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1、第七节 数学归纳法三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.了解数学归纳法的原理及其使用范围；了解数学归纳法的原理及其使用范围；2.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. .1.1.归纳归纳猜想猜想证明仍是高考的重点；证明仍是高考的重点；2.2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；汇处命题；3.3.题型以解答题为主，难度中等偏上题型以解答题为主，难度中等偏上. .数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的命题，可按以下步骤有关的命题，可按以下步骤: :
2、(1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )证明当证明当n n取取_(n_(n0 0NN+ +) )时命题成立时命题成立; ;(2)(2)(归纳递推归纳递推) )假设假设n=k(knn=k(kn0 0,kN,kN+ +) )时命题成立，证明当时命题成立，证明当_时命题也成立时命题也成立. .只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n n0 0开始的所有正整开始的所有正整数数n n都成立都成立. .第一个值第一个值n n0 0n=k+1n=k+1【即时应用即时应用】判断下列各说法是否正确判断下列各说法是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”) )(1)
3、(1)用数学归纳法验证第一个值用数学归纳法验证第一个值n n0 0, ,则则n n0 0必定为必定为1. ( )1. ( )(2)(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( ). ( )(3)(3)应用数学归纳法证明凸应用数学归纳法证明凸n n边形的对角线为边形的对角线为 n(n-3)n(n-3)条时，第条时，第一步是检验一步是检验n n等于等于3. ( )3. ( )(4)(4)用数学归纳法证明用数学归纳法证明“1+2+21+2+22 2+ +2+2n+2n+2=2=2n+3n+3-1-1”时，验证时，验证n=1n=1时时, ,左边式子应为左边式子应为1+2
4、+21+2+22 2. ( ). ( )【解析解析】(1)(1)错误错误. .有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是不是1 1，可能为，可能为2 2，3 3，4 4等等. .(2)(2)正确正确. .数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推第二步是归纳递推. .(3)(3)正确正确. .第一步检验第一步检验n=3,n=3,即三角形的对角线条数为即三角形的对角线条数为0.0.(4)(4)错误错误. .验证验证n=1n=1时，左边式子应为时，左边式子应为1+2+21+2+22 2+2+
5、23 3. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (4) (2) (3) (4) 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式【方法点睛方法点睛】用数学归纳法证明等式的规则用数学归纳法证明等式的规则(1)(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据依据. .(2)(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值并注意初始值n n0 0是多少是多
6、少, ,同时第二步由同时第二步由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时要充分利用时要充分利用假设，不利用假设，不利用n=kn=k时的假设去证明，就不是数学归纳法时的假设去证明，就不是数学归纳法. . 【例例1 1】(2012(2012烟台模拟烟台模拟) )是否存在常数是否存在常数a,b,ca,b,c，使得等式，使得等式(n(n2 2- -1 12 2)+2(n)+2(n2 2-2-22 2)+)+n(n+n(n2 2-n-n2 2)=an)=an4 4+bn+bn2 2+c+c对一切正整数对一切正整数n n都成立？若都成立？若存在，求出存在，求出a,b,ca,b,c的值；若不存在，说明理由的值
7、；若不存在，说明理由. .【解题指南解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得在，利用特值求得a a、b b、c c的值，而后用数学归纳法证明的值，而后用数学归纳法证明. .【规范解答规范解答】假设存在假设存在a a、b b、c c使得所给等式成立使得所给等式成立. .令令n=1,2,3n=1,2,3代入等式得代入等式得 解得解得以下用数学归纳法证明等式以下用数学归纳法证明等式(n(n2 2-1-12 2)+2(n)+2(n2 2-2-22 2)+)+n(n+n(n2 2-n-n2 2) ) 对一切正整数对一切正整数n n都成
8、立都成立. .(1)(1)当当n=1n=1时，由以上可知等式成立时，由以上可知等式成立; ; (2)(2)假设当假设当n=kn=k时，等式成立，即时，等式成立，即(k(k2 2-1-12 2)+2(k)+2(k2 2-2-22 2)+)+k(k+k(k2 2-k-k2 2) ) 则当则当n=k+1n=k+1时，时，(k+1)(k+1)2 2-1-12 2+2+2(k+1)(k+1)2 2-2-22 2+ +k+k(k+1)(k+1)2 2-k-k2 2+(k+1)+(k+1)(k+1)(k+1)2 2-(k+1)-(k+1)2 2=(k=(k2 2-1-12 2)+2(k)+2(k2 2-2-
9、22 2)+)+k(k+k(k2 2-k-k2 2)+(2k+1)+2(2k+1)+)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)+k(2k+1)由由(1)(1)、(2)(2)知，等式对一切正整数知，等式对一切正整数n n都成立都成立. .【反思反思感悟感悟】1.1.对于开放式的与对于开放式的与n n有关的等式证明问题，一般有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用是先假设结论成立，利用n n的前几个取值求参数，而后用数学归的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明纳法证明. .2.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假归纳假设
