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1、学习必备欢迎下载多目标线性规划模型的读书笔记一、线性规划（一）线性规划的概述线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支, 它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法. 在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料. 二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件
2、的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. （二）线性规划问题的数学模型的一般形式：（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值一般地，假设线性规划数学模型中，有m 个约束，有n 个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj 表示 , cj 称为价值系数。 约束条件的变量系数用aij 表示， aij 称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi 表示， bi 称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成为了书写方便，上式也可写成：在实际中一般xj 0,但有时 xj0
3、或 xj 无符号限制。关于上述模型有两点需要加以说明。第一任何一个实际问题，严格的说都是非线性的。那么，是问题的什么特性能容许我们做出线性性质的假定。这一点是建立模型时应当明确的。第二，在有些模型中还要求决策变量取整数值，在线性规划的范围内来处理这一问题，通常是将连续最优解通过四舍五入取整。当变量的最优值都比较大时，这种做法可行。 要想得到精确的11221111221121 1222221122max(min)(, )(,)(, )0,1,2,nnnnnnmmmnnmjZc xc xc xa xa xa xba xa xaxbaxaxaxbxjn或或或11max(min)(, )1,2,0,1
4、,2,njjjnijjijjZc xa xbinxjn或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载整数最优解，则需应用整数规划的解法。（三）线性规划求解在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。线性规划问题的标准型为: 1.目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程3变量 xj 非负4常数 bi 非负max(或 min)Z=c1x1+c2x2+ +cnxn或写成下列形式：或用矩阵形式max0ZCXAXbX(111211121222221212,)nnnmm
5、mnnmaaaxbaaaxbAXbCc ccaaaxb其中mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmnmmnnnn,2 ,1,0,2, 1,02211222222111212111njjjxcZ1maxminjxbxajnjijij, 2, 1, 2, 1,010maxXbAXCXZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载通常 X 记为：称为约束方程的系数矩阵，m 是约束方程的个数，n 是决策变量的个数，一般情况 m n，且 r()m。（四）线性规划的模型建立从实际问题中建立数学模型
6、一般有以下三个步骤；1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3 ，xn） ，其中 n 为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。2、 目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max） 或最小化（min） ，二者统称为最优化（opt） 。3、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线
7、性规划模型。二、多目标线性规划多目标规划是数学规划的一个分支，研究多余一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。数学规划的一个分支。研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为VMP 。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较， 而 这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。 因此有许多学者致力于这方面的研究。1896 年法国经济学家V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后， J.冯 诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克尔、A.M. 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未
8、有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法， 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、 线性加权法、 理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70 年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。多目标最优化思想，最早是在1896 年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治 经济
