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1、学习必备欢迎下载第一单元分数乘法一、分数乘法(一)分数乘法的意义:1.分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如:985 表示求 5 个98相加的和是多少。2.分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。例如:9843表示求98的43是多少?(二)、分数乘法的计算法则: 1. 分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分) 2. 分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。 3. 为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。(三)、规律:(乘法中比较大小时)一个数( 0 除外
2、)乘大于1 的数时,积大于这个数。一个数( 0 除外)乘小于1 的数时,积小于这个数。一个数( 0 除外)乘 1 时,积等于这个数。(四)、 分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。(五)、整数乘法交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。交换律:a b=ba 结合律:(ab) c=a(b c) 分配律:(a + b ) c= ac + bc 二、 分数乘法的解决问题已知单位“ 1”的量,求单位“1”的几分之几是多少,用乘法。1.画线段图:(1)两个量的关系,画两条线段图;(2)部分与整体的关系,画一条线段图。2.找单位( 1) :在分率句中分率的前面,或“占” 、 “是”、 “比”
3、的后面3. 求一个数的几倍:一个数几倍求一个数的几分之几是多少:一个数几几4. 写数量关系式技巧:(1) “的”相当于“”“占” 、 “是” 、 “比”相当于“=”(2) 分率前是“的”单位“ 1” 的量分率 =分率对应量(3)分率前事“多或少”的意思:单位“ 1” 的量( 1分率) =分率对应量三、倒数1. 倒数的意义:乘积是1 的两个数互为倒数。强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数。 )2. 求倒数的方法:(1) 求分数的倒数:交换分子分母的位置。(2) 求整数的倒数:把整数看做分母是1 的分数,再交换分子分母的位置。(3) 求带分数的
4、倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。(4) 求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。3. 1的倒数是 1,0 没有倒数。4. 对于任意数 a(a 0) ,它的倒数为a1;非零整数a 的倒数为a1;分数ab的倒数是ba。 5. 真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1. 第二单元分数除法一、分数除法1.分数除法的意义:乘法:因数因数 =积除法:积一个因数 =另一个因数分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中的一个因数,求另一个因数的运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备
5、欢迎下载2.分数除法的计算法则:除以一个不为0 的数,等于乘这个数的倒数。3.规律(分数除法比较大小时): (1) 、当除数大于1 时,商小于被除数;(2) 、当除数小于1 时(不等于 0) ,商大于被除数; (3) 、当除数等于1 时,商等于被除数。 4.“ ”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。二、 分数除法解决问题(单位“ 1”的量是未知的,用除法):已知单位“ 1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。1.数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:(1). 分率前是“的”单位“ 1”的量分率 =分率对应量(2.)
6、分率前是“多或少”的意思单位“ 1”的量( 1分率) =分率对应量 2.解法: (建议:最好用方程解答)(1)方程:根据数量关系式设未知量为x, 用方程解答。(2)算术:用除法:分率对应量对应分率=单位“ 1”的量 3. 求一个数是另一个数的几分之几:一个数另一个数 4. 求一个数比另一个数多(少)几分之几:两个数的相差量单位“1”的量或 求多几分之几:大数小数 -1 求少几分之几: 1- 小数大数三、比和比的应用(一)比的意义 1. 比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。2. 在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。(比值通常用
7、分数表示,也可以用小数或整数表示。)3. 比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新量,例:路程速度=时间4. 区分比和比值比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。5.比和除法、分数的关系:比前项比号“:”后项比值除法被除数除号“”除数商分数分子分数线“”分母分数值6.比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一种数,比表示两个数的关系。7.根据比和除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0、体育比赛中出现两队的分是2:0 等,这只是一种计分形式,不表示两个数相除的关系。(二)、 比
8、的基本性质1. 根据比、除法、分数的关系商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外 ),商不变。分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0 除外) ,分数值不变。比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外) ,比值不变。2. 最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。3. 按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。4. 路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比是5:4)工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。(如:工作总量相同,工作时间比是2:3,工作效率比
