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1、学习必备欢迎下载初三数学直线形知识精讲一. 本周教学内容:直线形直线形是初中平面几何的基础知识,其中三角形是构成多边形的基础图形,而全等三角形的知识更为重要。全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。例 1. 已知,如图,ABC中, AD是高, CE是中线, DC=BE ,DG CE,G是垂足,求证:(1)G是 CE的中点;(2) B=2BCE 。分析:(1)欲证 G是 CE中点,即EG=CG ,由条件 DG CE ,所以只须证DG所在直线为CE中垂线,想到要连结DE ,证出 DEC为等腰三角形。即 DE=CD 即可,由已知条件DC=BE=EA , ABD为直
2、角三角形,DE=BE=DC,则此题得到解决。(2)由第( 1)问知: DC=DE , BDE= DEC+ DCE=2 DCE 由 BE=DE , B=BDE=2 DCE 。证明:(1)连结 DE , ADB=90 , E是 AB中点, DE=AE=BE 又 DC=BE , DC=DE 又 DG EC于 G , G是 EC中点(2) DE=DC , DCE= DEC EDB= DEC+ DCE=2 DCE ,又 DE=BE , B=EDB B=2BCE 例 2. 如图, ABC中, AB=AC ,D、E、F 分别为 AB、BC 、CA上的点,且BD=CE ,DEF= B,求证: DEF是等腰三角
3、形。分析: 从已知条件入手,由AB=AC ,可得 B=C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载 DEF= B, DEF= B=C 又 BEF=C+ EFC (三角形外角等于不相邻的两内角和)又 BEF=BED+ DEF BED= EFC ,从而得到BDE CEF DE=EF ,即 DEF是等腰三角形。证明: DBE和 ECF中, BD=CE ,AB=AC , B=C 又 BEF= BED+ DEF= C+EFC , DEF= B BED= EFC BDE CEF , DE=EF DEF是等腰三角形。例
4、3. 已知,如图,在 ABC中, (AB AC ) ,D、E在 BC中,且 DE=EC ,过 D作 DFBA交 AE于点 F,DF=AC ,求证: AE平分 BAC 。分析: DF=AC ,而 DF、AC不在同一三角形中,也不在全等的两个三角形中,所以想到通过证三角形全等把 DF与 AC移动到同一三角形中,由DE=EC ,即 E是 DC中点,延长FE到 G,使 EG=EF ,可得到 DEF CEG ,进而得到CG=DF=AC, G= GAC ,又可得到GC DF AB , G= BAG , BAG= GAC ,即 AG平分 BAC 证明: 延长 FE到 G ,使 EG=EF ,连结 CG 在
5、DEF和 CEG 中, ED=EC , DEF= CEG ,FE=EG DEF CEG , DF=GC , DFE= G DFAB, DFE= BAE DF=AC , GC=AC , G= CAE BAE= CAE ,即 AE平分 BAC 。例 4. 如图,已知AD是 ABC的中线, BE交 AC于点 E,交 AD于点 F,且 AE=EF ,求证: AC=BF 。分析: 要证的两条线段AC 、BF不在两个能全等的三角形中,因此证 AC=BF较困难,于是想到通过添加辅助线,把AC 、BF转化到一个三角形中。由于AD是中线,所以常采用倍长中线的方法添加辅助线,再通精选学习资料 - - - - -
6、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载过全等三角形的证明得到结论,类似于上一题。证明: 延长 AD到 H,使 DH=AD ,连结 BH AD是 ABC的中线, BD=DC 又 BDH= CDA ,DH=AD BDH CDA BH=CA , H= DAC AE=EF , FAE= AFE 又 AFE=BFD , H=BFD BH=BF , BF=AC 例 5. 如图,在等腰RtABC中, C=90 , D是斜边 AB上任一点, AECD于 E,BFCD交 CD的延长线于 F,CH AB于 H点,交 AE于 G ,求证: BD=CG 分析:
7、由于 BD与 CG分别在两个三角形中,欲证BD与 CG相等,设法证CGE BDF ,由于全等条件不足,所以考虑先证AEC CFB ,进而得到证CGE BDF的条件。证明: 在 RtAEC与 RtCFB中AC=CB ,AE CD于 E,BFCD交 CD的延长线于F, AEC= CFB=90 又 ACB=90 , CAE=90 ACE= BCF RtAEC Rt CFB , CE=BF 在 Rt BFD和 RtCEG 中, F=GEC=90 , CE=BF FBD=90 FDB=90 CDH= ECG ,RtBFD Rt CEG BD=CG 例 6. 已知:如图,ABC中, BAC=120 , A
