《2022年角平分线模型的构造》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年角平分线模型的构造（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第二讲角平分线模型的构造3 月角平分线(l)定义：如图 2-1，如果 AOBBOC，那么AOC=2AOB=2BOC，像 OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线图2-1(2)角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线， 那么它把这个角分成两个相等的角，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(3)角平分线的判定定理在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角， 那么这条射线是这个角的平分线，在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法， 即角平分线的四大基本模型，已知 P 是
2、MON 平分线上一点，(l)假设 PAOM 于点 A，如图 2-2(a)，可以过 P点作 PBON 于点 B，则 PB=“图中有角平分线，可向两边作垂线”(a)BAOPMN(b)BOPMNA(2)假设点 A 是射线 OM 上任意一点， 如图 2-2(b)，可以在 ON 上截取 OB=OA ， 连接 PB，构造 OPB“ 图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”(3)假设 APOP 于点 P，如图 2-2(c)，可以延长AP 交 ON 于点 B，构造 AOB 是等腰三角形， P是底边 AB 的中点，可记为“角平分线加垂线， 三线合一试试看”(c)BAOPMN(d)QOPMN(4)假设过
3、P 点作 PQON 交 OM 于点 Q，如图2-2(d)， 可以构造 POQ是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现” 例 1 (1)如图 2-3(a)，在 ABC 中， C=90。 ，AD 平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm. 图2-3（a）DABC(2)如图 2-3(b)，已知： 1=2，3=4，求证： AP 平分 BAC图2-3（b）4321PABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 例 2 如图 2-4(a)，RtABC 中， ACB=90，CDA
4、B，垂足为 D. AF 平分 CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F 求证： CE= CF. C图2-4（a）EFDAB将图 2-4(a)中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A，D，E，的位置，使点 E，落在 BC 边上，其它条件不变，如图 2-4(b)所示试猜想： BE与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论C图2-4（b）ADEEFDAB例 3 阅读以下学习材料：如图 2-5(a)所示， OP平分 MON，A 为 OM 上一点，C 为 OP 上一点，连接 AC，在射线 ON 上截取 OB =OA，连接 BC(如图 2-5(b)，易证 AOCBOC. 图2-5（a）MONCAP图2
5、-5（b）BNOMCAP请根据上面的学习材料，解答以下各题：(l)如图 2-5(c)所示，在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点， 试比较 PB+PC与 AB+AC 的大小，并说明理由图2-5（c）DCBA(2)如图 2-5(d)所示， AD 是ABC 的内角平分线，其它条件不变， 试比较 PC PB 与 ACAB 的大小，并说明理由图2-5（ d）DABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 例 4 如图 2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC 中，A=90，AB=A
6、C ，BD 平分 ABC，CEBD，垂足为点 E，求证：BD=2CE. 图2-6（a）DEBAC(1)如图 2-7(a)，BD、CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点 A 作 AD 上 BD、AECE，垂足分别为 D、E，连接 DE. 求证：DEBC，DE=21(AB+BC+AC) ；图2-7（a）DEABC(2)如图 2-7(b)，BD、CE 分别是 ABC 的内角平分线，其它条件不变；图2-7（b）FGDEABC(3)如图 2-7(c)，BD 为ABC 的内角平分线， CE为ABC 的外角平分线，其它条件不变，则在图 2-7(b)、图 2-7(c)两种情况下， DE 与 BC 还平行吗？
7、它与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。图2-7（ c）FDECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 变式如图 2-8，在ABC 中，AB=3AC, BAC 的平分线交 BC 于点 D，过点 B 作 BEAD，垂足为 E，求证：AD=DE 图2-8CDAEB例 6 如图 2-9(a)，AB=AC ，BD，CD 分别平分 ABC，ACB.问：(l)图 2-9(a)中有几个等腰三角形？图 2-9（a）DABC图2-9（b）FEDABC(2)过 D 点作 EFBC， 如图 2-
8、9(b)， 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，图中又增加了几个等腰三角形？(3)如图 2-9(c)，假设将题中的 ABC 改为不等边三角形，其他条件不变， 图中有几个等腰三角形？直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么关系？图2-9（c）FEDABC(4)如图 2-9(d)，BD 平分 ABC，CD 平分外角ACG. DEBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F 线段EF 与 BE、CF 有什么关系？并说明理由图2-9（d）FEDCBAG(5)如图 2-9(e)，BD、CD 为外角 CBM、BCN的平分线， DEBC 交 AB 延长线于点 E，交 AC延长线于点 F，直接写出线段
9、EF 与 BE、CF 有什么关系？图2-9（e）MNDABC例 7 如图 2-10(a)所示，已知 ABC 中，AC=BC，C=90，AD 平分 CAB，求证： AB=ACD 图2-10（a）21DACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 变式 1 如图 2-11 所示，已知 ABC 中，AB=AC ，A=108，BD 平分 ABC. 求证：BC=AB CD. 图2-11DABC变式 2 如图 2-12，已知 ABC 中，AB=AC ，A=IOO，BD 平分 ABC，求证：BC=BDAD. 图2-12DABC例 8
10、 如图 2-13(a)，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形，图2-13(a)OPMN请你参考上图构造全等三角形的方法， 解答以下问题：(1)如图 2-13(b)，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F.请你判断写出 FE 与 FD之间的数量关系；图2-13(b)DEFABC(2)如图 2-13(c)，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (l)中的其他条件不变，请问，你在1中所得结论是否依然成立？假设成立请证明；假设不成立，请说明理由图2-13（c）DEFCAB精选学习资
11、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 牛刀小试(l)如图 2-14 (a)，在 ABC 中， ABC 与ACB的角平分线相交于点F，过点 F 作 DFBC，交AB 于点 D，交 AC 于点 E，假设 BD+CE=9，则线段 DE 之长为图2-14(a)EDFCBA(2)如图 2-14(b)，在ABC 中，BD、CD 分别平分ABC 和ACB，DEAB，FDAC.，BC=6，求DEF 的周长，图2-14(b)FEDABC2.已知：如图2-15，BAD= CAD ，ABAC ，CDAD 于点 D.H 是 BC 中点求证：DH21(
12、ABAC). 图2-15HDCBA3、已知如图2-16，四边形ABCD 中， B+D=180，BC=CD. 求证： AC 平分 BAD. 图2-16CABD4.如图 2-17，ABC 的外角 /ACD 的平分线 CP 与内角 ABC 的平分线 BP 交于点 P， 连接 AP、 CP，假设 BPC=40。 ，求 CAP 的度数图2-17PABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 5.已知：如图 2-18， 在四边形中，BCAB， AD=CD，BD 平分 ABC. 求证： A+C=180图2-18DABC6.在平行四边
13、形 ABCD 中， BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F. (1)在图 2-19(a)中证明 CECF；图2-19(a)EFCADB(2)假 设 ABC=90 ， G 是 EF 的中 点( 如图2-19(b ，直接写出 BDG 的度数；图2-19(b)GFECBDA(3)假设 ABC= 120，FGCE，FG=CE，分别连接 DB、DG(如图 2-19c ，求 BDG 的度数图2-19(c)GEFCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 7.已知：如图 2-20，在 ODC 中， D 一 90，EC 是DCO 的角平分线，且OE CE，过点 E作 EFOC 交 OC 于点 F.猜想：线段 EF 与 OD 之间的关系，并证明图2-20FECOD8.已知：如图 2-21，在四边形 ABCD 中，AB+BCCDDA，ABC 的外角角平分线与 CDA 的外角平分线交于点P，求证： APB=CPD. 图2-21PMCNABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