9、学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。1947 年， J.冯 诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951 年， T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年， H.W.库恩和A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,引入库恩 -塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963 年， L.A. 扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968 年， A.M. 日夫里翁为了排除变态的有效
10、解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自 70 年代以来， 多目标规划的研究越来越受到人们的重视。 至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载（一）、多目标线性规划数学模型在土地研究中，对于许多规划问题，常常考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、社会效益目标等等)(max(min)(max(min)(max(min)(21XfXfXfXFZkmmgggGXXXX2121)()()()(式中：，为决策变量向量如果
11、将上面两个式子进一步缩写，其中：是 k 维函数向量K 是目标函数的个数等是 m 维函数向量；G 是 m 维常数向量；m是约束方程的个数对于线性多目标规划问题，上述式子可以进一步用矩阵表示AXZmax(min)bBX式中： 为 n 维决策变量向量；为 kn 矩阵，即目标函数系数矩阵；为 mn 矩阵，即约束方程系数矩阵；为 m 维的向量，约束向量。（二） 、多目标规划的非劣解对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：TnxxxX,21GX )()(XFZ)(X)(max(min)XFZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
12、 页，共 12 页学习必备欢迎下载每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其他目标。在图中，就方案和来说，的目标值比大，但其目标值比小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：比好，比好，比好，比好。而对于方案、之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案， 所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。当目标函数处于冲突状态时， 就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解
13、，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）（三） 、多目标线性规划求解为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。1、效用最优化模型2、 罚款模型3、 约束模型4、 目标达到法5、 目标规划模型方法一：效用最优化模型（线性加权法）思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：XZ(max）GXts)(.是与各目标函数相关的效用函数的和函数精选学习资料 - - - - - - -
14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即kiii1max),2, 1(),(21migxxxini式中，i 应满足kii11向量形式TmaxGX )(方法二罚款模型（理想点法）思想 : 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值fi 与期望值fi* 之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：21)(minkiiiiffZ),2,1(),(21migxxxini或写成矩阵形式)()(minFFAFFZTGX )(式中，i是
15、与第 i 个目标函数相关的权重；A 是由i(i=1,2, ,k )组成的 m m 对角矩阵方法三约束模型（极大极小法）理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如， 除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：),(max(min)211nxxxfZ),2 ,1(),(21migxxxini精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载), 3 , 2(maxminkjfffj
16、jj方法四目标达到法首先将多目标规划模型化为如下标准形式：)()()(min)(min21XfXfXfxFk000)()()()(21XXXXm在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标fi* ( i=1,2,k ) ,每一个目标对应的权重系数为i* ( i=1,2,k ) ，再设为一松弛因子。那么，多目标规划问题就转化为：)()()(min)(min21XfXfXfxFk,m i nX),2, 1(0)(miXi000)()()()(21XXXXm), 2, 1(,)(*kifXfiii方法五目标规划模型（目标规划法）需要预先确定各个目标的期望值fi* ，同时给每一个目标赋
