《北师大版数学必修二课件：1.2直观图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修二课件：1.2直观图（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 2直观图问题引航引航1.1.斜二斜二测画法的画法的规则是什么？是什么？2.2.画立体画立体图形直形直观图的步的步骤是什么？是什么？1.1.斜二斜二测画法的画法的规则(1)(1)在已知在已知图形中建立直角坐形中建立直角坐标系系xOy.xOy.画直画直观图时，它，它们分分别对应xx轴和和yy轴，两，两轴交于点交于点OO，使，使xOy=_.xOy=_.它它们确定的平面表示确定的平面表示_._.(2)(2)已知已知图形中平行于形中平行于x x轴或或y y轴的的线段，在直段，在直观图中分中分别画画成平行于成平行于xx轴和和yy轴的的线段段. .
2、(3)(3)已知已知图形中平行于形中平行于x x轴的的线段，在直段，在直观图中中_，平行于，平行于y y轴的的线段，段，_._.4545水平平面水平平面保持原保持原长度不度不变长度为原来的长度为原来的2.2.立体图形直观图画法的四个步骤立体图形直观图画法的四个步骤zz轴轴平行性及长度不变平行性及长度不变平面平面xOyxOyy yOOz zxOxOz z1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误的打的打“”) )(1)(1)在直在直观图中中xx轴与与zz轴的角度的角度为90.(90.() )(2)(2)空空间几何体与平面几何体与平面图形的直形的直观图，都没有，都没有实线与虚与虚线之之分
3、分.(.() )(3)(3)画立体画立体图形的直形的直观图时，平行于，平行于z z轴的的线段在直段在直观图中要中要画画为原来的原来的 .(.() )【解析解析】1.(1)1.(1)正确正确. .在直观图中画在直观图中画zz轴时要与轴时要与xx轴成轴成9090. .(2)(2)错误错误. .平面图形的直观图全为实线，而立体图形的直观图有平面图形的直观图全为实线，而立体图形的直观图有实线与虚线之分实线与虚线之分. .(3)(3)错误错误. .在直观图中平行于在直观图中平行于z z轴的线段在直观图中长度不变轴的线段在直观图中长度不变. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做
4、做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)在直观图中，在直观图中，yy轴与轴与xx轴的角度为轴的角度为_._.(2)(2)等边三角形的边长为等边三角形的边长为2 2，若其中一边所在的直线为，若其中一边所在的直线为xx轴，轴，则三角形这边上的高在其直观图中所对应的长度为则三角形这边上的高在其直观图中所对应的长度为_._.(3)(3)如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的两条线段的关系为图中对应的两条线段的关系为_._.【解析解析】(1)(1)在直观图中，在直观图中，yy轴与轴与xx轴的角度
5、为轴的角度为4545. .答案：答案：4545(2)(2)边长为边长为2 2的等边三角形的高为的等边三角形的高为 ，在直观图中对应的，在直观图中对应的长度为长度为 . .答案：答案： (3)(3)由斜二测画法规则可知，两条线段的平行关系不变，由斜二测画法规则可知，两条线段的平行关系不变，长度仍然相等长度仍然相等. .答案：答案：平行且相等平行且相等【要点探究要点探究】知知识点点1 1 平面平面图形的直形的直观图对平面平面图形的直形的直观图的三点的三点说明明(1)(1)画出平面的一部分来表示平面画出平面的一部分来表示平面. .(2)(2)用平行四用平行四边形表示平面形表示平面图形的直形的直观图.
