《2022年经典线性代数问题-无答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年经典线性代数问题-无答案(17页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀资料欢迎下载!第一章多项式1.(P16)证明:当65nm时,多项式22xxyy整除多项式()nnnxyxy;当61nm时,多项式222()xxyy整除多项式()nnnxyxy.这里m是使0n的整数,而, x y是实数 . 2. (P16)求最低次数的多项式( )u x与( )v x,使得( 1)43234(2461) ( )(53) ( )xxxxu xxxv xx;( 2)434323(21) ( )(221) ( )2xxxu xxxxxv xxx3. (P16)求次数最低的多项式( )f x,使得( )f x被多项式43222107xxxx除时余式为21xx,被多项式43223131
2、0xxxx除时余式为223x. 4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积:( 1)21422222.( 1)nnnnnnnnxCxCxC;( 2)2222242422222(1)(1).(1)nnnnnnxCxxCxxx;( 3)2122124232222121(1)(1).(1)nnnnnnxCxxCxxx x. 5. (P22)证明:复系数多项式( )f x对所有的实数x恒取正值的充分必要条件是,存在复系数多项式( )x,( )x没有实数根,使得2( )|( ) |f xx. 6. (P22)证明:实系数多项式( )f x对所有实数x恒取非负实数值的充分必要条件是,存在实系数多项
3、式( )x和( )x,使得22( )( )( )f xxx. 7.(P26) 设1011( ).nnnnf xa xa xaxa是 整 系 数 多 项 式 , 且 素 数p满 足 :01|,|,.,|,|,1,2,.,kipapapap a ikkn, 而2|npa, 证明:( )f x具有次数nk的整系数不可约因式. 8. (P26)设21101221( ).nnnnnnnf xa xa xaxaxa是整系数多项式, 且素数p满足:20|,|,1,2,., ,|,1,2,., 21iipap a in pa innn,但321|npa.证明:( )f x在上不可约 . 精选学习资料 - -
4、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!9. (P26)设12,.,na aa是n个不同的整数.证明:多项式22212( )() () .()1nf xxaxaxa在上不可约 . 第二章行列式10.(P54)计算下列行列式:(1)0000abcadebdfcef(2)abcddabccdabdcba11. (P54) 设12(,.,)kf 是nF上k元 函 数 . 如 果 对 任 意 整 数, ,1,i ji jn, 均 有11(,.,.,.,)(,.,.,.,)ijkjikff,则12(,.,)kf 称 为对 称的 .数域
5、nF上 规范 对称n重 线 性函 数称 为n阶 积和 式(Permanent),记为12(,.,)nPer .记12(,.,),1,2,.,iiiinaaain,并记n阶方阵A为111212122212.nnnnnnaaaaaaaaaA则n阶积和式12(,.,)nPer 也记为PerA.证明:12121212.nniininiiiPera aaA. 12. (P66)给定n阶方阵()ijaA.证明:2 11 12 21 2213 11 13 21 2311,111212111.1.nnnniji j nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaA,其中ijA是行列式detA中元素ija的代
6、数余子式,1, i jn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!13. (P84)计算下列n阶行列式:( 1)1112121222121.1. 1nnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax; (2)111111111111.kkknmmmkkknmmmkkk nm nm nm nCCCCCCCCC;( 3)1112221211211211.1.1.nnnnmmmnmmmnmmmCCCCCCCCC; (4)111222212222221221111100.0110.01.0.1.1.nnnnnn
