2022年经典线性代数问题-无答案

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1、优秀资料欢迎下载！第一章多项式1.(P16)证明：当65nm时，多项式22xxyy整除多项式()nnnxyxy；当61nm时，多项式222()xxyy整除多项式()nnnxyxy.这里m是使0n的整数，而, x y是实数 . 2. (P16)求最低次数的多项式( )u x与( )v x，使得（ 1）43234(2461) ( )(53) ( )xxxxu xxxv xx；（ 2）434323(21) ( )(221) ( )2xxxu xxxxxv xxx3. (P16)求次数最低的多项式( )f x，使得( )f x被多项式43222107xxxx除时余式为21xx，被多项式43223131

2、0xxxx除时余式为223x. 4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积：（ 1）21422222.( 1)nnnnnnnnxCxCxC；（ 2）2222242422222(1)(1).(1)nnnnnnxCxxCxxx；（ 3）2122124232222121(1)(1).(1)nnnnnnxCxxCxxx x. 5. (P22)证明：复系数多项式( )f x对所有的实数x恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式( )x，( )x没有实数根，使得2( )|( ) |f xx. 6. (P22)证明：实系数多项式( )f x对所有实数x恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项

3、式( )x和( )x，使得22( )( )( )f xxx. 7.(P26) 设1011( ).nnnnf xa xa xaxa是整系数多项式，且素数p满足：01|,|,.,|,|,1,2,.,kipapapap a ikkn，而2|npa，证明：( )f x具有次数nk的整系数不可约因式. 8. (P26)设21101221( ).nnnnnnnf xa xa xaxaxa是整系数多项式，且素数p满足：20|,|,1,2,., ,|,1,2,., 21iipap a in pa innn，但321|npa.证明：( )f x在上不可约 . 精选学习资料 - -

4、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！9. (P26)设12,.,na aa是n个不同的整数.证明：多项式22212( )() () .()1nf xxaxaxa在上不可约 . 第二章行列式10.(P54)计算下列行列式：（1）0000abcadebdfcef（2）abcddabccdabdcba11. (P54) 设12(,.,)kf 是nF上k元函数 . 如果对任意整数, ,1,i ji jn，均有11(,.,.,.,)(,.,.,.,)ijkjikff，则12(,.,)kf 称为对称的 .数域

5、nF上规范对称n重线性函数称为n阶积和式(Permanent)，记为12(,.,)nPer .记12(,.,),1,2,.,iiiinaaain，并记n阶方阵A为111212122212.nnnnnnaaaaaaaaaA则n阶积和式12(,.,)nPer 也记为PerA.证明：12121212.nniininiiiPera aaA. 12. (P66)给定n阶方阵()ijaA.证明：2 11 12 21 2213 11 13 21 2311,111212111.1.nnnniji j nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaA，其中ijA是行列式detA中元素ija的代

6、数余子式，1, i jn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！13. (P84)计算下列n阶行列式：（ 1）1112121222121.1. 1nnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax； (2)111111111111.kkknmmmkkknmmmkkk nm nm nm nCCCCCCCCC；（ 3）1112221211211211.1.1.nnnnmmmnmmmnmmmCCCCCCCCC；（4）111222212222221221111100.0110.01.0.1.1.nnnnnn

7、nnnnCxCCxCCCxCCCx；（ 5）111212122212111.111.111.nnnnnnababababababababab；（6）1112221coscos2.cos(1)1coscos2.cos(1).1coscos2.cos(1)nnnnnn；（ 7）111222sinsin(1).sinsinsin(1).sin.sinsin(1).sinnnnnnnnnn；（ 8）21112222211. 111. 1.11. 1nnnnnnxxxxxxxxx；（ 9）122(1)4122212xnxnxnxnnxn；（ 10）计算2n阶行列式1 11 211 11 ,112 2

8、22 12 ,1111 11 , 21 ,1 , 11 ,1121,1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnaaabbbaabbabcdccddcccddd，其余未写出的元素都是零. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！14.(P86)设12,.,na aa是正整数 .证明：行列式2111121222211.1.1.nnnnnnaaaaaaaaa能被12212.(2) (1)nnnn整除 . 15.(P86)(Burnside) 设n阶方阵()ijaA满足,1,ijjiaai jn，则

