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1、学习必备欢迎下载平面几何综合复习【典型例题】:例 3、已知:如图在ABC中,AB=AC。延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连结CD和CE 求证:CD=2CE分析 :( 1)要证长线段CD是某小量的2 倍,可在长线段上截取一半,这种方法,叫“截取法”或(折半法),要证CD=2CE,可考虑在CD上截取一半,再证明CE等于CD的一半即可。证明:过B点作BF/AC交CD于F,AB=BD DFCF,且BFAC12ABACACB/ /,2BFACACB/ /,112又BEAB BFACBEBF1212.,在CEBCFB和中BEBFBCBC12CEBCFBECCFCD,12即CE=2EC 分析:
2、(2)这类题目还可以将短线延长,或说加倍法, 证它等于长线段的方法,也称“拼加法” 。提示:将CE延长到G,使EG=CE,连结AG,BG,可证明ACGBDC,从而得到CG=CD,因而有CD=2CE。例 4、已知:如图,在ABC中, D、E分别在 AB、AC上, BD=CE ,BE 、CD的中点分别是M ,N,直线 MN分别交 AB ,AC于点 P、Q 求证: AP=AQ 分析:这是一道已知中点求证线段相等的问题,往往可以通过中位线,将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上,此题要证AP=AQ,就要证APQAQPM N,,分别是BE、CD中点,且BD=CE,又BC是BDC和BCE的公共边,
3、取BC的中点 F,再连MF、NF,就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的APQAQP等量代换到FMN中,从而可证得AP=AQ。证明:取BC的中点F,连结FM,FNM,N分别是BE CD,的中点FMCEFNBD1212,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载并且MF/CE,FN/BD,CE=BD,FM=FN FMQ=FNP FMQ= AQM(两直线平行,内错角相等)FNP=APN,APN=AQMAP=AQ例 5、已知:ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,BD=CE,DE交B
4、C于F求证:DE=EF分析:DF和EF分别在DBF和ECF中,但这两个三角形并不全等,如何构造全等形呢?只需作DG/AC交BC于G点, 易证DGFECF,所以DF=EF,这种添加辅助线的方法属于中心对称型。例 6、已知 RtACB中,ACB=90 ,CDAB,BE平分ABC,交CD于E,EF/AB交AC于F求证:CE=AF分析:要证线段CE=AF,我们可以将它们转化到两个三角形中,过E点作EGBC于G,所以EG=DE,这种填加辅助线的方法属于转对称型,再作FHAB于H,利用平行线间距离相等,可易证得HAF GCE,从而证得CE=AF,另解还可以过E点作KM/AC交AB于K,交BC于M,证MCE
5、DKE即可例 7、已知:ABC中,ACB=90 ,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,CE的延长线交AB于F,FG/AC交AD于G求证:FB=2CG 分析:要证FB=2CG,只要证CG=12BF,由于CG和BF分别在两个三角形中没有直接的关系,所以寻求另解一条线段作为中介量,建立起CG和FB之间的联系,分析题目条件可知CEGAEF,所以AF=CG,只要证AF=12FB即可证明:作DH/CF交AB于H,RtADC中,ACD=90 ,E是斜边AD中点,CE=AE,1=2 AC/FG,1=3,2=4,3=4 EG=EF在AEF中和CEG中,有CEAEEGEF56AEF CEG中,AF=CG DH/
6、CF,E为AD中点,AF=FHDH/CF,D为BC中点,FH=HB AF=FH=HB ,AF=12FB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载CG=AF,CG=12FB,即FB=2CG例 8、设ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5,求:线段EF的长?分析:这是一道几何中的计算题要求EF的长,首先发现它在Rt 它在 RtEAF中,这时利用勾股定理可求出,连结AD后可证ADECDF解;连结AD,则在ADE和CDF中,ADEA
7、DFCDFADFADECDFDAEDCF909045,又AD=CD,ADECDFAECF5又AF+FC=AC=AB=AE+BE=5+12=17 AFACFCEAFEFAEAF175121322在中Rt,即EF的长为 13 例 9、已知:如图,过正方形ABCD的顶点A作直线交BD于E,交CD于F,交BC的延长线于G,若H是FG的中点求证:EC CH分析:这道题主要是利用正方形的性质,证明两条线段互相垂直,只要能证明ECH是 90 即可,此题可先间接证出 4+5=90 ,从而推出ECH=90 ,通过ABECBE,及 RtFCG的斜边中线CH可证得证明:简述:在正方形ABCD中,1245AB=BC,