9、则是2:3)第三单元圆一、认识圆1. 圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。2. 圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。一般用字母o 表示,它到圆上任意一点的距离都相等。3. 半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r 表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。4. 直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5. 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。6. 在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
10、纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载7. 在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的21. 用字母表示为: d=2r 或r=2d8. 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9. 只有 1 条对称轴的图形:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。长方形: 2 条; 正方形: 4 条; 等边三角形: 3 条; 圆和圆环:无数条。二、圆的周长1. 圆的周长:围成远的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C 表示。2. 圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们
11、把它叫做圆周率。用字母表示。(1)一个圆的周长总是它的直径的3 倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环的小数。在计算时,一般取3.14. (2)在判断时,圆周长与它的直径的比值是倍,而不是 3.14 倍。 (3)世界上第一个把圆周率算出来的人使我国数学家祖冲之。3. 圆的周长公式:C= d d=C或 C=2 r r= C24. 在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。5. 区分周长的一半和半圆的周长:(1) 周长的一半: 等于圆的周长2 计算方法: 2 r2 即 r (2)半圆的周长: 等于圆的周长的一半直
12、径。计算方法: r+2r 、三、圆的面积1 圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。2 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3 圆的面积公式的推导把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图形越接近长方形。长方形的长 =圆周长的一半长方形的宽 =圆的半径因为:长方形的面积 =长宽,所以圆的面积=圆周长的一半圆的半径圆的面积公式: S圆 = r r S圆= r r4. 环形的面积:S 环= R r r r5. 一个圆,半径扩大或缩小a 倍,直径和周长也扩大或缩小a倍,而面积扩大或缩小的倍数是a 的平方倍。6. 两个圆:半径比=直径比
13、=周长比,而面积比等于这个比的平方。例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,面积比是 4:9. 7. 任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即4:8. 当长方形、正方形、圆的周长相等时,它们的面积:圆正方形长方形当长方形、正方形、圆的面积相等时,它们的周长:长方形正方形圆9. 常用各 值结果: =3.14 2 =6.28 3 =9.42 4 =12.56 5 =15.7 6 =18.84 7 =21.98 8 =25.12 9 =28.26 10 =31.4 16 =50.24 25 =78.5 36 =113.04 64 =200.96 96 =30
14、1.44 第四单元百分数一、百分数的意义和写法1. 百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比,因此也叫百分率或百分比。2.百分数和分数的主要联系和区别。(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。(2)区别:一是意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;分数可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。二是:百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0 以外的自然数3. 百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。二、常见的分数与小数、百分数之间的互化。21=0.5=5
15、0% 41=0.25=25% 43=0.75=75 % 51=0.2=20% 52=0.4=40% 53=0.6=60% 54=0.8=80% 81=0.125=12.5% 83=0.375=37.5% 85=0.625=62.5% 87=0.875=87.5% 251=0.04=4% 252=0.08=8% 253=0.12=12% 254=0.16=16% 三、用百分数解决问题(一)一般应用题1. 常见的百分率的计算方法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载合格的产品数发芽种子数(1)合格率 = 1
16、00% (2)发芽率 = 100% 产品总数种子总数出勤人数达标学生人数(3)出勤率 = 100% (4 )达标率 = 100% 总人数学生总人数成活的数量粉的重量(5)成活率 = 100% (6)出粉率 = 100%总数量出粉物的重量烘干后的重量烘干前的重量烘干后的重量(7)烘干率 = 100% (8)含水率= 100% 烘干前的重量烘干前的重量一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。 (一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。 )2.百分数应用题方法同分数应用题。(二)折扣1.折扣:商品按原定价
17、格的百分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几,也就是百分之几十。例如:六折就是百分之六十(60%)2.成数:一成是十分之几,也就是10%。三成五就是十分之三点五,也就是35%。五成就是 50%。第六单元统计一、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比。二、常用统计图的优点: 1. 条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。2. 折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰的看出数量的增减变化情况。 3. 扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关系,圆心角越大,扇形越大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页