7、nnnnCxCCxCCCxCCCx;( 5)111212122212111.111.111.nnnnnnababababababababab; (6)1112221coscos2.cos(1)1coscos2.cos(1).1coscos2.cos(1)nnnnnn;( 7)111222sinsin(1).sinsinsin(1).sin.sinsin(1).sinnnnnnnnnn; ( 8)21112222211. 111. 1.11. 1nnnnnnxxxxxxxxx;( 9)122(1)4122212xnxnxnxnnxn;( 10)计算2n阶行列式1 11 211 11 ,112 2
8、22 12 ,1111 11 , 21 ,1 , 11 ,1121,1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnaaabbbaabbabcdccddcccddd,其余未写出的元素都是零. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!14.(P86)设12,.,na aa是正整数 .证明:行列式2111121222211.1.1.nnnnnnaaaaaaaaa能被12212.(2) (1)nnnn整除 . 15.(P86)(Burnside) 设n阶方阵()ijaA满足,1,ijjiaai jn,则
9、方阵A称为斜对称方阵.把ija看成未定元,证明:奇阶斜对称方阵的行列式恒为零,而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方. 16.(P86)(Minkowski)设n阶方阵()ijaA的元素都是实的,并且10,0,0niiijijiaaija.证明:111212122212.0.nnnnnnaaaaaaaaa17.(P86)(Levy-Desplanques)设n阶 方 阵()ijaA的 元 素都 是 复数 , 并且1|,1,2,.,niiijjjiaain,则方阵A称为主角占优矩阵.证明:主角占优矩阵的行列式不为零 . 18.(P87)把n阶行列式111212122212.nnnnnnaaaaa
10、aaaa展成的多项式, 并用行列式detA的子式表示它的关于的各次幂的系数, 其中()ijaA. 提示:121211.12.det()( 1).knknkn kkiiinkiiiiii(n)IAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!第三章矩阵19.(P104)计算下列行列式:( 1)0121123111221221.1.nnnnnnnnnnnnssssssssxssssxssssx,其中幂等和12.,1,2,.kkkknsxxxk( 2)1231211122341.nnnnnnaaaaaaaaaaa
11、aaaaa20.(P106)当1122,.,kkjijiji时,矩阵A的子式1212.kkiiijjjA称为矩阵A的一个k阶主子式,121.kiiin.设m nA.证明:矩阵TAA的每一个主子式都是非负实数 . 21.(P106)设()m nAB,C,其中B是矩阵A的前k列构成的子矩阵.证明:2| det|det()det()TTAB BC C. 22.(P113)系数都是整数的矩阵称为整系数矩阵.行列式等于1的整系数矩阵称为幺模矩阵.证明:整系数矩阵A的逆矩阵仍是整系数矩阵的充分必要条件是A为幺模矩阵 . 23.(P113)设ijA是n阶方阵()ijaA的行列式detA的元素ija的代数余子
12、式 .证明:12.(1)(1).(1)(1).(1)d et12.(1)(1).(1)(1).i kj kijkli lj liijjnkkllnAAAAA其中1,1ijnkln. 24.(P114)设22nnA,且( )( )( )()nnTnn0I0IAAI0I0.证明:det1A. 25.(P123)设m nA.证明:TTrankrankrankAAA AA. 26.(P124)设,n nrankrAFA,从矩阵A中任意取出s个行构成sn矩阵B. 证明:rankrsnB. 27.(P124)设,m nrankrAFA,从矩阵A中任意取出s个行,t个列上的交叉元素构成精选学习资料 - -