6、 .(3)(3)用希腊字母用希腊字母，等来表示平面等来表示平面. .【微思考微思考】(1)(1)平面平面图形的直形的直观图唯一唯一吗？提示：提示：不唯一，作直观图时，由于选轴不同，画出的直观图也不唯一，作直观图时，由于选轴不同，画出的直观图也不同不同. .(2)(2)原原图中平行的中平行的线段，在其直段，在其直观图中中还平行平行吗？提示：提示：平行平行. .【即时练即时练】判断下列判断下列说法是否正确，并法是否正确，并说明理由明理由. .(1)(1)平面的形状是平行四平面的形状是平行四边形形. .(2)(2)任何一个平面任何一个平面图形都可以表示平面形都可以表示平面. .(3)(3)平面平面A
7、BCDABCD的面的面积为10cm10cm2 2. .【解析解析】(1)(1)因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，平行四边形是平面的一部分，不能无限延展平行四边形是平面的一部分，不能无限延展. .故故(1)(1)错错.(2).(2)正确正确.(3).(3)平面无大小之分，故错误平面无大小之分，故错误. .知知识点点2 2 斜二斜二测画法画法1.1.斜二斜二测画法画法强强调的两种数量关系的两种数量关系(1)(1)角的角的变化：在平面化：在平面xOyxOy中，原中，原图形中与形中与x x轴垂直的垂直的线段，在段，在斜二斜二测画法中画成与画法中画成与x
8、x轴成成4545的的线段段. .(2)(2)长度的度的变化：原化：原图形中与形中与y y轴平行的平行的线段段长度减半，与度减半，与x x轴、z z轴平行的平行的线段段长度不度不变. .2.2.直直观图中的中的“变”与与“不不变”(1)(1)平面平面图形用其直形用其直观图表示表示时，一般，一般说来，平行关系不来，平行关系不变. .(2)(2)点的共点的共线性不性不变；线的共点性不的共点性不变；但角的大小有；但角的大小有变化化( (特特别是垂直关系有是垂直关系有变化化).).(3)(3)有些有些线段的度量关系也段的度量关系也发生生变化化. .因此因此图形的形状形的形状发生生变化，化，这种种变化，目
9、的是化，目的是为了使了使图形富有立体感形富有立体感. .【知识拓展知识拓展】斜二测画法中的建系原则斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等用原有互相垂直的直线为坐标轴等. .【微思考微思考】斜二斜二测画法中画法中“斜斜”和和“二二测”分分别指什么？指什么？提示：提
10、示：“斜斜”是指在已知图形的是指在已知图形的xOyxOy平面内与平面内与x x轴垂直的线段，轴垂直的线段，在直观图中均与在直观图中均与xx轴成轴成4545；“二测二测”是指两种度量形式，是指两种度量形式，即在直观图中，平行于即在直观图中，平行于xx轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度不变；平行于yy轴的轴的线段长度变为原来的一半线段长度变为原来的一半. .【即时练即时练】如如图所示的直所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平是将正方体模型放置在你的水平视线的左上的左上角而角而绘制的，其中正确的是制的，其中正确的是( () )【解析解析】选选A.A.根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，根据
11、把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A A正确正确. .【题型示范型示范】类型一型一 画平面画平面图形的直形的直观图【典例典例1 1】(1)(1)给出下列出下列结论：角的水平放置的直角的水平放置的直观图一定是角；一定是角；三角形的直三角形的直观图仍是三角形；仍是三角形；相等的角在直相等的角在直观图中仍相等；中仍相等；相等的相等的线段在直段在直观图中仍相等，中仍相等，其中正确的序号是其中正确的序号是_._.(2)(2)画水平放置的正三角形的直画水平放置的正三角形的直观图. .【解题探究解题探究】1.
