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1、1 第二讲角平分线模型的构造3 月角平分线(l)定义:如图 2-1,如果 AOBBOC,那么AOC=2AOB=2BOC,像 OB 这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线图2-1(2)角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线, 那么它把这个角分成两个相等的角,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(3)角平分线的判定定理在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角, 那么这条射线是这个角的平分线,在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,与角平分线有关的常用辅助线作法, 即角平分线的四大基本模型,已知 P 是
2、MON 平分线上一点,(l)假设 PAOM 于点 A,如图 2-2(a),可以过 P点作 PBON 于点 B,则 PB=“图中有角平分线,可向两边作垂线”(a)BAOPMN(b)BOPMNA(2)假设点 A 是射线 OM 上任意一点, 如图 2-2(b),可以在 ON 上截取 OB=OA , 连接 PB,构造 OPB“ 图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”(3)假设 APOP 于点 P,如图 2-2(c),可以延长AP 交 ON 于点 B,构造 AOB 是等腰三角形, P是底边 AB 的中点,可记为“角平分线加垂线, 三线合一试试看”(c)BAOPMN(d)QOPMN(4)假设过
3、P 点作 PQON 交 OM 于点 Q,如图2-2(d), 可以构造 POQ是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现” 例 1 (1)如图 2-3(a),在 ABC 中, C=90。 ,AD 平分CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm. 图2-3(a)DABC(2)如图 2-3(b),已知: 1=2,3=4,求证: AP 平分 BAC图2-3(b)4321PABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 例 2 如图 2-4(a),RtABC 中, ACB=90,CDA
4、B,垂足为 D. AF 平分 CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F 求证: CE= CF. C图2-4(a)EFDAB将图 2-4(a)中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A,D,E,的位置,使点 E,落在 BC 边上,其它条件不变,如图 2-4(b)所示试猜想: BE与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论C图2-4(b)ADEEFDAB例 3 阅读以下学习材料:如图 2-5(a)所示, OP平分 MON,A 为 OM 上一点,C 为 OP 上一点,连接 AC,在射线 ON 上截取 OB =OA,连接 BC(如图 2-5(b),易证 AOCBOC. 图2-5(a)MONCAP图2
5、-5(b)BNOMCAP请根据上面的学习材料,解答以下各题:(l)如图 2-5(c)所示,在ABC 中,AD 是BAC 的外角平分线, P 是 AD 上异于点 A 的任意一点, 试比较 PB+PC与 AB+AC 的大小,并说明理由图2-5(c)DCBA(2)如图 2-5(d)所示, AD 是ABC 的内角平分线,其它条件不变, 试比较 PC PB 与 ACAB 的大小,并说明理由图2-5( d)DABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 例 4 如图 2-6(a),已知等腰直角三角形ABC 中,A=90,AB=A
6、C ,BD 平分 ABC,CEBD,垂足为点 E,求证:BD=2CE. 图2-6(a)DEBAC(1)如图 2-7(a),BD、CE 分别是 ABC 的外角平分线,过点 A 作 AD 上 BD、AECE,垂足分别为 D、E,连接 DE. 求证:DEBC,DE=21(AB+BC+AC) ;图2-7(a)DEABC(2)如图 2-7(b),BD、CE 分别是 ABC 的内角平分线,其它条件不变;图2-7(b)FGDEABC(3)如图 2-7(c),BD 为ABC 的内角平分线, CE为ABC 的外角平分线,其它条件不变,则在图 2-7(b)、图 2-7(c)两种情况下, DE 与 BC 还平行吗?
