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1、经典难题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CDAB,EFAB ,EGCO求证: CDGF (初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点, PAD PDA 150求证: PBC 是正三角形 (初二)3、如图,已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、 D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证:四边形A2B2C2D2是正方形(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD 中, AD BC,M、N 分别是 AB 、CD 的中点, AD 、BC的延长线交MN 于 E、F求证: DEN F经典难题(二)A P C D B A F G C
2、E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页P C G F B Q A D E 1、已知: ABC 中, H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OMBC 于 M( 1)求证: AH 2OM;( 2)若 BAC 600,求证: AH AO (初二)2、设 MN 是圆 O 外一直线,过O 作 OA MN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于B、C及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证:
3、APAQ (初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设 MN 是圆 O 的弦,过MN 的中点 A 任作两弦BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q求证: APAQ (初二)4、如图,分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边,在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点 P 是 EF 的中点求证:点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半(初二)经典难题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形, DEAC ,AEAC ,AE 与 CD 相交于 F求证: CECF (初二)A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M
4、O Q P B D E C N M A A F D E C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页2、如图,四边形ABCD 为正方形, DEAC ,且 CECA,直线 EC 交 DA 延长线于F求证: AEAF (初二)3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点, PFAP,CF 平分 DCE求证: PAPF (初二)4、如图, PC 切圆 O 于 C,AC 为圆的直径, PEF 为圆的割线, AE 、AF 与直线 PO 相交于B、D求证: AB DC,BC AD (初三)经典难题(四)1、已知: AB
5、C 是正三角形,P 是三角形内一点,PA3,PB4,PC5求: APB 的度数(初二)2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且PBA PDA 求证: PAB PCB (初二)3、设 ABCD 为圆内接凸四边形,求证:ABCDAD BC ACBD (初三)D E D A C B F F E P C B A O D B F A E C P A P C B P A D C B C B D A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页4、平行四边形ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点, AE 与 CF
6、相交于 P,且AECF求证: DPA DPC (初二)经典难题(五)1、设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点, LPAPBPC,求证:L22、已知: P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点,求PAPBPC 的最小值3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长4、如图, ABC 中, ABC ACB 800,D、E 分别是 AB、AC 上的点, DCA 300,EBA 200,求 BED 的度数经典难题(一)1.如下图做GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFH OEG, F P D E C B A APCBACBPDEDCBAA
7、CBPD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页即 GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。2. 如下图做 DGC 使与 ADP 全等,可得 PDG 为等边,从而可得DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG=PCG150 所以 DCP=300 ,从而得出 PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点,连接 EB2并延长交 C2Q于 H点,连接 FB2并延长交 A2Q于 G点,由 A2
8、E=12A1B1=12B1C1= FB2 ,EB2=12AB=12BC=FC1 ,又GFQ+Q=900和 GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2= A2EB2,可得 B2FC2 A2EB2,所以 A2B2=B2C2,又 GFQ+HB2F=900和 GFQ=EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页4.如下图连接 AC并取其中点 Q ,连接 QN和 QM ,所以可得QMF= F, QNM
9、= DEN 和 QMN= QNM ,从而得出DEN F。经典难题(二)1.(1) 延长 AD到 F连 BF,做 OGAF, 又 F=ACB= BHD ,可得 BH=BF, 从而可得HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 连接 OB ,OC,既得BOC=1200,从而可得 BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页3. 作 OFCD ,OGBE,连接 OP,OA,OF,AF, OG,AG ,OQ。由于22ADACC