17、予一个优先因子和权系数，假定有 K 个目标， L 个优先级 ( L K)，目标规划模型的数学形式为：LlKkklkklklddpZ11)(min精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载),2, 1(),(21migxxxini),2 ,1(KifddfiiiiLlKkklkklklddpZ11)(min),2, 1(),(21migxxxini),2 ,1(Kifddfiiii式中：di+ 和 di分别表示与fi 相应的、 与 fi* 相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；pl 表示第 l 个优先级
18、；lk+、lk- 表示在同一优先级pl 中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。三、多目标土地利用规划的概念随着科学和社会的发展，人类对自然和社会认识的深化，人们逐步认识了解自然资源开发，社会、 经济发展， 生态环境的保护等必须协调发展。土地利用总体规划是保证和落实这一现代概念的重要措施，这一现代概念就是持续发展的概念，所以土地利用总体规划必须是充分利用区域土地资源，全面持续满足社会发展的需要。中国农业大学林培教授根据这一思想认为应该进行多目标土地利用总体规划（1994） 。他指出： 所谓多目标土地利用总体规划就是要在一定的行政区内，根据区域自然特点、社会经济状况以及经济发展要求进行土地利用的战
19、略规划，以期达到资源最大效益的合理利用，区域的持续综合发展、社会经济协调稳定上升和环境与生态不断优化。1995 年 7 月在夏威夷的第一次关于土地、 水和环境管理的多目标决策支持系统国际会议提到多目标土地利用总体规划概念涉及到技术可能，经济可行，环境质量提高， 且能被土地使用者所接受，总的来说是持续发展的概念。在1995 年，郝晋珉也认为进行土地利用总体规必须是多目标的，并给出了定义。他认为：多目标利用总体规划是在计算机支持下，根据当地的自然、经济与社会情况进行多目标的土地利用规划方案的计算机比较，以求得当地的优化方案。综合以上所述，认为多目标土地利用总体规划是借助计算机技术、利用系统工程的多
20、目标决策理论，实现与土地利用持续管理有关的各种目标，以及多方案比较优化的过程。多目标土地利用规划的特点：（一）多目标土地利用总体规划的方法论特点多目标性，这主要是由于：（1）区域发展对土地要求的多用性；（2）土地的多适宜性；（3）对土地利用过程中有关资源、社会、经济和生态环境可持续性等有关方面内容必须有所考虑， 即在土地利用总体规划中，不仅要考虑区域土地自然因素特点，也要考虑区域经济和社会发展对土地资源的各方面的要求，同时也要考虑区域土地利用结构和特点的持续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载性。所以
21、，多目标土地利用总体规划是现代化土地管理的需求。（二）多目标土地利用总体规划的技术特点1、多方案比较：过去的土地利用总体规划和农业区划，主要是应用LP 模型和 SD（System Dynamic ）模型，模型中只考虑一个目标，即仅仅对某一个目标进行优化，求得的解是唯一的最优解，因而只形成了一个静态方案。这样的结果就会使决策者没有选择和比较的余地。应用多目标决策模型来优化土地利用系统，在调整不同目标优先级时，就可求得一系列非劣解，相应地形成许多方案。 决策者根据不同的标准，进行不同方案的比较，选择最优的规划方案，从而提高了规划和决策的科学性。多方案的比较是多目标土地利用总体规划的一个明显特点。2
22、、多层次分析：多目标土地利用总体规划除了战略上对土地利用系统进行分析，如县域发展性质、 农业用地和城镇用地综合分析外，更重要是进一步进行到战术上用地优化分析，主要是专项规划内部的用地分析，如农业内部粮食、蔬菜、油料、 果树等用地安排，只是对目标的设计更多、更具体。 由于有计算机的帮助，使较多目标优化实现成为可能，从而提高土地利用的专项规划和总体规划的衔接性和科学性，增强了规划实施的可操作性。3、计算机和GIS 的应用：土地利用规划涉及目标多，要求限制条件复杂，在进行多宜性评价、多目标计算及方案优选时，常规下人工不可能完成，必须借助计算机支持。地理信息系统是实现地理数据(包括空间数据和属性数据)
23、输入、存储、分析、显示、输出的计算机系统。 土地利用总体规划所需的空间数据主要来自于各种基础图件，遥感信息以及实际土地调查。 属性数据是对应空间数据的一些本质特征的描述，通过用户标识码和内部标识码把二者联系在一起。通过GIS 可以很方便地得到土地利用总体规划与土地利用现状、土地资源、 土地需求的综合平衡表，也可以得到规划后的土地利用与规划前土地利用的变动情况 ，以及资源开发利用情况和用地矛盾的解决情况。在计算机上应用不同模型选择的方案，可以通过GIS 技术很方便地实现土地用地指标平面配置，进行实时模拟显示。对空间数据和属性数据的分析和处理工作量相当大，只能通过计算机帮助才能完成。所以计算机和G
24、IS是完成和实现多目标土地利用总体规划的一个有力工具和良好技术支持。土地利用总体规划是对区域内整个土地的合理安排，涉及面很广， 内容复杂， 用过去单一经济目标衡量， 无疑是不现实的。这是因为， 用单一目标模型描述土地利用系统这样一个具有复杂关系的问题欠合理。单目标规划考虑目标单一，但是在实际中是各用地部门追求多种目标。单目标规划没有考虑问题的动态发展，只是静态地考虑问题，问题解是某一特定状态下的解。 所以，把多目标决策应用在土地利用总体规划中，符合实际地发展需要，具有一定的理论和现实指导意义。（一）土地利用总体规划多目标决策模型在土地利用总体规划中，其实质是对将来预测目标达到或一定程度的达到情
25、况下各部门用地的分配（包括指标和位置）。土地利用总体规划，它是由决策者先给出一组理想的目标值（各用地部门期望和预测的值），进行系统协调，并观察土地系统能否完成各目标及完成的程度（即能恰好达到目标或超额或达不到），进行用地优化。这与目的规划的模型要求一致，所以，应用多目标决策的目的规划比较合理。目的规划模型描述见上一节目的规划。（二）规划目标确定，方程建立及求解1、规划目标的确定：主要根据对土地利用中存在的问题分析确定土地利用目标、国民经济发展计划、上级土地利用总体规划、并对各部门发展预测需要达到的目标进行最终规划目标的确建。2、多目标决策方程建立及求解：精选学习资料 - - - - - - -