10、设”已经成了已知条件，已经成了已知条件，“n=k+1n=k+1时结论正确时结论正确”则是求证的目标，则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明归纳假设后的式子进行变形、证明. . 用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)(1)当遇到与正整数当遇到与正整数n n有关的不等
11、式证明时，应用其他办法不容有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法易证，则可考虑应用数学归纳法. .(2)(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由n=kn=k成立，推证成立，推证n=k+1n=k+1时时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差差( (求商求商) )比较法、放缩法等证明比较法、放缩法等证明. . 【例例2 2】由下列不等式：由下列不等式： , ,你能得你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明到一个怎样的一般不等式？并加以证明. .【解题指南解题指南】由已知条
12、件不难猜想到一般不等式，关键是证明，由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由证明时由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时可采用放缩法时可采用放缩法. .【规范解答规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第根据给出的几个不等式可以猜想第n n个不等式，即个不等式，即一般不等式为：一般不等式为：用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：(1)(1)当当n=1n=1时，时，1 ,1 ,猜想成立；猜想成立；(2)(2)假设当假设当n=kn=k时，猜想成立，即时，猜想成立，即则当则当n=k+1n=k+1时，时，即当即当n=k+1n=k+1时，猜想也正确，所以对任意的时，猜想也正确，所以对任
13、意的nNnN+ +，不等式都成立，不等式都成立. .【反思反思感悟感悟】1.1.本例在由本例在由n=kn=k到到n=k+1n=k+1这一步变化中，不等式这一步变化中，不等式左边增加了左边增加了 即增加了即增加了2 2k k项，这一项，这一点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出. .2.2.当当n=k+1n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常
14、用方法，应用时要注意是放大还是此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是缩小缩小. . 归纳归纳猜想猜想证明类问题证明类问题【方法点睛方法点睛】归纳归纳猜想猜想证明类问题的解题步骤证明类问题的解题步骤(1)(1)利用数学归纳法可以探索与正整数利用数学归纳法可以探索与正整数n n有关的未知问题、存在有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是性问题，其基本模式是“归纳归纳猜想猜想证明证明”，即先由合情推，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. .(2)(2)“归纳归纳猜想猜想证明证明”的基本步骤是的基本步骤是
15、“试验试验归纳归纳猜想猜想证明证明”. .高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题. . 【例例】(2012(2012南京模拟南京模拟) )已知数列已知数列aan n 满足满足S Sn n+a+an n=2n+1.=2n+1.(1)(1)写出写出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,并推测并推测a an n的表达式；的表达式；(2)(2)用数学归纳法证明所得的结论用数学归纳法证明所得的结论. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n, ,且且S Sn n+a+an n=2n+1,=2n+1,
16、代入代入n=1,2,3n=1,2,3得得a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，从而猜想，从而猜想a an n. .(2)(2)应用数学归纳法证明时，要利用应用数学归纳法证明时，要利用n=kn=k的假设去推证的假设去推证n=k+1n=k+1时成时成立立. .【规范解答规范解答】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3分别代入可得分别代入可得(2)(2)由由(1)(1)得得n=1n=1时，命题成立；时，命题成立；假设假设n=kn=k时，命题成立，即时，命题成立，即那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，a a1 1+a+a2 2+ +a+ak k+a+ak+1k+1+a+ak+1k+1=2
17、(k+1)+1,=2(k+1)+1,且且a a1 1+a+a2 2+ + +a ak k=2k+1-a=2k+1-ak k, ,2k+1-a2k+1-ak k+2a+2ak+1k+1=2(k+1)+1=2k+3,=2(k+1)+1=2k+3,2a2ak+1k+1=2+2- ,a=2+2- ,ak+1k+1=2- ,=2- ,即当即当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立. .根据根据、得得, ,对一切对一切nNnN+ +,a,an n= = 都成立都成立. .【反思反思感悟感悟】“归纳归纳猜想猜想证明证明”是不完全归纳法与数学归是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在