9、方阵A称为斜对称方阵.把ija看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方. 16.(P86)(Minkowski)设n阶方阵()ijaA的元素都是实的，并且10,0,0niiijijiaaija.证明：111212122212.0.nnnnnnaaaaaaaaa17.(P86)(Levy-Desplanques)设n阶方阵()ijaA的元素都是复数，并且1|,1,2,.,niiijjjiaain，则方阵A称为主角占优矩阵.证明：主角占优矩阵的行列式不为零 . 18.(P87)把n阶行列式111212122212.nnnnnnaaaaa

10、aaaa展成的多项式，并用行列式detA的子式表示它的关于的各次幂的系数，其中()ijaA. 提示：121211.12.det()( 1).knknkn kkiiinkiiiiii(n)IAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！第三章矩阵19.(P104)计算下列行列式：（ 1）0121123111221221.1.nnnnnnnnnnnnssssssssxssssxssssx，其中幂等和12.,1,2,.kkkknsxxxk（ 2）1231211122341.nnnnnnaaaaaaaaaaa

11、aaaaa20.(P106)当1122,.,kkjijiji时，矩阵A的子式1212.kkiiijjjA称为矩阵A的一个k阶主子式，121.kiiin.设m nA.证明：矩阵TAA的每一个主子式都是非负实数 . 21.(P106)设()m nAB,C，其中B是矩阵A的前k列构成的子矩阵.证明：2| det|det()det()TTAB BC C. 22.(P113)系数都是整数的矩阵称为整系数矩阵.行列式等于1的整系数矩阵称为幺模矩阵.证明：整系数矩阵A的逆矩阵仍是整系数矩阵的充分必要条件是A为幺模矩阵 . 23.(P113)设ijA是n阶方阵()ijaA的行列式detA的元素ija的代数余子

12、式 .证明：12.(1)(1).(1)(1).(1)d et12.(1)(1).(1)(1).i kj kijkli lj liijjnkkllnAAAAA其中1,1ijnkln. 24.(P114)设22nnA，且( )( )( )()nnTnn0I0IAAI0I0.证明：det1A. 25.(P123)设m nA.证明：TTrankrankrankAAA AA. 26.(P124)设,n nrankrAFA，从矩阵A中任意取出s个行构成sn矩阵B. 证明：rankrsnB. 27.(P124)设,m nrankrAFA，从矩阵A中任意取出s个行，t个列上的交叉元素构成精选学习资料 - -

13、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！的s t矩阵记为B.证明：rankrstmnB. 28.(P134)设A和B都是n阶方阵，ABBA0，并且2rankrankAA.证明：()rankrankrankABAB. 29. (P134)设A和B都是n阶方阵，ABBA0.证明：存在正整数k，使得()kkkkrankrankrankABAB. 30. (P134)设,m nn mAFBF. 证明：rankrankABA的充分必要条件是，存在m nCF，使得AABC.由此证明：如果rankrankABA

14、且方阵AB幂等，则方阵BA也幂等 . 31.(P134)证明：存在n阶可逆的整系数矩阵P，使得它的第一行为整数12,.,na aa的充分必要条件是，整数12,.,na aa互素 . 32.(P151)证明：存在m k矩阵A和ln矩阵B的广义逆A和B，使得()() ()() mnrankrankrankrankACABIAAC IB B0B. 第四章线性空间33.(P164)设t个n行向量12(,.,),1,2,.,iiiinitn满足12|,1,2,.,niiikkit. 证明：向量12,.,t 线性无关 . 34.(P186)设1212,.,.,kkP PPQQQ都是n阶方阵，并且,1,ij

15、jiiijrankranki jkPQQ PPPQ. 证明：121212.kkkrankrankP PPP PP Q QQ. 第五章线性变换35.(P205)设:n nFFA是线性映射，并且对任意,()()n nFA BABBAAA. 证明：trA，其中F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！36.(P219)设:VVA是数域上n维线性空间V到自身的线性映射，且2()()AA. 证明：Im()() Ker0AA. 37.(P219) 设W是数域F上n维线性空间V到自身的所有线性映射构成的线性空间，

16、WA，且()kA.定义线性映射:WWAT如下：设WX，令()ATXAX.求()AT与()AT. 38.(P219)设,m nA BF.证明：()rankrankrankABAB的充分必要条件是，存在数域F上m阶与n阶可逆方阵P与Q使得( )( ),rs00I0PAQPBQ0I00。其中,rranksrankAB，且min, rsm n. 39.(P223)设:VVA是线性变换，且k是正整数 .证明：2Im()Im()kkAA的充分必要条件是Im()()kkVKerAA. 40.(P224)设n nAF满足2A0.证明：方阵A相似于()rn r0A00. 41.(P224)证明：秩为r的幂等方阵