12、1.用斜二测画法得到的直观图和原图形比较，长用斜二测画法得到的直观图和原图形比较，长度，角度，平行性是否改变？度，角度，平行性是否改变？2.2.题题(2)(2)中画正三角形的直观图时怎样建系简单？中画正三角形的直观图时怎样建系简单？【探究提示探究提示】1.1.直观图和原图形比较，长度，角度可能会改变，直观图和原图形比较，长度，角度可能会改变，但线段的平行性不变但线段的平行性不变. .2.2.以正三角形的任意一条边所在的直线为以正三角形的任意一条边所在的直线为x x轴，以该边上的高轴，以该边上的高所在直线为所在直线为y y轴建系较简单轴建系较简单. .【自主解答自主解答】(1)(1)由直观图的画
13、法知角的直观图一定是角，三由直观图的画法知角的直观图一定是角，三角形的直观图一定是三角形，相等的角在原图中的位置不同，角形的直观图一定是三角形，相等的角在原图中的位置不同，直观图就可能不等，线段也如此，故直观图就可能不等，线段也如此，故正确，正确，错误错误. .答案：答案：(2)(2)画法：画法：在已知图形在已知图形( (正三角形正三角形) )所在平面上建立平面直所在平面上建立平面直角坐标系角坐标系xOyxOy，另选一平面画直观图，先画，另选一平面画直观图，先画xx轴和轴和yy轴，轴，使使xOy=45xOy=45( (如图如图(2)(2)所示所示) )在在xx轴上取轴上取OB=OBOB=OB，
14、OC=OCOC=OC，在在yy轴上取轴上取OA=OA= OA.OA.连接连接ABAB，ACAC，所得，所得ABCABC就是正三角形就是正三角形ABCABC的的直观图直观图.(.(如图如图(3)(3)【方法技巧方法技巧】画平面图形直观图的诀窍画平面图形直观图的诀窍(1)(1)在原图中与在原图中与x x轴或轴或y y轴平行的线段在直观图中依然与轴平行的线段在直观图中依然与xx轴或轴或yy轴平行，且与轴平行，且与x x轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度不变，与y y轴平行的线段轴平行的线段长度减半长度减半. .(2)(2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连原图中不与坐标轴平行的
15、线段可以先画出线段的端点再连线线. .画端点时，过端点作与坐标轴平行的线段，再借助所作的画端点时，过端点作与坐标轴平行的线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置平行线段确定端点在直观图中的位置. .(3)(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连结而画出直观图中的相应点后，用平滑曲线连结而画出. .【变式式训练】用斜二用斜二测画法画出画法画出图中水平放置的中水平放置的图形的直形的直观图. .【解析解析】如图所示：如图所示：在已知图中，取在已知图中，取O O点为原点，点为原点，OBOB与垂直
16、与垂直OBOB方向分别为方向分别为x x轴与轴与y y轴，过轴，过A A作作AMxAMx轴于点轴于点M.M.任取一点任取一点OO，画相应，画相应xx轴、轴、yy轴，使轴，使xOy=45xOy=45. .在在xx轴上取轴上取OB=OBOB=OB，OM=OM.OM=OM.过过MM作作MAyMAy轴，且轴，且MA= MA.MA= MA.连结连结OAOA，ABAB并擦去辅助线并擦去辅助线( (图中辅助线未略图中辅助线未略) )，则则OABOAB即是水平放置图形即是水平放置图形OABOAB的直观图的直观图. .【补偿训练】如如图为水平放置的正方形水平放置的正方形ABCOABCO，它在直角坐，它在直角坐标
17、系系xOyxOy中点中点B B的坐的坐标为(2(2，2)2)，则在用斜二在用斜二测画法画出的正方形的画法画出的正方形的直直观图中，中，顶点点BB到到xx轴的距离的距离为_._.【解析解析】因为因为AO=1AO=1，所以，所以BC=1BC=1，则，则BB到到xx轴的轴的距离为距离为 答案：答案：类型二型二 空空间几何体的直几何体的直观图【典例典例2 2】(1)(1)在棱在棱长为8cm8cm的正方体的正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，作直中，作直观图时，棱，棱AAAA1 1在在x x轴上，棱上，棱ADAD在在y y轴上，上，则在其直在其直观图中，中，对
18、应棱棱ADAD的的长为_cm_cm，棱，棱AAAA1 1的的长为_cm._cm.(2)(2)有一个正六棱有一个正六棱锥( (底面底面为正六正六边形，形，侧面面为全等的等腰三角全等的等腰三角形的棱形的棱锥) )，底面，底面边长为3cm3cm，高，高为3cm3cm，画出，画出这个正六棱个正六棱锥的的直直观图. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中棱中棱AAAA1 1与棱与棱ADAD在直观图中将会怎样变化在直观图中将会怎样变化？2.2.题题(2)(2)中画直观图时应分几步去画？中画直观图时应分几步去画？【探究提示探究提示】1.1.棱棱AAAA1 1的长度不变，的长度不变，ADAD的长度变