7、它与 ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。图2-7( c)FDECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 变式如图 2-8,在ABC 中,AB=3AC, BAC 的平分线交 BC 于点 D,过点 B 作 BEAD,垂足为 E,求证:AD=DE 图2-8CDAEB例 6 如图 2-9(a),AB=AC ,BD,CD 分别平分 ABC,ACB.问:(l)图 2-9(a)中有几个等腰三角形?图 2-9(a)DABC图2-9(b)FEDABC(2)过 D 点作 EFBC, 如图 2-
8、9(b), 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,图中又增加了几个等腰三角形?(3)如图 2-9(c),假设将题中的 ABC 改为不等边三角形,其他条件不变, 图中有几个等腰三角形?直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么关系?图2-9(c)FEDABC(4)如图 2-9(d),BD 平分 ABC,CD 平分外角ACG. DEBC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F 线段EF 与 BE、CF 有什么关系?并说明理由图2-9(d)FEDCBAG(5)如图 2-9(e),BD、CD 为外角 CBM、BCN的平分线, DEBC 交 AB 延长线于点 E,交 AC延长线于点 F,直接写出线段
9、EF 与 BE、CF 有什么关系?图2-9(e)MNDABC例 7 如图 2-10(a)所示,已知 ABC 中,AC=BC,C=90,AD 平分 CAB,求证: AB=ACD 图2-10(a)21DACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页5 变式 1 如图 2-11 所示,已知 ABC 中,AB=AC ,A=108,BD 平分 ABC. 求证:BC=AB CD. 图2-11DABC变式 2 如图 2-12,已知 ABC 中,AB=AC ,A=IOO,BD 平分 ABC,求证:BC=BDAD. 图2-12DABC例 8
10、 如图 2-13(a),OP 是MON 的平分线,请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形,图2-13(a)OPMN请你参考上图构造全等三角形的方法, 解答以下问题:(1)如图 2-13(b),在ABC 中,ACB 是直角,B=60,AD、CE 分别是 BAC、BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F.请你判断写出 FE 与 FD之间的数量关系;图2-13(b)DEFABC(2)如图 2-13(c),在ABC 中,如果 ACB 不是直角,而 (l)中的其他条件不变,请问,你在1中所得结论是否依然成立?假设成立请证明;假设不成立,请说明理由图2-13(c)DEFCAB精选学习资
11、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页6 牛刀小试(l)如图 2-14 (a),在 ABC 中, ABC 与ACB的角平分线相交于点F,过点 F 作 DFBC,交AB 于点 D,交 AC 于点 E,假设 BD+CE=9,则线段 DE 之长为图2-14(a)EDFCBA(2)如图 2-14(b),在ABC 中,BD、CD 分别平分ABC 和ACB,DEAB,FDAC.,BC=6,求DEF 的周长,图2-14(b)FEDABC2.已知:如图2-15,BAD= CAD ,ABAC ,CDAD 于点 D.H 是 BC 中点求证:DH21(
12、ABAC). 图2-15HDCBA3、已知如图2-16,四边形ABCD 中, B+D=180,BC=CD. 求证: AC 平分 BAD. 图2-16CABD4.如图 2-17,ABC 的外角 /ACD 的平分线 CP 与内角 ABC 的平分线 BP 交于点 P, 连接 AP、 CP,假设 BPC=40。 ,求 CAP 的度数图2-17PABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页7 5.已知:如图 2-18, 在四边形中,BCAB, AD=CD,BD 平分 ABC. 求证: A+C=180图2-18DABC6.在平行四边
13、形 ABCD 中, BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F. (1)在图 2-19(a)中证明 CECF;图2-19(a)EFCADB(2)假 设 ABC=90 , G 是 EF 的中 点( 如图2-19(b ,直接写出 BDG 的度数;图2-19(b)GFECBDA(3)假设 ABC= 120,FGCE,FG=CE,分别连接 DB、DG(如图 2-19c ,求 BDG 的度数图2-19(c)GEFCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页8 7.已知:如图 2-20,在 ODC 中, D 一 90,EC 是DCO 的角平分线,且OE CE,过点 E作 EFOC 交 OC 于点 F.猜想:线段 EF 与 OD 之间的关系,并证明图2-20FECOD8.已知:如图 2-21,在四边形 ABCD 中,AB+BCCDDA,ABC 的外角角平分线与 CDA 的外角平分线交于点P,求证: APB=CPD. 图2-21PMCNABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页