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1、学习必备欢迎下载等差数列知识梳理1. 定义：daann1（d为常数）（2n） ；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN，首项 :1a，公差 :d ，末项 :na推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（ 1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（ 2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、B 是常数）（当 d0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定
2、方法（ 1）定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（ 2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa（ 3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（ 4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列7. 提醒 ： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3求 2。（ 2）通常把题中条件转化成只
3、含1a和d的等式！8. 等差数列的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载（1）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（2）当m npq时, 则有qpnmaaaa，特别地， 当2mnp时，则有2mnpaaa. (3) 若na 是等差数列，则232,nnnnnSSS SS，也成等差数列（公差为md ）图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321（4）若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB，且( )nnAf nB，则2
4、121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. （5）若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列(6) 求nS的最值法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值） 。若S p = S q则其对称轴为2pqn法二：“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项（ 7）设数
5、列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项的和，nS是前 n 项的和，则：1. 当项数为偶数n2时，奇偶SSdn，其中 n 为总项数的一半，d 为公差；2、在等差数列na中，若共有奇数项12n项，则121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶奇偶偶注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于1a和( )d q的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量等差数列练习题一、选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8
6、页学习必备欢迎下载1. 已知为等差数列，135246105,99aaaaaa，则20a等于（）A. -1 B. 1 C. 3 D.7 2. 设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 3. 等差数列na的前 n 项和为nS，且3S =6 ，1a=4， 则公差 d 等于A 1 B 53 C.- 2 D 3 4. 已知na为等差数列，且7a24a 1, 3a0, 则公差 dA. 2 B.12 C.12 D.2 5. 若等差数列na的前 5 项和525S，且23a，则7a( ) A.12 B.13 C.14 D.15 6. 在等差数
7、列na中，284aa, 则 其前 9 项的和 S9等于（）A18 B 27 C 36 D 9 7. 已知na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10 项和10S等于（）A64 B100 C 110 D120 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载8. 记等差数列na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（）A16 B 24 C36 D48 9. 等差数列na的前n项和为xS若则432,3, 1Saa（）A12 B10 C8 D6 10. 设等差数列na的前n项和为nS，若39S，636
8、S，则789aaa（）A63 B45 C36 D27 11. 已知等差数列na中，12497, 1,16aaaa则的值是（）A15 B 30 C31 D64 12等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 二、填空题13 已 知na是 等 差 数 列 ， 且,13,77,57146541074kaaaaaaaa若则k= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载14. 已知等差数列na的前n项和为nS，若1221S
9、，则25811aaaa15. 设等差数列na的前n项和为nS，若972S, 则249aaa= 16. 设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS17. 等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a18. 已知等差数列na的公差是正整数，且a4,126473aaa，则前 10 项的和 S10= 19. 设 na 与 nb 是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba_；20nS是等差数列na的前n 项和，542,30naa(n5，*nN)，nS=336，则n 的值是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
10、 - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载三、解答题21. 在等差数列na中，40.8a，112.2a，求515280aaa. 22. 设等差数列na的前n项和为nS，已知312a，12S0，13S0，求公差d的取值范围；1212,S SS中哪一个值最大？并说明理由. 23. 己知na为等差数列，122,3aa，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12 项是新数列的第几项？（ 2）新数列的第29 项是原数列的第几项？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8
11、 页学习必备欢迎下载24. 设等差数列na的前项的和为S n ,且 S 4 =62, S 6 =75,求：（1）na的通项公式a n及前项的和S n；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ +|a 14 |. 25. 已知等差数列 na 中，,0,166473aaaa求na前 n 项和ns.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载26数列na是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。（1）求数列公差； （2）求前n项和ns的最大值；（3）当0ns时，求n的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
