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1、学习必备欢迎下载第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明: (1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示
2、: 如我校的篮球队员,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合:A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法:列举法与描述法。注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 关于 “ 属于 ” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合A 记作aA ,相反, a 不属于集合A 记作a? A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对
3、象是否属于这个集合的方法。语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 数学式子描述法:例:不等式x-32 的解集是 x?R| x-32 或 x| x-32 4、集合的分类:1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例: x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含 ” 关系 子集注意:有两种可能( 1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 B A 2“ 相等 ” 关系 (5 5 ,且 55 ,则 5=5) 实例:设A=x|x2-1=0 B=- 1,1 “ 元素相同
4、 ”结论:对于两个集合A 与 B,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 ,集合 B的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B,即: A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集 :如果 A B,且 A1 B 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作A B(或 B A) 如果A B, B C ,那么A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空
5、集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义:一般地,由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作 ”A交 B”),即 AB=x|x A,且 xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:AB(读作 ”A并 B”),即 A B=x|x A,或 xB3、交集与并集的性质:AA = A, A = , A B = B A,AA = A, A= A ,AB = B A 4、全集与补集(1)补集:设S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即),由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集 A 的补集
6、(或余集)记作:CSA 即 CSA =x | x? S 且 x?A S CsA A (2)全集:如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。(3)性质: CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA) A=U 二、函数的有关概念1函数的概念:设A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作:y=f(x) , xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函
7、数值,函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意: 2 如果只给出解析式y=f(x) ,而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实
8、际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:( 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:表达式相同;定义域一致(两点必须同时具备 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载值域
9、补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 P(x ,y)的集合 C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系y=f(x) ,反过来,以满足y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x,y),均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x)
10、, xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线 ),也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ,最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4 三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用:1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)
11、区间的数轴表示5什么叫做映射一般地,设A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A B”给定一个集合A 到 B 的映射,如果aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应法则f 是确定的;对应法则有“ 方向性 ” ,即强调从集合A 到集合 B 的对应,它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的;对于映射f:
12、AB来说,则应满足:()集合A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;()集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个;()不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点:1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值补充一:分段函数
13、(参见课本P24-25 )在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况(1)分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二:复合函数如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x)
14、,(xA) 称为 f、g 的复合函数。例如 : y=2sinX y=2cos(X2+1) 7函数单调性(1)增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1, x2,当 x1x2 时,都有 f(x1)f(x2) ,那么就说f(x) 在区间 D 上是增函数。 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有f(x1) f(x2) ,那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意: 1 函数的单调性是在定义
15、域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2;当 x1x2 时,总有f(x1)f(x2) 。(2) 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:1 任取 x1,x2 D,且 x11,且 *当 是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数此时,的 次方根用符号表示式子叫做根式( radical ),这里叫做根指数(radical ex
16、ponent),叫做被开方数( radicand )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载当 是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成( 0)由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是0,记作。注意:当是奇数时,当是偶数时,2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义指出: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的
17、运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质(1) ;(2);(3)(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential ),其中x 是自变量,函数的定义域为R注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 图象特征函数性质函数图象都在y 轴右侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载函数的定义域为(0, )图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点(
18、1,0)自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 (三)幂函数1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳(1)所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象都过点(1, 1);(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;(3) 时,幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴第
19、三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根, 亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数 有零点3、函数零点的求法:求函数的零点:1 (代数法)求方程的实数根;2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点:二次函数1) 0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点2) 0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点3) 0,方程 无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页