13、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!的s t矩阵记为B.证明:rankrstmnB. 28.(P134)设A和B都是n阶方阵,ABBA0,并且2rankrankAA.证明:()rankrankrankABAB. 29. (P134)设A和B都是n阶方阵,ABBA0.证明:存在正整数k,使得()kkkkrankrankrankABAB. 30. (P134)设,m nn mAFBF. 证 明 :rankrankABA的 充 分 必 要 条 件 是 , 存 在m nCF, 使得AABC.由此证明: 如果rankrankABA
14、且方阵AB幂等,则方阵BA也幂等 . 31.(P134)证明:存在n阶可逆的整系数矩阵P,使得它的第一行为整数12,.,na aa的充分必要条件是,整数12,.,na aa互素 . 32.(P151)证明:存在m k矩阵A和ln矩阵B的广义逆A和B,使得()() ()() mnrankrankrankrankACABIAAC IB B0B. 第四章线性空间33.(P164)设t个n行向量12(,.,),1,2,.,iiiinitn满足12|,1,2,.,niiikkit. 证明:向量12,.,t 线性无关 . 34.(P186)设1212,.,.,kkP PPQQQ都是n阶方阵,并且,1,ij
15、jiiijrankranki jkPQQ PPPQ. 证明:121212.kkkrankrankP PPP PP Q QQ. 第五章线性变换35.(P205)设:n nFFA是线性映射,并且对任意,()()n nFA BABBAAA. 证明:trA,其中F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!36.(P219)设:VVA是数域上n维线性空间V到自身的线性映射,且2()()AA. 证明:Im()() Ker0AA. 37.(P219) 设W是数域F上n维线性空间V到自身的所有线性映射构成的线性空间,
16、WA,且()kA.定义线性映射:WWAT如下:设WX,令()ATXAX.求()AT与()AT. 38.(P219)设,m nA BF.证明:()rankrankrankABAB的充分必要条件是,存在数域F上m阶与n阶可逆方阵P与Q使得( )( ),rs00I0PAQPBQ0I00。其中,rranksrankAB,且min, rsm n. 39.(P223)设:VVA是线性变换,且k是正整数 .证明:2Im()Im()kkAA的充分必要条件是Im()()kkVKerAA. 40.(P224)设n nAF满足2A0.证明:方阵A相似于()rn r0A00. 41.(P224)证明:秩为r的幂等方阵
17、A(即2AA)相似于( )rI000. 42.(P229)设:VVA是线性变换,V0,V中向量2,( ),( ),.,( ),.kAAA生成的子空间U是A的不变子空间, 且dimUr,证明:1 ,( ),.,( )rAA是U的基 . 43.(P239)设A与B为n阶复方阵 .则关于未知方程AXXB只有零解的充分必要条件是,方阵A与B没有公共特征值. 44.(P239) 设A与B为n阶方阵 .定义映射:n nn nFFA,BP如下:设n nFX,则令()A,BXAXXBP.显然A,BP是n nF道自身的线性变换.证明线性变换A,BP可逆的充分必要条件是方阵A与B没有公共特征值. 45.(P240
18、)设n阶方阵A为111212122212(1).(1).(1)nnnnnnaaa aa aa aaaa aa aa aaaA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!当12,.,na aa满足什么条件时方阵A可逆,并当A可逆时,求逆方阵1A. 46.(P247)由于方阵A的()tr A是方阵在相似下的不变量,因此定义线性变换:VVA在V的某组基下的方阵A的()tr A为线性变换A的()trA.证明:如果n复线性空间V的线性变换A满足()0trA,则存在V的一组基, 使得线性变换A在这组基下的方阵的主对
19、角元都是零 . 47.(P248)设 3 阶实方阵A在实数域上不相似于上三角方阵,即不存在3 阶可逆实方阵P,使得1P AP是上三角方阵 .证明:方阵A在复数域上相似于对角方阵. 48.(P248)取定 n 阶复方阵n nA, 定义线性变换1:n nn nA与2:n nn nA如下:1(),n nXAX XA2(),.n nXAXXA XA如果方阵A可以对角化,问线性变换1A和2A是否也可以对角化?49.(P248)设 n 维复线性空间A与B可交换 .证明:线性变换A与B具有公共特征向量.进而证明: 设I是下标集合,V的线性变换集合:vvIA中任意两个线性变换1vA与2vA可交换,则线性变换,