26、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载多目标土地利用总体规划的模型，如表2-8-1。根据模型通过下列步骤建立方程：（1）确定有关土地利用的各个决策变量。（2）根据上述规划目标值确定函数各项目标值。（3）确定与决策变量有关的约束条件。包括总土地资源面积约束、专项规划的约束、土地利用平衡方面约束及非负约束。（4）建立目标函数：确定各个目标的优先级及其权重，加和形成目标函数。（5）对目的规划模型求解。目的规划有线性目的规划与非线性目的规划，主要是根据函数之间的关系确定的，但目前非线性目的规划解法是一种近似算法，所以， 若某一表达函数是非线性的，采用
27、对数换成线性规划，而按统一的线性规划求解，这里只讨论线性目的规划。（ 6）若运算结果不满意，可修改目标函数，调整优先级别及变化优化方式等修改模型，重新计算，求得非劣解。通过这样多次调整目标的优先级和改变目标个数，计算出来的结果就不一样，从而产生一系列非劣解，这一系列非劣解组成非劣解集。六、多方案比较及决策结果的输出（一）多方案比较对有着不同着眼点和不同目的的使用者来说，通过调整优先级及目标（即目标重要程度和可期望目标的变化） ，就可以看到解空间中各个目标之间交换的可能性，即模型中某些决策变量参数变更，会引起其它决策变量数值变化，从这点讲， 它具有正负反馈的特征。而且通过调整优先级，可以使某些目
28、标或决策变量向决策者期望的方向变化，从这个意义上讲，多目标规划具有可调性和可控性。利用这两个特征，调整优先级，求模型非劣解。一个非劣解就形成了一个方案，非劣解集就形成了多种方案，通过决策者的标准，进行多方案比较，形成最终满意的规划方案（Satisfactory Planning Scenario ） 。（二）用地指标平面配置确定满意方案后，根据各个决策变量的大小，与土地适宜评价结果及各方面要求匹配，土地分解指标通过GIS 能较方便地实现了土地的平面配置。步骤如下：进行优先级为Pi的土地利用规划指标分解调用Pi为目标的土地适宜性评价图Pi的土地利用指标与空间配置参照土地利用分区扣除掉规划的部分（
29、Pi土地利用适宜部分与其它土地利用适宜等级重叠部分，不影响后继其它土地利用的适宜配置）根据余下的适宜性结果，再进行 Pi+1目标规划的空间布置依次类推，直到全部指标在空间分配完毕。（三）决策结果的输出决策结果包括规划方案表和规划图。规划方案表可按一定格式，主要是用地类型及数量，编排好后，在屏幕上显示或打印机上打印输出。规划图按用地指标平面配置后，还应在GIS支持下，进行用地颜色调配，行政界线、交通道路、水系、地名、比例尺、图例等的编辑，然后按一定的比例尺大小输出，输出方式有屏幕显示、打印机或绘图仪输出。四，应用实例土地利用问题某农场 I、II、III 等耕地的面积分别为100 hm2、300
30、hm2 和 200 hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000 kg、 130000 kg 和 350000kg。I、 II、 III等耕地种植三种作物的单产如下表所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20 元/kg， 大豆 1.50元/ kg，玉米 0.80 元/kg。那么， （ 1）如何制订种植计划，才能使总产量最大和总产值最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载（1）应用目标规划法求解实际上，除了线性加权求和法以外，我们还可以用目标规划方法求解上述多目标规划问
31、题。如果我们对总产量f1(X) 和总产值 f1(X) ，分别提出一个期望目标值0000106*1f0000606*2f并将两个目标视为相同的优先级。如果 d1+、d1-分别表示对应第一个目标期望值的正、负偏差变量， d2+、d2-分别表示对应于第二个目标期望值的正、负偏差变量，而且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待（即可将它们的权系数都赋为1） ，那么，该目标规划问题的目标函数为：2211minddddZ对应的两个目标约束为6100000(X)111ddf-6600000(X)222ddf-610000010000120001400060006800800090009500110001133
32、3231232221131211ddxxx+ xxx +xxx660000080009600112009000102001200010800114001320022333231232221131211ddxxxxxxxxx除了目标约束以外，该模型的约束条件，还包括硬约束和非负约束的限制。其中， 硬约束包括耕地面积约束式和最低收获量约束式；非负约束， 不但包括决策变量的非负约束式，还包括正、负偏差变量的非负约束：0,00,0,2211dddd解上述目标规划问题，可以得到一个非劣解方案，详见表I 等耕地II 等耕地III 等耕地水稻24.3382211.0294200大豆019.11760玉米75
33、.661869.85290精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载五、参考书目刘耀林、何建华土地信息学周勇，聂艳 .土地信息系统-理论、方法、实践M. 化学工业出版社.2005， 6. 封志明，李飞、刘爱民.农业资源高效利用优化模式与技术集成M. 科学出版社 .2002，9. 叶艳妹，吴次芳，夏作飞.县级土地利用总体规划的理论与实践-以永嘉县为例.地质出版社.2001，10. 吴次芳，鲍海军.土地资源安全研究的理论与方法M. 气象出版社 .2004，2. 张迪，吴初国，奚珄.发达国家农地保护政策演变及借鉴M. 中国大地出版社.2007 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
