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1、学习必备欢迎下载等差数列的前n 项和例题解析【例 1】等差数列前10 项的和为140,其中, 项数为奇数的各项的和为125,求其第6 项解依题意,得10ad = 140aaaaa = 5a20d =125113579110 1012()解得 a1=113,d=22 其通项公式为an=113(n1)( 22)=22n135 a6=22 61353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的这种先求出基本元素, 再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d,也可以不必求出an而直接去求,所列方程组化简后可得相减即得,a2a9d = 28a4d
2、= 25a5d = 36111即 a63可见,在做题的时候,要注意运算的合理性当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提【例 2】在两个等差数列2,5,8, 197 与 2, 7,12, 197中,求它们相同项的和解由已知,第一个数列的通项为an3n1;第二个数列的通项为bN=5N 3 若 ambN,则有 3n 15N3 即 nN213()N若满足 n 为正整数,必须有N3k 1(k 为非负整数 )又 25N3 197,即 1N 40,所以N1,4,7, 40 n=1, 6,11, 66 两数列相同项的和为21732 197=1393 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
3、归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习必备欢迎下载【例 3】选择题:实数a,b,5a,7,3b, c组成等差数列,且ab5a73b c 2500,则 a,b,c 的值分别为 A1,3,5 B1,3,7C1,3, 99 D1, 3,9 解 C2b = a5ab = 3a由题设又145a 3b,a1,b 3 首项为1,公差为2 又 S = nad 2500= n2 n50n1n nn n()()1212a50=c=1 (501)2=99 a 1,b3,c99 【例 4】在 1 和 2 之间插入2n 个数, 组成首项为1、末项为 2 的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后
4、半部分的和之比为913,求插入的数的个数解依题意 21(2n21)d 前半部分的和后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知,有化简,得解之,得SSnndnndndndnn111 121 229131222913()()()() nd =511由,有 (2n 1)d=1 由,解得,d =111n = 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习必备欢迎下载 共插入 10 个数【例 5】在等差数列 an中,设前 m 项和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 SmSn,mn,求
5、Sm+n解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn)a(mn1)dm+n11 1212且 SmSn,mn整理得 mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1) = 011112122d即 由 ,知 (mn)a(mn1)d = 0mna(mn1)d0111212Sm+n0【例6】已知等差数列 an中, S3=21, S6=64,求数列 |an|的前n项和 Tn分析nS = nadan11等差数列前项和,含有两个未知数,n n()12d,已知 S3和 S6的值,解方程组可得a1与 d,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则可求出Tn来解dSnad3a3d = 21ba15d = 24n
6、111设公差为,由公式得n n() 12解方程组得:d 2,a19精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页学习必备欢迎下载an 9(n1)(n2) 2n11 由得 ,故数列的前项为正,a2n110 n= 5.5a 5nn112其余各项为负数列an的前 n 项和为:S9n(2) =n10nn2n n()12当 n5 时, Tn n2 10n当 n6 时, TnS5|SnS5| S5(Sn S5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50 即T=n10n n5n10n50 n6n*n22N说明根据数列 an 中
7、项的符号,运用分类讨论思想可求|an|的前n项和【例 7】在等差数列 an 中,已知a6a9a12a1534,求前20 项之和解法一由 a6 a9a12 a1534 得 4a138d34 又S20ad2012019220a1190d5(4a138d)=5 34=170 解法二 S=(a + a)202= 10(aa)20120120由等差数列的性质可得:a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习必备欢迎下载S20170 【例 8】已知等差数列 an的公差是正数,且a3a
8、7=12,a4a6=4,求它的前20 项的和 S20的值解法一设等差数列 an的公差为d,则 d0,由已知可得(a2d)(abd)12 a3da5d =4 1111由,有a1 24d,代入,有d2=4再由 d0,得 d2 a1=10 最后由等差数列的前n 项和公式,可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得:a4a6a3a7即 a3a7 4 又 a3a7=12,由韦达定理可知:a3,a7是方程 x24x120 的二根解方程可得x1=6,x22 d0 an是递增数列a3 6,a7=2 d =a= 2a10S1807120a373,【例 9】等差数列 an、 bn 的前 n 项和分别为Sn和
9、Tn,若STnnabnn231100100,则等于 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习必备欢迎下载A1BCD23199299200301分析nS=n(a +a )nn1n该题是将与发生联系,可用等差数列的前项和公式把前 项和的值与项的值进行联系abSTnnnn1001002312解法一,Sn aaTn bbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()111111222312a100a1 a199,2b100b1b199选abab100100199199=ab=21993199 +1=199299C11解