20、vvIA具有公共特征向量. 50.(P248)设 n 阶复方阵A与B可交换 .证明:存在 n 阶可逆方阵P, 使得1P AP与1P BP都是上三角方阵,即方阵A与B可以同时相似于上三角.试推广到任意多个两两可交换的方阵的情形 . 51.(P254)证明:酉方阵U的任意一个子方阵1U的特征值的模不大于1. 52.(P254)设A与B是 n 阶实正交方阵,且detdetAB.证明:det()0AB. 53.(P254)设A是 n 阶实方阵,且方阵1()2TBAA的最大与最小特征值分别为1nuu与.证明:方阵A的特征值0的实部0Re满足01Renuu. 54.(P254)设()ijaA是 n 阶复方
21、阵,且11|)0miniiijinjnjimaaA. 证明:| det| ()nmAA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!第六章Jordan 标准形55.(P259)设A与B是 3 阶复方阵,且它们具有相同的特征多项式和最小多项式,则A与B相似 . 56.(P259)(Fitting) 设A是数域F上的 n 维线性空间V的线性变换 .证明:存在线性变换A的不变子空间1V和2V,使得12VVV,并且线性变换A在1V上的限制1VA是可逆的,而在2V上的限制2VA是幂零的 . 57.(P269)证明
22、:如果数域 F上 n 维线性空间V的线性变换A的二次幂2A为循环变换, 则A本身也是循环变换.反之是否成立?58.(P269)设数域 F 上 n 维线性空间V的线性变换A可对角化 .证明:(1)如果A是循环变换,则A的 n 个特征值两两不同;(2)如果A的 n 个特征值两两不同,且12,.,n 是A的完全特征向量组,则12.n是循环向量 . 59.(P269)设A和B是数域F 上 n 维线性空间V的可交换的线性变换,且A为循环变换 .证明:存在多项式( )fF,使得()fB =A. 60.(P269)设A是数域 F 上 n 维线性空间V的线性变换,而且V的任意一个与A可交换的线性变换B都可以表
23、示成A的多项式 .证明:A是循环变换 . 61.(P276)求 Jordan 标准形的一种方法:设A是 n 阶复方阵,12,.,t是方阵A的所有不同的特征值.证明:(1) 存在正整数m,使得12mmmrankrankrankAAA;(2)设jm是使12()()().jjjmmmjjjrankrankrankAIAIAI的最小正整数.则方阵A的最小多项式( )d为1212( )()().()tmmmtd;(3)设()lj是方阵A的属于j的初等因子,则jlm;(4)设方阵A的初等因子组为11112122121212111222(),(),.,()(),(),.,()(),(),.,()kktktt
24、tmmmmmmmmmttt . .其中属于特征值j且次数为l的初等因子()lj的个数记为jln,并约定, 当()lj不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!是方阵A的初等因子时,0jln.则11()()2()llljljjjnrankrankrankAIAIAI,其中1,1,2,.,jlmjt. 求 Jordan 标准形采用如下步骤:1)求出放阵A的特征多项式( )det()IA,并求出方阵A的全部不同的特征值12,.,t;2)对每个特征值j,由11()()().jjjmmmjjjrankrankra
25、nkAIAIAI求出jm;3)对每个,1jllm,计算11()()2()llljljjjnrankrankrankAIAIAI,由此确定()lj是否是方阵A的初等因子, 以及初等因子()lj在方阵A的初等因子组中出现的次数;4)根据 3)中所确定的方阵A的初等因子组,写出方阵A的 Jordan 标准形 . 62.(P287)证明: 任意一个满秩方阵( )A都可以表示为( )( )( )APQ,其中( )P是可逆方阵,( )Q是上三角方阵,而且它的对角元都是首一多项式,对角线以上的元素都是次数小于同一列的对角元的次数的多项式.并证明这种表法唯一. 63.(P296)证明:一组两两可交换的可对角化