19、为原来的一半的长度变为原来的一半. .2.2.分两步画，第一步画底面正六边形的直观图，第二步画直观分两步画，第一步画底面正六边形的直观图，第二步画直观图的高，确定顶点图的高，确定顶点. .【自主解答自主解答】(1)(1)在在x x轴上的线段长度不变，故轴上的线段长度不变，故AAAA1 1=8cm=8cm，在，在y y轴上的线段变成原来的一半，故轴上的线段变成原来的一半，故AD=4cm.AD=4cm.答案：答案：4 48 8(2)()(2)()先画出边长为先画出边长为3cm3cm的正六边形的水平放置的直观图，如的正六边形的水平放置的直观图，如图图所示所示. .()()过正六边形的中点过正六边形的
20、中点OO建立建立zz轴，在轴，在zz轴上截取轴上截取OV=3cmOV=3cm，画出正六棱锥的顶点，画出正六棱锥的顶点VV，如图，如图所示所示. .()()连接连接VAVA，VBVB，VCVC，VDVD，VEVE，VFVF，如图，如图所示所示. .()()擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图观图，如图所示所示. .【延伸探究延伸探究】把把题(2)(2)中的中的“正六棱正六棱锥”改改为“正四棱正四棱锥”请画出画出它的直它的直观图. .【解题指南解题指南】解答本题可先利用几何体的对称性建系，再利用解答本题可先利用几何体的对称性
21、建系，再利用斜二测画法画出直观图斜二测画法画出直观图. .【解析解析】画法：画法：()()画轴画轴. .画画x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，轴，xOy=45xOy=45，xOz=90xOz=90，如图，如图. .()()画底面画底面. .以以O O为中心在为中心在xOyxOy平面内，画出边平面内，画出边长为长为3cm3cm的正方形直观图的正方形直观图ABCD.ABCD.()()确定顶点确定顶点. .在在OzOz轴上截取轴上截取OPOP，使，使OPOP的长度是原四棱锥的高的长度是原四棱锥的高3cm.3cm.()()成图成图. .顺次连接顺次连接PAPA，PBPB，PCPC，PDPD，并擦去
22、，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得正四辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得正四棱锥的直观图棱锥的直观图. .【方法技巧方法技巧】1.1.画空间图形的直观图的三个关注点画空间图形的直观图的三个关注点(1)(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增加立体感，被挡住的部分通常用虚线表示可适当选取，为了增加立体感，被挡住的部分通常用虚线表示. .(2)(2)画法规则可简化为：画法规则可简化为：两轴夹角为两轴夹角为4545，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半
23、不变，纵折半. .(3)(3)画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点建系画轴画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点建系画轴. .2.2.画棱柱、棱锥的直观图的四个步骤画棱柱、棱锥的直观图的四个步骤(1)(1)画轴：通常以高所在直线为画轴：通常以高所在直线为z z轴建系轴建系. .(2)(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面. .(3)(3)确定顶点：利用与确定顶点：利用与z z轴平行或在轴平行或在z z轴上的线段确定有关顶点轴上的线段确定有关顶点. .(4)(4)成图：擦去辅助线，连线成图成图：擦去辅助线，连线成图. .【变式式训练】画出
24、一个正三棱台的直画出一个正三棱台的直观图( (尺寸：上、下底面尺寸：上、下底面边长分分别为1cm1cm，2cm2cm，高，高为2cm).2cm).【解题指南解题指南】先画出上、下底面先画出上、下底面( (正三角形正三角形) )的直观图，再画出的直观图，再画出整个正三棱台的直观图整个正三棱台的直观图. .【解析解析】(1)(1)画轴，以底面画轴，以底面ABCABC的中心的中心O O为原点，为原点，OCOC所在直所在直线为线为y y轴，平行于轴，平行于ABAB的直线为的直线为x x轴，使轴，使xOy=45xOy=45，以上底面，以上底面ABCABC的中心的中心OO与与O O的连线为的连线为z z轴
