种解法，可认真体会解 ： （ 1 ） APB+ CPE=90 ， CEP+
71、CPE=90 ， APB= CEP ， 又 B= C=90 ， ABP PCE，即， y=-x2+x（2） y=-x2+x=-（x-）2+，当x=时， y 取得最大值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页20 / 23 最大值为点 P在线段 BC 上运动时，点E 总在线段 CD 上，1 ，解得 m 2m的取值范围为：0m 2（ 3） 由 折 叠 可 知 ， PG=PC， EG=EC ， GPE= CPE ， 又 GPE+ APG=90 ， CPE+ APB=90 ， APG= APB BAG=90 ， AG BC
72、， GAP= APB ， GAP= APG ， AG=PG=PC 解法一：如解答图7-1所示，分别延长CE、AG，交于点H，则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2 - y，GH=AH-AG=4 -（4- x）=x，在Rt GHE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： GH2+HE2=GH2， 即 ： x2+ （ 2-y ） 2=y2， 化 简 得 ： x2-4y+4=0 由（ 1）可知， y=-x2+x，这里m=4， y=-x2+2x，代入式整理得：x2-8x+4=0 ，解得： x=或 x=2，BP的长为或2解法二： 如解答图所示，连接GC AGPC，AG=PC ，四边形APCG为平行四边形，
73、AP=CG易 证 ABP GNC ， CN=BP=x 过 点G 作GN PC 于 点N ， 则GH=2 ， PN=PC-CN=4-2x 在Rt GPN中 ， 由 勾股 定 理 得 ： PN2+GN2=PG2，即 ： （ 4- 2x ）2+22= （4-x ）2，整理得：x2- 8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的长为或2解 法 三 ： 过 点A作AK PG 于 点K ， APB= APG ， AK=AB 易 证 APB APK ， PK=BP=x， GK=PG-PK=4 - 2x 在Rt AGK中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： GK2+AK2=AG2，即：（ 4- 2x）2+22=（ 4
74、- x）2，整理得： x2- 8x+4=0，解得： x=或 x=2， BP 的长为或 2点评： 本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度注意第（2）问中求m 取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法备考真题过关一、选择题1（ 2018?绵阳）下列说法正确的是（D）A对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D对角线相等且互相平分的四边形是矩形2（ 2018?十堰）如图8，梯形ABCD中， AD BC ，
75、AB=DC=3 ， AD=5 ， C=60 ，则下底BC 的长为（A）A8 B9 C10 D11 二、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页21 / 23 3（ 2018?扬州）如图9，在梯形ABCD 中， AD BC，AB=AD=CD ， BC=12， ABC=60，则梯形ABCD 的周长为 30 4（ 2018?盘锦）如图10，等腰梯形ABCD ，AD BC， BD 平分 ABC ， A=120 若梯形的周长为10，则AD 的长为 2 5（ 2018?六盘水）如图11，梯形ABCD 中， ADBC，AD=4
76、 ，AB=5 ，BC=10， CD 的垂直平分线交BC 于E，连接 DE，则四边形ABED 的周长等于 19 6（ 2018?长沙）如图12，在梯形ABCD中， AD BC ， B=50 ， C=80 ， AE CD 交 BC 于点E，若AD=2 ，BC=5，则边 CD 的长是 3 7（ 2018?曲靖）如图13，在直角梯形ABCD中， AD BC ， B=90 ， C=45 ， AD=1 ， BC=4 ，则CD=8（ 2018?南京）如图14，在梯形ABCD 中， AD BC，AB=DC ，AC 与 BD 相交于P已知A（2，3）， B（1， 1）， D（4，3），则点P的坐标为 (33.7
