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1、学习必备欢迎下载等差数列知识梳理1. 定义:daann1(d为常数)(2n) ;2等差数列通项公式:*11(1)()naanddnad nN,首项 :1a,公差 :d ,末项 :na推广:dmnaamn)(从而mnaadmn;3等差中项( 1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项即:2baA或baA2( 2)等差中项:数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式:1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn(其中 A、B 是常数)(当 d0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为0)5等差数列的判定
2、方法( 1)定义法:若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列( 2)等差中项:数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa( 3)数列na是等差数列bknan(其中bk,是常数)。( 4)数列na是等差数列2nSAnBn, (其中 A、B是常数)。6等差数列的证明方法定义法:若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列7. 提醒 : (1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5 个元素:1a、d、n、na及nS,其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知3求 2。( 2)通常把题中条件转化成只
3、含1a和d的等式!8. 等差数列的性质:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载(1)若公差0d,则为递增等差数列,若公差0d,则为递减等差数列,若公差0d,则为常数列。(2)当m npq时, 则有qpnmaaaa,特别地, 当2mnp时,则有2mnpaaa. (3) 若na 是等差数列,则232,nnnnnSSS SS,也成等差数列(公差为md )图示:mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321(4)若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB,且( )nnAf nB,则2
4、121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. (5)若na、nb为等差数列,则nnab为等差数列(6) 求nS的最值法一:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,nS取最大值(或最小值) 。若S p = S q则其对称轴为2pqn法二:“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和即当,001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当,001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项( 7)设数
5、列na是等差数列,奇S是奇数项的和,偶S是偶数项的和,nS是前 n 项的和,则:1. 当项数为偶数n2时,奇偶SSdn,其中 n 为总项数的一半,d 为公差;2、在等差数列na中,若共有奇数项12n项,则121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶奇偶偶注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:基本量法:即运用条件转化为关于1a和( )d q的方程;巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量等差数列练习题一、选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8
6、页学习必备欢迎下载1. 已知为等差数列,135246105,99aaaaaa,则20a等于()A. -1 B. 1 C. 3 D.7 2. 设nS是等差数列na的前 n 项和,已知23a,611a,则7S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 3. 等差数列na的前 n 项和为nS,且3S =6 ,1a=4, 则公差 d 等于A 1 B 53 C.- 2 D 3 4. 已知na为等差数列,且7a24a 1, 3a0, 则公差 dA. 2 B.12 C.12 D.2 5. 若等差数列na的前 5 项和525S,且23a,则7a( ) A.12 B.13 C.14 D.15 6. 在等差数
7、列na中,284aa, 则 其前 9 项的和 S9等于()A18 B 27 C 36 D 9 7. 已知na是等差数列,124aa,7828aa,则该数列前10 项和10S等于()A64 B100 C 110 D120 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载8. 记等差数列na的前n项和为nS,若112a,420S,则6S()A16 B 24 C36 D48 9. 等差数列na的前n项和为xS若则432,3, 1Saa()A12 B10 C8 D6 10. 设等差数列na的前n项和为nS,若39S,636
8、S,则789aaa()A63 B45 C36 D27 11. 已知等差数列na中,12497, 1,16aaaa则的值是()A15 B 30 C31 D64 12等差数列 an的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前3m 项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 二、填空题13 已 知na是 等 差 数 列 , 且,13,77,57146541074kaaaaaaaa若则k= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载14. 已知等差数列na的前n项和为nS,若1221S
9、,则25811aaaa15. 设等差数列na的前n项和为nS,若972S, 则249aaa= 16. 设等差数列na的前n项和为nS,若535aa则95SS17. 等差数列na的前n项和为nS,且53655,SS则4a18. 已知等差数列na的公差是正整数,且a4,126473aaa,则前 10 项的和 S10= 19. 设 na 与 nb 是两个等差数列,它们的前n项和分别为nS和nT,若3413nnTSnn,那么nnba_;20nS是等差数列na的前n 项和,542,30naa(n5,*nN),nS=336,则n 的值是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
10、 - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载三、解答题21. 在等差数列na中,40.8a,112.2a,求515280aaa. 22. 设等差数列na的前n项和为nS,已知312a,12S0,13S0,求公差d的取值范围;1212,S SS中哪一个值最大?并说明理由. 23. 己知na为等差数列,122,3aa,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12 项是新数列的第几项?( 2)新数列的第29 项是原数列的第几项?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8
11、 页学习必备欢迎下载24. 设等差数列na的前项的和为S n ,且 S 4 =62, S 6 =75,求:(1)na的通项公式a n及前项的和S n;(2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ +|a 14 |. 25. 已知等差数列 na 中,,0,166473aaaa求na前 n 项和ns.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载26数列na是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。(1)求数列公差; (2)求前n项和ns的最大值;(3)当0ns时,求n的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页