8、BE=BE ABE CBE 3= 4,又H是 RtFCG斜边上的中点CHHGGGEC CH534690例 10、已知:如图在平行四边形ABCD中,AE=CF,BM=DN求证:四边形EMFN是平行四边形分析:本题主要是考查平行四边形的判定方法,下面简述两种证法。证法一:ABCD是平行四边形AD/BC,AD=BC 12,AEFC DNBMDE=BF,DM=BNDEMBFN34, MBNFME/NFEMFN是平行四边形证法二:证DEMBFN(同证法一)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载ME=NF同理可证DE
9、NBFMEN=FM EMFN是平行四边形。例 11、如图:等腰梯形ABCD中,AD/BC,对角线AC和BD相交于E, 已知,ABD=60 ,BD=12, 且BEED=51,S梯形 ABCD=36 3,求这个梯形的周长?分析:由BD=12,且BEED=51,可得BE=10,ED=2,易证,ABDDCA故ADBDACAEDAED6060,为等边三角,AD=DE=2,同理BC=10,作AFBC于F,DG BC于G,则四边形AFGD是矩形,由梯形面积公式可求出AFDGBFGC6 3, 而12BCAD=121024,再由勾股定理求出AB=CD=2 31故梯形周长为12+431解:BDBEEDBEDE12
10、51102,;且梯形ABCD为等腰梯形,ABCD ACBD,AD=ADABDDCADACADB,60AEDAED60 ,为等边三角形ADDE2同理可求:BC=10 作AFBC于F,DGBC于G,则四边形AFGD为矩形FGADABACABCDCB2,AFBDGC90ABFDCGBFGCBCFG12121024SABCD梯形36 3123631210236 3BCADAFAF, 即AFABF6 3,中RtABAFBF22226 341242 31同理:DC=2 31梯形周长 =AD+BC+AB+CD=2+10+2 31+2 31=12+4 31此题综合性较强,涉及到的知识点很多,但证明的关键是证出
11、ABC是等边三角形, 从而求出上、下两底的长度,并且要正确添加辅助线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载【综合练习】:一、填空题:(1)ABC中,AB=AC,DE是AB的中垂线,BCE的周长为14厘米,BC=5 厘米,那么AB的长为厘米。(2)若ABC的三个外角的度数之比为345,则最大边AB与最小边BC关系是;而三条边之间的关系是;(3)等腰三角形的周长为23,腰长为1,则底角等度。(4)如图在RtABC中,C90 BD平分ABC交AC于D,DE是斜边AB的垂直平分线, 且DE=1厘米, 则AC=
12、厘米。(5)把长为8cm的长方形纸片对折,按图中的虚线剪出一个梯形并打开,则找开后的梯形中位线长为 cm。(6) 若等腰三角形的底角为15 , 腰长为 2, 则腰上的高为。(7)若等腰梯形的周长80cm ,中位线与腰长相等,则它的中位线等于 cm。(8)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如果AOB的面积是3,那么平行四边形ABCD的面积是。(9)已知菱形的两条对角线的长分别是6 和 8,那么它的边长是。(10)菱形中有一个内角是60 ,菱形的边长为6,则菱形两条对角线的长为。三、选择题:(1)如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形的周长为()A9 B6 C3
13、D92(2)在ABC中,已知b=4,c=5, A=30 , 则ABC的面积是()A10 B10 3C5 D5 3(3)如果一个多边形的内角和等于720 ,那么这个多边形是()A四边形B五边形C六边形D七边形(4)下列多边形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是()A平行四边形B正方形C等边三角形D直角梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载(5)已知:平行四边形ABCD的周长为 24,ABAD=12,那么AB的长是()A4 B6 C8 D16 (6)设F为正方形ABCD的边AC上一点,CECF交AB的
14、延长线于 E,若正方形ABCD的面积为64, CEF面积为 50,则CBE的面积为()A20 B24 C25 D 26 (7)在ABC中,若A60,AB=2 3, AC=3,则 SABCD=()A9 B92C3 3D3 32(8)如图在四边形ABCD中,AD=BC,E、F、G分别是AB、CD、AC的中点,若DAC=20 ,ACB=66 ,则FEG=()A47B46C 41D23(9)已知一个等腰梯形的高是2m ,它的中位线长是5m,一个底角为 45 ,这个梯形的周长是()A14 B52 2 cmC102 2 mD104 2 m(10)已知正方形的面积为8cm2, 则正方形的对角线长为()A2