25、轴. .(2)(2)画出底面，在画出底面，在xOyxOy平面上画平面上画ABCABC的直观图，在的直观图，在y y轴上量取轴上量取OC= cmOC= cm，OD= cm.OD= cm.过过D D作作ABxABx轴，轴，AB=2cmAB=2cm，且以，且以D D为中点，连接为中点，连接ACAC，BCBC，则，则ABCABC为下底面三角形的直观图为下底面三角形的直观图. .(3)(3)画上底面，在画上底面，在z z轴上截取轴上截取OO=OO=2cm2cm，过，过OO作作xx轴轴x x轴，轴，yy轴轴y y轴，轴，在在yy轴上量取轴上量取OC= cmOC= cm，OD= cmOD= cm，过，过DD
26、作作ABxABx轴，轴，AB=1cmAB=1cm，且以，且以DD为中点，为中点，则则ABCABC为上底面三角形的直观图为上底面三角形的直观图. .(4)(4)连线成图，连接连线成图，连接AAAA，BBBB，CCCC，并擦去辅助线，则三，并擦去辅助线，则三棱台棱台ABCABC- -ABCABC即为所要画的三棱台的直观图即为所要画的三棱台的直观图. .【补偿训练】用斜二用斜二测画法画棱画法画棱长为2cm2cm的正方体的正方体ABCDABCD-ABCDABCD的直的直观图. .【解析解析】画法：画法：(1)(1)画轴画轴. .如图如图，画，画x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，三轴相交于点轴，三轴
27、相交于点O O，使，使xOy=45xOy=45，xOz=90xOz=90. .(2)(2)画底面，以点画底面，以点O O为中点，在为中点，在x x轴上取线段轴上取线段MNMN，使，使MN=2cmMN=2cm；在；在y y轴上取线段轴上取线段PQPQ，使，使PQ=1cm.PQ=1cm.分别过点分别过点M M和和N N作作y y轴的平行线，过点轴的平行线，过点P P和和Q Q作作x x轴的平行线，设它们的交点分别为轴的平行线，设它们的交点分别为A A，B B，C C，D D，四边，四边形形ABCDABCD就是正方体的底面就是正方体的底面ABCD.ABCD.(3)(3)画侧棱画侧棱. .过过A A，
28、B B，C C，D D各点分别作各点分别作z z轴的平行线，并在这些轴的平行线，并在这些平行线上分别截取平行线上分别截取2cm2cm长的线段长的线段AAAA，BBBB，CCCC，DD.DD.(4)(4)成图成图. .顺次连接顺次连接AA，BB，CC，DD，并加以整理，并加以整理( (去掉辅去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线助线，将被遮挡的部分改为虚线) )，就得到正方体的直观图，就得到正方体的直观图( (如如图图).).【易错误区易错误区】混淆平面混淆平面图形与直形与直观图的度量关系致的度量关系致误【典例典例】(2014(2014南昌高一南昌高一检测) )一梯形的直一梯形的直观图是一个如是一个
29、如图所所示的等腰梯形，且梯形示的等腰梯形，且梯形OABCOABC的面的面积为2 2 ，则原梯形原梯形的面的面积为_._.【解析解析】如图如图. .由斜二测画法原理知，直观图与原图中梯形由斜二测画法原理知，直观图与原图中梯形的上底与下底的长度是相同的，原梯形的高的上底与下底的长度是相同的，原梯形的高OCOC是直观图中是直观图中OCOC的的2 2倍，倍，OCOC是直观图是直观图OABCOABC的高的的高的 倍，倍，由此由此OCOC为直观图高的为直观图高的2 2 倍倍. .由梯形的面积公式及由梯形的面积公式及S SOABCOABC=2 =2 知知S SOABCOABC=2 =2 2 =8.2 =8.
30、答案：答案：8 8【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析 在阴影处认为平面图形的高为直观图高的在阴影处认为平面图形的高为直观图高的2 2倍而倍而得原梯形的面积为得原梯形的面积为4 4 【防范措施防范措施】严格利用规则严格利用规则若要找出直观图与原图的关系要严格按照画图规则画图，若要找出直观图与原图的关系要严格按照画图规则画图，利用数形结合找关系，如本例中，利用数形结合找关系，如本例中，AOCAOC到到AOCAOC的角度的角度变化，以及变化，以及OCOC到到OCOC的长度变化的长度变化. .【类题试解解】用斜二用斜二测画法画水平放置的画法画水平放置的边长为4 4的正方形的的正方形的直直观图，则所得直所得直观图的面的面积为_._.【解析解析】该正方形的直观图是平行四边形，其一条边长为该正方形的直观图是平行四边形，其一条边长为4 4，另一条边长为另一条边长为2 2，较小的一组对角为，较小的一组对角为4545，故直观图的面积为，故直观图的面积为4 42 2sin45sin45=4 .=4 .答案：答案：4 4