17、A(即2AA)相似于( )rI000. 42.(P229)设:VVA是线性变换，V0，V中向量2,( ),( ),.,( ),.kAAA生成的子空间U是A的不变子空间，且dimUr，证明：1 ,( ),.,( )rAA是U的基 . 43.(P239)设A与B为n阶复方阵 .则关于未知方程AXXB只有零解的充分必要条件是，方阵A与B没有公共特征值. 44.(P239) 设A与B为n阶方阵 .定义映射:n nn nFFA,BP如下：设n nFX，则令()A,BXAXXBP.显然A,BP是n nF道自身的线性变换.证明线性变换A,BP可逆的充分必要条件是方阵A与B没有公共特征值. 45.(P240

18、)设n阶方阵A为111212122212(1).(1).(1)nnnnnnaaa aa aa aaaa aa aa aaaA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！当12,.,na aa满足什么条件时方阵A可逆，并当A可逆时，求逆方阵1A. 46.(P247)由于方阵A的()tr A是方阵在相似下的不变量，因此定义线性变换:VVA在V的某组基下的方阵A的()tr A为线性变换A的()trA.证明：如果n复线性空间V的线性变换A满足()0trA，则存在V的一组基，使得线性变换A在这组基下的方阵的主对

19、角元都是零 . 47.(P248)设 3 阶实方阵A在实数域上不相似于上三角方阵，即不存在3 阶可逆实方阵P，使得1P AP是上三角方阵 .证明：方阵A在复数域上相似于对角方阵. 48.(P248)取定 n 阶复方阵n nA，定义线性变换1:n nn nA与2:n nn nA如下：1(),n nXAX XA2(),.n nXAXXA XA如果方阵A可以对角化，问线性变换1A和2A是否也可以对角化？49.(P248)设 n 维复线性空间A与B可交换 .证明：线性变换A与B具有公共特征向量.进而证明：设I是下标集合，V的线性变换集合:vvIA中任意两个线性变换1vA与2vA可交换，则线性变换,

20、vvIA具有公共特征向量. 50.(P248)设 n 阶复方阵A与B可交换 .证明：存在 n 阶可逆方阵P，使得1P AP与1P BP都是上三角方阵，即方阵A与B可以同时相似于上三角.试推广到任意多个两两可交换的方阵的情形 . 51.(P254)证明：酉方阵U的任意一个子方阵1U的特征值的模不大于1. 52.(P254)设A与B是 n 阶实正交方阵，且detdetAB.证明：det()0AB. 53.(P254)设A是 n 阶实方阵，且方阵1()2TBAA的最大与最小特征值分别为1nuu与.证明：方阵A的特征值0的实部0Re满足01Renuu. 54.(P254)设()ijaA是 n 阶复方

21、阵，且11|)0miniiijinjnjimaaA. 证明：| det| ()nmAA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！第六章Jordan 标准形55.(P259)设A与B是 3 阶复方阵，且它们具有相同的特征多项式和最小多项式，则A与B相似 . 56.(P259)(Fitting) 设A是数域F上的 n 维线性空间V的线性变换 .证明：存在线性变换A的不变子空间1V和2V，使得12VVV，并且线性变换A在1V上的限制1VA是可逆的，而在2V上的限制2VA是幂零的 . 57.(P269)证明

22、:如果数域 F上 n 维线性空间V的线性变换A的二次幂2A为循环变换，则A本身也是循环变换.反之是否成立？58.(P269)设数域 F 上 n 维线性空间V的线性变换A可对角化 .证明：(1)如果A是循环变换，则A的 n 个特征值两两不同；(2)如果A的 n 个特征值两两不同，且12,.,n 是A的完全特征向量组，则12.n是循环向量 . 59.(P269)设A和B是数域F 上 n 维线性空间V的可交换的线性变换，且A为循环变换 .证明：存在多项式( )fF，使得()fB =A. 60.(P269)设A是数域 F 上 n 维线性空间V的线性变换，而且V的任意一个与A可交换的线性变换B都可以表