10、DFDFDABAEBEBGBG=,由此可得 ADF ABG ,从而可得AFC= AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆,可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ, AOP= AOQ,从而可得AP=AQ 。4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG ,CI,FH 。可得 PQ=2EGFH+。由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFH CBI,可得 FH=BI 。从而可得PQ=2AIBI+= 2AB,从而得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页经典难题(三)1. 顺时针旋转ADE ,
11、到 ABG ,连接 CG. 由于ABG= ADE=900+450=1350从而可得B,G,D 在一条直线上,可得AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC ,可得 AGC 为等边三角形。 AGB=300,既得 EAC=300,从而可得A EC=750。又 EFC= DFA=450+300=750. 可证: CE=CF。2. 连接 BD作 CHDE,可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得 CEH=300,所以 CAE= CEA= AED=150,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页又
12、FAE=900+450+150=1500,从而可知道F=150,从而得出AE=AF 。3. 作 FGCD ,FEBE,可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tan EPF=XY=ZYXZ-+,可得 YZ=XY-X2+XZ ,即 Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得 X=Z ,得出 ABP PEF ,得到 PA PF ,得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页经典难题(四)1. 顺时针旋转ABP 600,连接 PQ ,则 PBQ 是正三角形。可得PQ
13、C 是直角三角形。所以 APB=1500。2. 作过 P点平行于 AD的直线,并选一点E,使 AE DC ,BE PC. 可以得出 ABP= ADP= AEP,可得:AEBP 共圆(一边所对两角相等)。可得 BAP= BEP=BCP,得证。3. 在 BD取一点 E,使 BCE= ACD ,既得 BEC ADC ,可得:BEBC=ADAC,即 AD ?BC=BE ?AC ,又 ACB= DCE,可得 ABC DEC ,既得ABAC=DEDC,即 AB?CD=DE ?AC ,由 +可得 : AB?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= ACBD ,得证。精选学习资料 - - - - - - -
14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页4. 过 D作 AQAE , AGCF ,由ADES=2ABCDS=DFCS,可得:2A E P Q=2AE PQ,由 AE=FC 。可得 DQ=DG ,可得 DPA DPC(角平分线逆定理) 。经典难题(五)1. (1)顺时针旋转 BPC 600,可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP,PE,EF 在一条直线上,即如下图:可得最小L=;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页(2)过 P点作 BC
15、的平行线交 AB,AC与点 D,F。由于APD ATP=ADP,推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得:最大L0 时,a的方向与a的方向相同,当0;当 P点在线段P1P2的延长线上时1; 当 P点在线段 P2P1的延长线上时10;若点 P 分有向线段12PP所成的比为,则点 P分有向线段21P P所成的比为1。如若点P分AB所成的比为34,则A分BP所成的比为 _(答:73)(3)线段的定比分点公式:设111(,)P xy、222(,)P xy,( , )P x y分有向线段12PP所成的比为,则121211xxxyyy,特别地,当 1 时,就得到线段
16、P1P2的中点公式121222xxxyyy。在使用定比分点的坐标公式时,应明确( , )x y,11(,)x y、22(,)xy的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比。 如 (1) 若 M (-3, -2) , N (6, -1) , 且1MPMN3,则点 P 的坐标为 _(答:7( 6,)3) ;11. 平移公式 :如果点( , )P x y按向量,ah k平移至(,)P xy,则xxhyyk;曲线( , )0f x y按向量,ah k平移得曲线(,)0f xh yk.注意 : (1)函数按向量平移与平常“左
17、加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如( 1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量a把点( 7,2)平移到点 _(答: (,) ; ( 2)函数xy2sin的图象按向量a平移后,所得函数的解析式是12cos xy,则a_(答:)1 ,4()12、向量中一些常用的结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;(2)| | | |ababab,特别地,当a b、同向或有0| |abab| |abab;当a b、反向或有0| | | |a bab| | |aba b;当a b、不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
18、- - - - - - -第 19 页,共 20 页共线| | |ababab(这些和实数比较类似). ( 3 ) 在ABC中 , 若112233,A x yB xyC xy, 则 其 重 心 的 坐 标 为123123,33xxxyyyG。 如若 ABC的三边的中点分别为 ( 2, 1) 、(-3, 4) 、(-1 ,-1 ) ,则 ABC的重心的坐标为_(答:2 4(,)3 3) ;1()3PGPAPBPCG为ABC的重心,特别地0PAPBPCP为ABC的重心;PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心;向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在
19、直线 ) ;|0AB PCBC PACA PBPABC的内心;(3) 若 P分有向线段12PP所成的比为, 点M为平面内的任一点, 则121MPMPMP,特别地P为12PP的中点122MPMPMP;( 4 ) 向 量PA PB PC、中 三 终 点ABC、 、共 线存 在 实 数、使 得P APBPC且1. 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,O为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点) 1 , 3(A,)3 , 1(B, 若点C满足OCOBOA21, 其中R21,且121, 则点C的轨迹是 _(答:直线AB )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页