26、方阵可以用同一个可逆方阵相似于对角形. 64.(P304)设12,.,ni ii是自然数1,2,., n的一个排列 .把 n 阶单位矩阵( )nI的第1,2,., n行分别调到12,.,ni ii行得到的方阵称为置换方阵.证明:置换方阵相似于对角形. 65.(P305)证明:所有n 阶轮回方阵1231211122341.nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa可以经过一个可逆方阵P化为对角形 . 66.(P305)设方阵C和每一个与方阵A可交换的方阵都可交换.证明:方阵C可以表为方阵A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共
27、 17 页优秀资料欢迎下载!的多项式 . 第七章Euclid 空间67.(P328) 设12,.,n 是n 维Euclid空 间V的 一 组 基 .对12,.,n 施 行Gram-Schmidt 正交化得到的正交向量组记为12,.,n .证明:122121det(,.,)|,1,2,.,det(,.,)jjjjnG G ,其中约定零个向量的Gram 方阵的行列式为1. 68.(P328) 设12,.,n 是 n 维 Euclid 空间 V 的一组向量 .证明:2221212d e t(, .,)| | | | |.| | |nnG ,等号当且仅当12,.,n 两两正交或其中含有零向量时成立.由
28、此证明: 如果()ijaA是 n阶实方阵,则2211(det)nnijjiaA. 69.(P328)设O是 n 阶正交方阵 .而方阵12(,.,)ndiag a aaA.证明:方阵OA的特征值0满足0|mM,其中min|:1,max|:1jjmajnMajn. 70.(P328)证明:正交方阵O的任意一个子方阵的特征值的绝对值小于或等于1. 71.(P328)证明:如果n 阶方阵O的行列式为1,则方阵O可以表示为有限多个形如( )(cos1)()sin()jknjjiijkkjOIEEEE的方阵的乘积,其中stE是( , )s t位置上的元素为1,而其他元素都为零的n 阶方阵,并且1jkn.如
29、果 n 阶正交方阵O的行列式为1,则还应添加上方阵1(1,.,1, 1)ndiag个. 72.(P336)设A是 n 维 Euclid 空间 V 的线性变换 .证明:A的伴随变换*A的像空间*()VA是A的核kerA的正交补 . 73.(P336)设4 xR是所有次数小于4 的实系数多项式集合连同内积10( ),( )( )( )f xg xf xg x dx构成的Euclid空间,其中4( ),( ) f xg xxR.设D是4 xR的微商变换 .求D的伴随变换*D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页优秀资料
30、欢迎下载!74.(P342)证明:一组两两可交换的规范方阵可以同时正交相似于准对角形.即设I是下标集合,规范方阵集合:vvIA满足:对任意,vuuvu vI A AA A,则存在正交方正O,使得TvO A O为准对角形112111,.,.,vvvvvvsssnvvvvssababdiagbaba,其中12,.,vvvn是vA的全部特征值,其中2121121,1,., ,.,.,.,vvvvvvvvvvvvjjjjjjsssnaibaibjs aabb是实数,1,.,0,vvsbbvI. 75.(P342)证明: n 阶实方阵A为规范的充分必要条件是,存在实系数多项式( )f,使得()TfAA.
31、 76.(P353)设A与B是n 维Euclid空间V 的线性变换,A与AB都是自伴的,且kerkerAB.证明:存在V 的自伴变换C,使得CAB. 77.(P354)(Fischer) 设12,.,n是n 维Euclid空 间V的 自 伴 变 换A的 特 征 值 ,12.n.设kV是A的不变子空间.证明:对1,2,.,kn,1max( ) :minknkkVRV. 78.(P354)设12()().()nAAA是 n 阶实对称方阵A的所有特征值.证明:11:1()()(),(),1,2,.,supinf()()TTkknkTTk nk nkknXXXAXXAXAAXXXX. 79.(P365
32、)设0,0AB.证明:AB的所有特征值都是正的. 80.(P365)设0S.证明:存在可逆三角方阵P,使得TSP P. 81.(P365)设1S与2S是 n 阶对称方阵,10S,且12det()0iSS,其中21i.证明:存在非零实的行向量nx,使得12()0xiSS. 82.(P366)设 n 阶实方阵A的极分解唯一.证明:方阵A可逆 . 83.(P366)设12()().()rAAA是 n 阶实对称方阵A的所有奇异值.证明:11:1()()(),(),1,2,.,supinf()()kknkk nk nkkrXXXAXAAAXX. 84.(P369)设12(),(),.,()nAAAn 阶