8、B=3 ,AC=2 , BAC的平分线交BC于 D,求 AD的长。分析:此题图形虽然简洁,但内涵很丰富。由已知条件,可由BAC=120 ,AD平分 BAC得到 BAD=CAD=60 。但没有特殊三角形,如直角三角形或等边三角形,所以要求AD的长,只能另想办法。这时我们想到要构造平行线,利用比例性质去求。常利用一个公式“角平分线平行线等腰三角形”。+解:法一: 过 D作 AC的平行线交AB于 E,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载AD平分 BAC BAD= CAD=60 又 EDA= CAD=60 AE
9、D是等边设 AD=x 则 AE=DE=x , BE=3 x 又,DEACBEABxx233,即xAD6565法二: 过 C作 AD的平行线交BA的延长线于F, BAD= CAD= F=ACF=60 ACF是等边三角形。AF=CF=2 ,BF=3+2=5 ADCFBABF即,ADAD23565法三: 过 B作 AC的平行线,交AD的延长线于P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载则 BAP= CAD= P=60 ABP为等边三角形设 AD=x 则 DP=3 x, BP=3 又 BPD CAD BPACPD
10、AD即323xx,即xAD6565例 7. 已知:中,求的长。ABCBC = 6AC = 6 3AAB30分析: 此题没有给出图形,自己画图时,便要考虑它的特点,题中给出了三角形的两边长及一条边的对角,因此需要分两种情况讨论,分别求解。解: 如下两图,作CD AB于 D,在 Rt ACD中,A = 30AC = 6 3CDACAACsin123 3又 BC=6 , BCCD 点 D落在 AB边上,或点 D落在 AB的延长线上(1)当 D落在 AB边上时,在 Rt ACD中,AAC306 3CDAC123 3ADACCD229在 Rt BCD中DBBCCD223AB=AD+DB=9+3=12 精
11、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载(2)当点 D落在 AB的延长线上时, AD=9,BD=3 ABADBD936AB的长为 12 或 6。一、填空: 1. 等腰三角形的两条边长分别为2cm和 5cm ,则该等腰三角形的周长为_。 2. 一个三角形三边的长分别为8,10, x,则 x 的取值范围是_。 3. 如图, ABC中, AB=AC ,ADBC于 D,AE=AF ,则图中全等三角形共有_对。 4. 已知,在 ABC中, C=80, A B=20,则 B的度数是 _。二、解答题: 5. 已知:如图,A
12、BC中,点 E,F分别在 AB ,AC边上,点D是 BC边中点,且EF BC , DE=DF ,求证:AB=AC 。 6. 如图,在 ABC中,已知AB=AC , BAC=90 , D是 BC上一点, ECBC ,EC=BD ,DF=FE ,求证: (1) ABD ACE ;(2)AF DE 。 7. 如图,在 Rt ABC中, C=90, M是 AB中点, AM=AN ,MN AC ,求证: MN=AC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载 8. 如图, ABC中, ADBC于 D, B=60, C
13、=45 , BC3,求SABC。 9. 已知:如图,在RtABC中, ACB=90 , AC=BC ,D为 BC的中点, CEAD ,垂足为点E, BF AC交CE的延长线于点F,求证: AB垂直平分DF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载 参考答案 一、填空题 1. 12cm 2. 2x18 3. 4 4. 40二、解答题: 5. 证明: DE=DF , 1=3 EFBC, 1=2, 3=4 2= 4 在 DBE和 DCF中,DBDCDEDF24 DBE DCF B= C, AB=AC 6. (1)
14、 AB=AC , ABC= ACB 又 BAC=90 , B= ACB=45 又 EC BC , ECB=90 , ECA=45 又 BD=CE , ABD ACE (2) ABD ACE , AD=AE 又 DF=FE , AF DE 7. 连结 CM , C=90, M是 AB的中点,AM=MB=MC, 1=2 MN AC, 2=3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载AM=AN , 3=N, 1=2=3= N 又 4=180 3 N 在 ABC中, 1+2+5=180 5=180 1 2=180
15、3 N 5= 4, AMN MAC , MN=AC 。 8. 设 AD=x , AD=DC=x BD3x, B=60tan()BADBDxxx333231,SBCADABC12943 34。 9. 证明: (简证) CAD+ CDE=90 CDE+ DCE=90 , CAD= BCF BFAC, CBF=180 ACB=90 ACD= CBF , AC=BC , ACD CBF CD=BF , BD=BF , BDF为等腰三角形, DBA= CAB=45 , ABF= CAB= DBA=45 AB垂直平分DF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页