23、示成A的多项式 .证明：A是循环变换 . 61.(P276)求 Jordan 标准形的一种方法：设A是 n 阶复方阵，12,.,t是方阵A的所有不同的特征值.证明：(1) 存在正整数m，使得12mmmrankrankrankAAA；(2)设jm是使12()()().jjjmmmjjjrankrankrankAIAIAI的最小正整数.则方阵A的最小多项式( )d为1212( )()().()tmmmtd；(3)设()lj是方阵A的属于j的初等因子，则jlm；(4)设方阵A的初等因子组为11112122121212111222(),(),.,()(),(),.,()(),(),.,()kktktt

24、tmmmmmmmmmttt . .其中属于特征值j且次数为l的初等因子()lj的个数记为jln，并约定，当()lj不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！是方阵A的初等因子时，0jln.则11()()2()llljljjjnrankrankrankAIAIAI，其中1,1,2,.,jlmjt. 求 Jordan 标准形采用如下步骤：1)求出放阵A的特征多项式( )det()IA，并求出方阵A的全部不同的特征值12,.,t；2)对每个特征值j，由11()()().jjjmmmjjjrankrankra

25、nkAIAIAI求出jm；3)对每个,1jllm，计算11()()2()llljljjjnrankrankrankAIAIAI，由此确定()lj是否是方阵A的初等因子，以及初等因子()lj在方阵A的初等因子组中出现的次数；4)根据 3)中所确定的方阵A的初等因子组，写出方阵A的 Jordan 标准形 . 62.(P287)证明：任意一个满秩方阵( )A都可以表示为( )( )( )APQ，其中( )P是可逆方阵，( )Q是上三角方阵，而且它的对角元都是首一多项式，对角线以上的元素都是次数小于同一列的对角元的次数的多项式.并证明这种表法唯一. 63.(P296)证明：一组两两可交换的可对角化

26、方阵可以用同一个可逆方阵相似于对角形. 64.(P304)设12,.,ni ii是自然数1,2,., n的一个排列 .把 n 阶单位矩阵( )nI的第1,2,., n行分别调到12,.,ni ii行得到的方阵称为置换方阵.证明：置换方阵相似于对角形. 65.(P305)证明：所有n 阶轮回方阵1231211122341.nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa可以经过一个可逆方阵P化为对角形 . 66.(P305)设方阵C和每一个与方阵A可交换的方阵都可交换.证明：方阵C可以表为方阵A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

27、 17 页优秀资料欢迎下载！的多项式 . 第七章Euclid 空间67.(P328) 设12,.,n 是n 维Euclid空间V的一组基 .对12,.,n 施行Gram-Schmidt 正交化得到的正交向量组记为12,.,n .证明：122121det(,.,)|,1,2,.,det(,.,)jjjjnG G ，其中约定零个向量的Gram 方阵的行列式为1. 68.(P328) 设12,.,n 是 n 维 Euclid 空间 V 的一组向量 .证明：2221212d e t(, .,)| | | | |.| | |nnG ，等号当且仅当12,.,n 两两正交或其中含有零向量时成立.由

28、此证明：如果()ijaA是 n阶实方阵，则2211(det)nnijjiaA. 69.(P328)设O是 n 阶正交方阵 .而方阵12(,.,)ndiag a aaA.证明：方阵OA的特征值0满足0|mM，其中min|:1,max|:1jjmajnMajn. 70.(P328)证明：正交方阵O的任意一个子方阵的特征值的绝对值小于或等于1. 71.(P328)证明：如果n 阶方阵O的行列式为1，则方阵O可以表示为有限多个形如( )(cos1)()sin()jknjjiijkkjOIEEEE的方阵的乘积，其中stE是( , )s t位置上的元素为1,而其他元素都为零的n 阶方阵，并且1jkn.如

29、果 n 阶正交方阵O的行列式为1，则还应添加上方阵1(1,.,1, 1)ndiag个. 72.(P336)设A是 n 维 Euclid 空间 V 的线性变换 .证明：A的伴随变换*A的像空间*()VA是A的核kerA的正交补 . 73.(P336)设4 xR是所有次数小于4 的实系数多项式集合连同内积10( ),( )( )( )f xg xf xg x dx构成的Euclid空间，其中4( ),( ) f xg xxR.设D是4 xR的微商变换 .求D的伴随变换*D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页优秀资料

30、欢迎下载！74.(P342)证明：一组两两可交换的规范方阵可以同时正交相似于准对角形.即设I是下标集合，规范方阵集合:vvIA满足：对任意,vuuvu vI A AA A，则存在正交方正O，使得TvO A O为准对角形112111,.,.,vvvvvvsssnvvvvssababdiagbaba，其中12,.,vvvn是vA的全部特征值，其中2121121,1,., ,.,.,.,vvvvvvvvvvvvjjjjjjsssnaibaibjs aabb是实数，1,.,0,vvsbbvI. 75.(P342)证明： n 阶实方阵A为规范的充分必要条件是，存在实系数多项式( )f，使得()TfAA.