33、实对称方阵()ijaA的特征值 .证明: Schur 不等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!式:2211,(Re()2nijjijji jnaaA;2211,(Im()2nijjijji jnaaA. 85.(P375)设 n 阶实方阵A的顺序主子式都不为零.证明:存在对角元全为1 的 n 阶下三角方阵P和Q,使得12(,.,)ndiag d ddAPQ,其中12.12.,1,2,.,12.(1)12.(1)kkkdknkkAA,并约定010A. 86.(P376)设 n 阶对称方阵0A.证明:
34、在 n 维实的行向量集合n连同标准内积构成Euclid空间,有不等式1Tx xA所定义的区域是有界的,并且它的体积V 为122121.(det)(1)2TnnxxVdx dxdxnAA,其中12(,.,)nnxxxx. 87.(P376)设0AB.证明:AB. 88.(P376)设A是对称矩阵,记211|,(|),(|)22AAAAAAAA.证明:(1)|A是满足|,|AAAA且与A可交换的最小方阵,这里所谓“最小”是指,如果对称方阵B满足,ABAB且与A可交换,则|AB;(2)A是满足AA且与A可交换的最小的半正定对称方阵;(3)A是满足AA且与A可交换的最小的半正定对称方阵;(4)设A与B
35、是可交换的对称方阵,则存在满足,AC BC,且与A和B都可交换的最小对称方阵 . 89.(P376)证明:两个n 阶半正定对称方阵1S与2S可以同时相合于对角形,即存在n 阶可逆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!矩阵P,使得1TP S P与2TP S P都是对角方阵.(提示:方阵12SS是半正定的 .) 90.(P376) 正 定 对 称 方 阵 的 概 念 可 以 推 广 ( 见Johnson C R. Positive definite matrices. Amer.Math.Monthly
36、,1970,77:259-264) :设A是 n 阶实方阵 (不必是对称的).如果对任意非零行向量,0nTxx xA?,则方阵A称为正定的 .记ASK,其中11(),()22TTSAAKAA,它们分别是A的对称部分和斜对称部分.证明:(1) 方阵A正定的充分必要条件是,它的对称部分S是正定的;(2) 设( )det()fASK.则当A正定时,( )fA的非零根是纯虚数;(3) 设A正定,并且( )fA的所有非零的根为1212,.,.0ssiaiaiaaaa,则A相合于如下的准对角方阵:11211,.,1,.,111ssnsaadiagaa,并且( )fA的根是正定方阵在相合下的全系不变量. 9
37、1.(P377) 设u是实数,C是n 阶实方阵,且( )nuiAIC是n 阶复正交方阵,即( )TTnAAIA A,其中21i.证明方阵C是斜对称的,并且(1)当ranknC时,( )nAI;(2)当ranknC时,存在n 阶实正交方阵O,使得2222211.11TnuiuuiudiagiuuiuuO AO144444444444444444444442 44444444444444444444443,. 92.(P377)设iABC是 n 阶复正交方阵,其中B与C是 n 阶实方阵 .证明:存在n 阶实正交方阵1O与2O,使得22111222211111,.,1,.,11ttntttuiuui
38、udiagiuuiuuO AO,其中122 ,.,trankt u uuC是方阵B的所有大于1 的奇异值,且1 是方阵B的2nt重奇异值 . 93.(P377)设复方阵1A与2A适合2112AO A O,其中1O与2O是实正交方阵,则称复方阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!1A与2A正交相抵 .证明:复正交方阵的实部的奇异值是复正交方阵正交相抵下的全系不变量. 94.(P377) 设12,.,n是n阶 半 正 定 对 称 方 阵()ijaA的 所 有 特 征 值12.0n.并且设方阵A的每个列