77、/ 3)三、解答题9（ 2018?玉林）如图15，在直角梯形ABCD 中， AD BC，AD DC，点 A 关于对角线BD 的对称点F 刚好落在腰DC 上，连接AF 交 BD 于点E，AF 的延长线与BC 的延长线交于点G，M，N 分别是BG，DF 的中点（ 1）求证：四边形EMCN 是矩形；（ 2）若 AD=2 ，S梯形 ABCD= ，求矩形EMCN 的长和宽（ 1 ） 证 明 ： 点A 、 F关 于BD对 称 ， AD=DF， DE AF ， 又 AD DC ， ADF 、 DEF 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， DAF= EDF=45 ， AD BC ， G= GAD=45 ， BG
78、E是 等 腰 直 角 三 角 形 ， M ， N分 别 是BG ， DF的 中 点 ， EM BC ， EN CD ，又ADBC，ADDC，BCCD，四边形EMCN是矩形；（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可 知 ， EDF=45 ， BC CD ， BCD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， BC=CD ， S 梯形ABCD=（ AD+BC ） ?CD=（2+CD ） ?CD=，即CD2+2CD-15=0 ，解得CD=3 ， CD=-5 （舍去）， ADF 、 DEF 是等腰直角三角形，DF=AD=2 ， N 是DF 的中点，EN=DN=DF= 2=1，CN=CD-DN=3-1=2 ，矩形E
79、MCN 的长和宽分别为2， 110（ 2018?深圳）如图16，在等腰梯形ABCD 中，已知ADBC，AB=DC ，AC 与 BD 交于点 O，廷长 BC 到E，使得 CE=AD ，连接 DE（ 1）求证： BD=DE （ 2）若 AC BD，AD=3 ，SABCD=16 ，求 AB 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页22 / 23 （ 1 ） 证 明 ： AD BC ， CE=AD， 四 边 形ACED是 平 行 四 边 形 ， AC=DE，四边形ABCD是等腰梯形， ADBC，AB=DC， AC=BD，
80、BD=DE（ 2） 解 ： 过 点D 作DF BC 于 点F， 四 边 形ACED是 平 行 四 边 形 ， CE=AD=3 ， AC DE ，ACBD，BDDE，BD=DE， S BDE=BD?DE=BD2=BE?DF=（ BC+CE ） ?DF=（ BC+AD ） ?DF=S 梯 形ABCD=16 ，BD=4， BE=BD=8 ， DF=BF=EF=BE=4， CF=EF-CE=1 ，AB=CD=11（ 2018?安溪县质检）如图17.已知等腰梯形中，AB=DC=2 ，AD BC，AD=3 ，腰与底相交所成的锐角为60 ，动点P 在线段BC 上运动（ 点 P 不与B、C 点重合），并且AP
81、Q=60 ，PQ 交射线CD 于点Q，若CQ=y，BP=x，（1）求下底BC 的长（ 2）求 y 与 x 的函数解读式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ 最长，最大值为多少？（ 3）在（ 2）的条件下，当CQ 最长时， PQ与 AD 交于点 E，求 QE 的长解： （ 1）如图17-1，过点D 作DEAB ，交BC 于 E， AD BC ，四边形ABED是平行四边形， BE=AD=3 ， DE=AB=DC=2 ， DE AB ， DEC= B=60 ， DEC 为等边三角形，EC=DC=2 ，BC=BE+EC=3+2=5；（ 2 ） 如 图2 ， 在 CPQ与 BAP中 ， ， CPQ B
82、AP ，CQ：BP=CP：BA，即y：x=（5-x）：2，y=-x2+x，当x=， 即 当 点P 运 动 到BC 中 点 时 ， 线 段CQ 最 长 ， 此 时 最 大 值 为；（ 3）如图17-3，在（ 2）的条件下，当CQ 最长时，BP=CP=， CQ=， QD=CQ-CD=-2= DE CP， QDE QCP， QE：QP=DE ：CP=QD ：QC，即QE： QP=DE ：=：=9：25，可设QE=9k，QP=25k，且DE=， PE=QP-QE=16k ，AE=AD-DE=3-=在 DEQ 与 PEA 中， DEQ PEA， DE：PE=EQ：EA，：16k=9k ：，解得 k=， QE=9k=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页23 / 23 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页