31、 76.(P353)设A与B是n 维Euclid空间V 的线性变换，A与AB都是自伴的，且kerkerAB.证明：存在V 的自伴变换C，使得CAB. 77.(P354)(Fischer) 设12,.,n是n 维Euclid空间V的自伴变换A的特征值，12.n.设kV是A的不变子空间.证明：对1,2,.,kn，1max( ) :minknkkVRV. 78.(P354)设12()().()nAAA是 n 阶实对称方阵A的所有特征值.证明：11:1()()(),(),1,2,.,supinf()()TTkknkTTk nk nkknXXXAXXAXAAXXXX. 79.(P365

32、)设0,0AB.证明：AB的所有特征值都是正的. 80.(P365)设0S.证明：存在可逆三角方阵P，使得TSP P. 81.(P365)设1S与2S是 n 阶对称方阵，10S，且12det()0iSS，其中21i.证明：存在非零实的行向量nx，使得12()0xiSS. 82.(P366)设 n 阶实方阵A的极分解唯一.证明：方阵A可逆 . 83.(P366)设12()().()rAAA是 n 阶实对称方阵A的所有奇异值.证明：11:1()()(),(),1,2,.,supinf()()kknkk nk nkkrXXXAXAAAXX. 84.(P369)设12(),(),.,()nAAAn 阶

33、实对称方阵()ijaA的特征值 .证明： Schur 不等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！式：2211,(Re()2nijjijji jnaaA；2211,(Im()2nijjijji jnaaA. 85.(P375)设 n 阶实方阵A的顺序主子式都不为零.证明：存在对角元全为1 的 n 阶下三角方阵P和Q，使得12(,.,)ndiag d ddAPQ，其中12.12.,1,2,.,12.(1)12.(1)kkkdknkkAA，并约定010A. 86.(P376)设 n 阶对称方阵0A.证明：

35、是可交换的对称方阵，则存在满足,AC BC,且与A和B都可交换的最小对称方阵 . 89.(P376)证明：两个n 阶半正定对称方阵1S与2S可以同时相合于对角形，即存在n 阶可逆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！矩阵P，使得1TP S P与2TP S P都是对角方阵.(提示：方阵12SS是半正定的 .) 90.(P376) 正定对称方阵的概念可以推广 ( 见Johnson C R. Positive definite matrices. Amer.Math.Monthly

36、,1970,77:259-264) ：设A是 n 阶实方阵 (不必是对称的).如果对任意非零行向量,0nTxx xA?，则方阵A称为正定的 .记ASK，其中11(),()22TTSAAKAA，它们分别是A的对称部分和斜对称部分.证明：(1) 方阵A正定的充分必要条件是，它的对称部分S是正定的；(2) 设( )det()fASK.则当A正定时，( )fA的非零根是纯虚数；(3) 设A正定，并且( )fA的所有非零的根为1212,.,.0ssiaiaiaaaa，则A相合于如下的准对角方阵：11211,.,1,.,111ssnsaadiagaa，并且( )fA的根是正定方阵在相合下的全系不变量. 9

37、1.(P377) 设u是实数，C是n 阶实方阵，且( )nuiAIC是n 阶复正交方阵，即( )TTnAAIA A，其中21i.证明方阵C是斜对称的，并且（1）当ranknC时，( )nAI；（2）当ranknC时，存在n 阶实正交方阵O，使得2222211.11TnuiuuiudiagiuuiuuO AO144444444444444444444442 44444444444444444444443，. 92.(P377)设iABC是 n 阶复正交方阵，其中B与C是 n 阶实方阵 .证明：存在n 阶实正交方阵1O与2O，使得22111222211111,.,1,.,11ttntttuiuui

38、udiagiuuiuuO AO，其中122 ,.,trankt u uuC是方阵B的所有大于1 的奇异值，且1 是方阵B的2nt重奇异值 . 93.(P377)设复方阵1A与2A适合2112AO A O，其中1O与2O是实正交方阵，则称复方阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！1A与2A正交相抵 .证明：复正交方阵的实部的奇异值是复正交方阵正交相抵下的全系不变量. 94.(P377) 设12,.,n是n阶半正定对称方阵()ijaA的所有特征值12.0n.并且设方阵A的每个列