39、和都是零.证明:1()min:11nijnajnn. (提示:对称方阵1()1()0nnnAIJ,其中J是每个元素都是为1 的 n 阶方阵 .) 95.(P377) 设A是 n 阶正定对称方阵,nx?.证明:2( ,)1 2.(det)nxxnedxAJA,其中( ,)Txxx xAA. 96.(P377)设A与B是 n 阶实对称方阵,且方阵A是正定的 .证明:2( ,() )1 2.(det()nxixedxiABAB,其中21i,且( ,() )TTxixxxixxABAB. 97.(P377)设12(),(),.,()nAAA是n阶对称方阵A的特征值,12()().()nAAA.证明:
40、(1)设A与B是 n 阶对称方阵, 实数a满足01a,则111(1)()(1)()aaaaABAB,(1) )()(1)()nnnaaaaABAB;(2)当B半正定时,11()(),()()nnABAABA. 第八章酉空间98.(P395)证明:n 维酉空间V 的线性变换A为规范的充分必要条件是,A的每个不变子空间也是它的伴随变换*A的不变自空间. 99.(P395)证明:n 维酉空间V 的线性变换A为规范的充分必要条件是,A的每个不变子空间的正交补是*A的不变子空间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页优秀资料
41、欢迎下载!100.(P395)设 n 阶规范方阵*,iABC BB CC,方阵A的任意两个特征值的实部与虚部分别不相等,且x是方阵,A B与C中某个方阵的特征向量.证明:存在复数,实数u与v,使得,xx xux xvxABC,并且uiv. 101.(P396)设 n 阶复方阵O满足*( ),TnOOIOO.则方阵O称为正交Hermite 的.证明正交 Hermite 方阵O实正交相似于如下的准对角形:11112,.,1,.,1,1,., 1sssstns taibaibdiagibaiba1 44 42 44 4 3,其中1212,.,.,ssa aab bb都是实数,且221,1,2,.,j
42、jabjs. 102.(P398)设 n 阶复方阵iABC,其中1(),()22iBAACAA,并且A是半正定 Hermite 方阵 .证明:,rankrankrankrankABCB. 103.(P398)设1和n分别是 n 阶正定 Hermite 方阵H的最大和最小特征值,是任意 n 维非零复的行向量 .证明:-11| | 1supn* H H . 104.(P399)设A与B是 n 阶 Hermite 方阵 .证明:222()()trtrABA B,并且等号当且仅当ABBA时成立 . 105.(P399) 设A与B是 n 阶 Hermite 方阵 .证明:222 ()()()trtrtr
43、ABAB,并且等号当且仅当AB时成立 . 第十章双线性函数106.(P414)设f是是数域F 上 n 维线性空间V 的双线性函数,W 是 V 的子空间,将f的定义域限定在W 上时,f非退化的 .证明:LRVWWWW107.(P435)设二次型( )TQx xS,其中方阵S的顺序子式12.0,1,2,.,12.jjnjS. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页优秀资料欢迎下载!证明:二次型( )Q 可以化为222121212.11212.( ).112.11112.1nnSnQSyyynSnSS. 108.(P435
44、) 设( , )f 是n维 实 线 性 空 间V上 双 线 性 函 数 , 并 且 对 任 意 非 零 向 量,( , )0Vf.证明:存在V 的一组基12,.,n ,使得( , )f 在这组基下的方阵是如下的准对角形:11211,.,1,.,111ssnsaadiagaa,其中12.0saaa. 109.(P436)设f是n维实的行向量集合连同标准内积构成的Euclid 空间n?上双线性函数,( ,)O n ?是Euclid空 间n?的 所 有 正 交 变 换 集 合 .如 果 对 任 意( ,)O n ?A, 均 有( ),( )( , )ffAA,则称f为在( ,)O n ?下是不变的 .求所有在( ,)O n ?下不变的双线性函数f. 110.(P436)将上题中实数域?改为复数域, 即求 n 维复的行向量空间n上所有在( ,)O n 下不变的双线性函数( , )f ,这里( ,)O n 是所有 n 阶复正交方阵的集合. 111.(P440)设 V 是数域F 上n 维线性空间,f与g是 V 上斜对称双线性函数.证明:rankfrankg的充分必要条件是,存在V 的线性变换A使得对任意,V,均有(),( )( ,)fgAA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页