15、2cmB4 2cmC4cm D 2cm 【答案】:一、(1)9 (2)AB=2BC,132(3)30 (4)3 ( 5)5 (6)1 (7)20 (8)12 (9)5 (10)6,6 3二、(1)D (2)C (3)C (4)C (5)A (6)B (7)B (8)D (9)D (10)C 【综合练习二】:证明与计算:1、已知:等腰三角形ABC的顶角A为 120 ,底边长为20cm,求:腰长2、已知;如图,ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、CA上的点,且BD=CE,DEFB,求证:DEF是等腰三角形3、已知:如图,四边形ABCD为矩形四边形ABDE为等腰梯形,AE/BD,求证:
16、BEDBCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载4、如图:平行四边形ABCD中,BECD,BFAD,垂足分别为E、F,CE=2,DF=1,EBF60,求平行四边形ABCD的面积。5、已知:四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB,CD,AC,BD的中点,并且E,F,G,H不在同一直线上,求证:EF和GH互相平分6、如图,已知:在等边三角形ABC中,延长BC到M,使CM=BC,ADBC于点D,E是AM的中点,EF/MC交AC于点F求证:四边形DCEF是菱形7、已知:梯形ABCD中,AD/BC,AB=DC
17、,在ABDC上各取一F,G,使BF=CG,E是AD的中点求证:EFGEGF8、已知:在平行四边形ABCD中,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点求证:四边形ENFM是平行四边形9、已知:如图,在三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于K,求证:AKAB的值10、已知:如图,周长为40cm的等腰梯形ABCD中,AD/BC,梯形中位线EF=AB,梯形的高AH=6cm, 求:梯形ABCD的面积11、已知:如图,正方形ABCD,点E,F分别在BC,DC上,且EAF45求证:BE+DF=EF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
18、- - - - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载12、已知:如图,正方形ABCD中,AC,BD交于O点,DBC的平分线交AC于E,交DC于F,求证:OE=12DF13、已知:在平行四边形ABCD中,EF/AC交AB于E,BC于F,求证:SSADEDCF【答案】:1、20 33cm;2、利用三角形外角定理证明:BDEFEC ,再证DBEECF即可;3、利用矩形,等腰梯形的性质可以得到证两个三角形全等的条件;4、 可以利用分别延长CD和BF相交后构成Rt, 求出一个30角,再通过AFB和ECD求出CD=4,BC=6,就可以利用平行四边形面积公式得到其结果为6 35、提示:连结EG、
19、GF、FH、HE,通三角形中位线定理再根据平行四边形的判定定理证出四边形EGFH是平行四边形,即可6、提示:可根据三角形中位线定理,证出:CE/AB,EF/MC可得四边形,DCEF是平行四边形,再证出DF=DC,可证出四边形DCEF是菱形7、提示:很容易通过等腰梯形同一底上的两个底角相等证出AEFDEG,从而证得EFGEGF8、可利用三角形全等证出FN=ME,再通过证明FB/DE,得到FN/ME即可证得9、解:DEABCKE/ /交于点1234121213,得,又,而,故AMMDAMKDMEAKDEABACAD BCBDDCDEABDEKBAKKBAKAB/ /10、提示: 2EF=AD+BC
20、 2EF=AB+DC而AB+BC+CD+DA=40 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载4EF=40,得EF=10,又AH=6 梯形ABCD的面积S=EF,AH=106=60(cm )211、分析提示:证明线段的各差倍分问题,要将具体问题具体分析创造出它们之间的有机联系,使之为一个整体,该题BE与DF分别在正方形的两个不同的边上,因此想办法把它们放在一起,再与EF进行比较。证:延长CB到G,使BG=DF,连结AG,通过证ABGADF,得到GAE45,再证AGEAFE,得到GEEFBEDFEF,12、分析
21、:观察图形,在BDF中,DF是底边,O是BD中点,若E也是BF中点,那么可得OEDF12,但显然E不是BF中点,所以我们作出这个三角形的中位线,再证明OE就等于中位线长,作OG/DF,那么OG=12DF,只需证OG=OE,看3和4,因为1490,290BFC,但3BFC,所以由12可推出,这样就得到了OG=OE,从而证明OEDF12。证明:过点O作OG/DC,交BF于G,3BFC,在正方形ABCD中,DC BCAC BD,290BFC,1490239012341212,/ /又,是中点,是中点,OGOEOBDOGDFGBFOGDFOEDF13、提示:连结AF、CE平行在四边形ABCD中,SSSSEFACSSSSADEAECCDPAFCAECAFCADEDCF/ /,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页