18、解探索性问题、存在性问纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求题时起着重要的作用，特别是在数列中求a an n,S,Sn n时更是应用频繁时更是应用频繁. .【满分指导满分指导】数学归纳法解答题的规范解答数学归纳法解答题的规范解答【典例典例】(13(13分分)(2012)(2012泉州模拟泉州模拟) )设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,并且满足并且满足2S2Sn n= +n,a= +n,an n0(nN0(nN+ +).).(1)(1)猜想猜想aan n 的通项公式，并用数学归纳法加以证明的通项公式，并用数学
19、归纳法加以证明. .(2)(2)设设x0,y0,x0,y0,且且x+yx+y=1,=1,证明：证明：【解题指南解题指南】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3代入已知等式得代入已知等式得a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，从而可猜，从而可猜想想a an n, ,并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明. .(2)(2)利用分析法，结合利用分析法，结合x0,y0,x+y=1,x0,y0,x+y=1,利用基本不等式可证利用基本不等式可证. .【规范解答规范解答】(1)(1)分别令分别令n=1,2,3,n=1,2,3,得得a an n0,a0,a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=2,a3
20、 3=3.=3.猜想：猜想：a an n=n. =n. 2 2分分由由2S2Sn n= +n = +n 可知，当可知，当n2n2时，时，2S2Sn-1n-1= +(n-1) = +(n-1) -,-,得得即即 3 3分分()()当当n=2n=2时，时， =2a=2a2 2+1+12 2-1,-1,aa2 20,a0,a2 2=2. =2. 4 4分分()()假设当假设当n=k(k2)n=k(k2)时，时，a ak k=k,=k,那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，a ak+1k+1-(k+1)-(k+1)a ak+1k+1+(k-1)+(k-1)=0,=0,aak+1k+10,k2,a0,
21、k2,ak+1k+1+(k-1)0,+(k-1)0,aak+1k+1=k+1.=k+1.即当即当n=k+1n=k+1时也成立时也成立. . 6 6分分a an n=n(n2).=n(n2).显然显然n=1n=1时，也成立，故对于一切时，也成立，故对于一切nNnN+ +，均有，均有a an n=n. =n. 7 7分分(2)(2)要证要证只要证只要证 8 8分分即即n(x+y)+2+ 2(n+2),n(x+y)+2+ 2(n+2),将将x+yx+y=1=1代入，得代入，得即只要证即只要证4(n4(n2 2xy+n+1)(n+2)xy+n+1)(n+2)2 2, ,即即4xy1. 4xy1. 10
22、10分分x0,y0,x0,y0,且且x+yx+y=1,=1,即即xyxy , ,故故4xy14xy1成立，所以原不等式成立成立，所以原不等式成立. . 1313分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议： 失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分在解答本题时有两点容易造成失分: :(1)(1)在代入在代入n=1,2,3n=1,2,3时，不能准确求得时，不能准确求得a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，从而猜想不，从而猜想不出出a an n. .(2)(2)证明不等式时，不会应用证明
23、不等式时，不会应用x+yx+y=1=1这一条件代换，导致无这一条件代换，导致无法证明不等式成立法证明不等式成立. .备备考考建建议议解决数学归纳法中解决数学归纳法中“归纳归纳猜想猜想证明证明”问题及不等式证问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难难. .(2)(2)证明证明n=kn=k到到n=k+1n=k+1这一步时，忽略了假设条件去证明，这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法造成不是纯正的数学
24、归纳法. .(3)(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证合法来求证. .另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题有这样，才能快速正确地解决问题. .1.(20121.(2012南阳模拟南阳模拟) )用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式1+2+3+1+2+3+(n+3)=+(n+3)= (nN (nN+ +) )时，第一步验证时，第一步验证n=1n=1时，左边应取的项是时，左边应取的项是 ( )( )(A)1 (B)1+2(A)1 (
25、B)1+2(C)1+2+3 (D)1+2+3+4(C)1+2+3 (D)1+2+3+4【解析解析】选选D.D.当当n=1n=1时，左边是时，左边是1+2+3+41+2+3+4，是由，是由1 1加到加到n+3n+3，故选，故选D.D.2.(20122.(2012上海交大附中模拟上海交大附中模拟) )用数学归纳法证明用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)( (n+nn+n)=2)=2n n1 13 3(2n-1)(2n-1)，从，从k k到到k+1k+1，左边需，左边需要增乘的代数式为要增乘的代数式为( )( )(A)2k+1 (B)2(2k+1)(A)2k+1 (B)2(2k+
26、1)(C) (D)(C) (D)【解析解析】选选B.B.当当n=kn=k时，左边为时，左边为(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)( (k+kk+k),),而当而当n=k+1n=k+1时，左边时，左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)(k+k)(2k+1)(2k+2)，左边增乘的式子为左边增乘的式子为3.(20123.(2012盐城模拟盐城模拟) )利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式 的过程中，用的过程中，用n=k+1n=k+1时左边时左边的代数式减去的代数式减去n=kn=k时左边的代数式的结果为时左边的代数式的结果为_._.【解析解析】当当n=kn=k时，左边的代数式为时，左边的代数式为 而当而当n=k+1n=k+1时，时，左边的代数式为左边的代数式为相减是相减是答案：答案：