39、和都是零.证明：1()min:11nijnajnn. (提示：对称方阵1()1()0nnnAIJ，其中J是每个元素都是为1 的 n 阶方阵 .) 95.(P377) 设A是 n 阶正定对称方阵，nx?.证明：2( ,)1 2.(det)nxxnedxAJA，其中( ,)Txxx xAA. 96.(P377)设A与B是 n 阶实对称方阵，且方阵A是正定的 .证明：2( ,() )1 2.(det()nxixedxiABAB，其中21i，且( ,() )TTxixxxixxABAB. 97.(P377)设12(),(),.,()nAAA是n阶对称方阵A的特征值，12()().()nAAA.证明：

40、（1）设A与B是 n 阶对称方阵，实数a满足01a，则111(1)()(1)()aaaaABAB，(1) )()(1)()nnnaaaaABAB；（2）当B半正定时，11()(),()()nnABAABA. 第八章酉空间98.(P395)证明：n 维酉空间V 的线性变换A为规范的充分必要条件是，A的每个不变子空间也是它的伴随变换*A的不变自空间. 99.(P395)证明：n 维酉空间V 的线性变换A为规范的充分必要条件是，A的每个不变子空间的正交补是*A的不变子空间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页优秀资料

41、欢迎下载！100.(P395)设 n 阶规范方阵*,iABC BB CC，方阵A的任意两个特征值的实部与虚部分别不相等，且x是方阵,A B与C中某个方阵的特征向量.证明：存在复数，实数u与v，使得,xx xux xvxABC，并且uiv. 101.(P396)设 n 阶复方阵O满足*( ),TnOOIOO.则方阵O称为正交Hermite 的.证明正交 Hermite 方阵O实正交相似于如下的准对角形：11112,.,1,.,1,1,., 1sssstns taibaibdiagibaiba1 44 42 44 4 3，其中1212,.,.,ssa aab bb都是实数，且221,1,2,.,j

42、jabjs. 102.(P398)设 n 阶复方阵iABC，其中1(),()22iBAACAA，并且A是半正定 Hermite 方阵 .证明：,rankrankrankrankABCB. 103.(P398)设1和n分别是 n 阶正定 Hermite 方阵H的最大和最小特征值，是任意 n 维非零复的行向量 .证明：-11| | 1supn* H H . 104.(P399)设A与B是 n 阶 Hermite 方阵 .证明：222()()trtrABA B，并且等号当且仅当ABBA时成立 . 105.(P399) 设A与B是 n 阶 Hermite 方阵 .证明：222 ()()()trtrtr

43、ABAB，并且等号当且仅当AB时成立 . 第十章双线性函数106.(P414)设f是是数域F 上 n 维线性空间V 的双线性函数，W 是 V 的子空间，将f的定义域限定在W 上时，f非退化的 .证明：LRVWWWW107.(P435)设二次型( )TQx xS，其中方阵S的顺序子式12.0,1,2,.,12.jjnjS. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页优秀资料欢迎下载！证明：二次型( )Q 可以化为222121212.11212.( ).112.11112.1nnSnQSyyynSnSS. 108.(P435

44、) 设( , )f 是n维实线性空间V上双线性函数，并且对任意非零向量,( , )0Vf.证明：存在V 的一组基12,.,n ，使得( , )f 在这组基下的方阵是如下的准对角形：11211,.,1,.,111ssnsaadiagaa，其中12.0saaa. 109.(P436)设f是n维实的行向量集合连同标准内积构成的Euclid 空间n?上双线性函数，( ,)O n ?是Euclid空间n?的所有正交变换集合 .如果对任意( ,)O n ?A，均有( ),( )( , )ffAA，则称f为在( ,)O n ?下是不变的 .求所有在( ,)O n ?下不变的双线性函数f. 110.(P436)将上题中实数域?改为复数域，即求 n 维复的行向量空间n上所有在( ,)O n 下不变的双线性函数( , )f ，这里( ,)O n 是所有 n 阶复正交方阵的集合. 111.(P440)设 V 是数域F 上n 维线性空间，f与g是 V 上斜对称双线性函数.证明：rankfrankg的充分必要条件是，存在V 的线性变换A使得对任意,V，均有(),( )( ,)fgAA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页

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2022年经典线性代数问题-无答案

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