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1、2. 2.4 4. .2 2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（1 1）定义：在平面定义：在平面内内,与一个定点与一个定点F和一条定直和一条定直线线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)y y2 2=2px=2px(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0
2、)(p0)一、温故知新一、温故知新范围范围1、由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质）的几何性质?抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性对称性2、关于关于x轴轴对称对称即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线
3、上, 即满足即满足y2 = 2px，顶点顶点3、 定义：抛物线与定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛它的轴的交点叫做抛物线的物线的顶点顶点。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。离心率离心率4、P(x,y) 抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e
4、=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。物线的几何性质。（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0xRy 0xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有
5、一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半
6、径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），解解:所以设方程为：所以设方程为：又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程
7、为：例：已知抛物线关于例：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程. .三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论例例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。，求抛物线的标准
8、方程和焦点位置。xyO(40,30)解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系,使反射镜使反射镜的顶点与原点重合的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得由条件可得A (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为: y2= x, 焦点为焦点为( ,0)练习：练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长
9、是上，那么抛物线通径长是 .2、已知点、已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P= 。 4例例3、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条
10、准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：1.1.已知已知M M为抛物线为抛物线 上一动点，上一动点，F F为抛物线的焦点，为抛物线的焦点，定点定点P(3,1)P(3,1), ,则则 的最小值为（的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 B B.M.N.M.P24l例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离
11、水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1米后，水面宽多少米后，水面宽多少？xoA Ay若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？思考题思考题2BA（2,2）x2=2yB（1，y） y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=3代入得代入得例题例题3探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。