10、法二利用数列 an为等差数列的充要条件:Sn an2bn STnnnn231可设 Sn2n2k,Tnn(3n1)kabSSTTn knknnknnknnnnabnnnnnn1122100100221311 311426221312100131001199299()()() ()说明该解法涉及数列an 为等差数列的充要条件Sn=an2bn,由已知,将和写成什么?若写成,STnnnn231STS= 2nkT = (3n1)knnnnk 是常数,就不对了【例 10】解答下列各题:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页学习必备
11、欢迎下载(1)已知:等差数列an 中 a23,a6 17,求 a9;(2)在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数;(3)已知:等差数列an 中, a4a6 a15a1750,求 S20;(4)已知:等差数列an 中, an=333n,求 Sn的最大值分析与解答(1)a= a(62)d d=5621734a9=a6(96)d= 173(5)=32(2)a1=19, an+2=89,Sn+21350 S=(a +a)(n +2)2n2 =2135019+89= 25 n= 23a= a= a24d d =3512n+21n+2n+
12、2251故这几个数为首项是,末项是,公差为的个数21111286112351223(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21 a4 a17=a6a15=25 S=(a + a)2020120210250417()aa(4)an=333n a130S=(a + a )n2n1n()()633232632322123218222n nnnnnN,当 n=10 或 n=11 时, Sn取最大值165精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习必备欢迎下载【例 11】求证:前n 项和为 4n2 3n 的数
13、列是等差数列证设这个数列的第n 项为 an,前 n 项和为 Sn当 n2 时, anSnSn-1an (4n23n) 4(n 1)23(n1) =8n1 当 n=1 时, a1=S1=43=7 由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有 an=8n1 又 an+1an8(n1) 1 (8n1)8 这个数列是首项为7,公差为8 的等差数列说明这里使用了“ an=Sn Sn-1”这一关系使用这一关系时,要注意,它只在 n2 时成立因为当n1 时, Sn-1=S0,而 S0是没有定义的所以,解题时,要像上边解答一样,补上n1 时的情况【例 12】证明:数列 an的前 n 项之和 Sn an2bn(a
14、、b 为常数 )是这个数列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2bn,得当 n2 时, anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1) =2naba a1S1ab 对于任何nN,an2naba 且 anan-1=2na(b a) 2(n1)ab a 2a(常数 ) an是等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习必备欢迎下载若an是等差数列,则Snad= dn(ad)=d2n11n nnnnn ad()()()1212221若令,则,即dd22= aa= b1Sn=an2bn综上所述, Sn=an2 bn
15、 是an成等差数列的充要条件说明由本题的结果,进而可以得到下面的结论:前n 项和为Sn=an2bnc 的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上, 设数列为 un ,则:充分性是等差数列必要性是等差数列 c = 0Sanbu u Sanbnc0n2nnnn2【例 13】等差数列 an的前 n 项和 Snm,前 m 项和 Smn(mn),求前 mn 项和 Sm+n解法一设an的公差 d 按题意,则有SnadmSmadn (mn)ad = nmn1m11,得n nm mmn mn()()()()121212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
16、 9 页,共 12 页学习必备欢迎下载即ad =11mnSmn amn mndmn amndm n12121211()()()()()=(mn)解法二设 SxAx2Bx(x N) AmBmn AnBnm 22,得A(m2n2)B(mn)nmmn A(m n)B=1 故 A(m n)2B(mn) (mn) 即 Sm+n (mn) 说明a1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再解决其它问题,但本题关键在于求出了 ,这种设而不ad11mn12解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴解法二中,由于是等差数列,由例22,故可设Sx=Ax2Bx(xN)【例 14】在项数为2n 的等差数
17、列中, 各奇数项之和为75,各偶数项之和为 90,末项与首项之差为27,则 n 之值是多少?解S偶项S奇项=nd nd=9075=15 又由 a2n a127,即 (2n1)d=27 nd15 (2n1)d27n = 5【例 15】在等差数列 an中,已知 a125,S9S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值解法一建立 Sn关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页学习必备欢迎下载根据题意:,S=17adS9ad1719117162982a1=25,S17S9解得 d 2S25
18、n(2) =n26n =(n13)169n22n n()12当 n=13 时, Sn最大,最大值S13169解法二因为 a1=250,d 20,所以数列 an是递减等差数列,若使前项和最大,只需解,可解出na0a0nnn+1a1 25,S9S17 ,解得9252d =1725dd =29817162an=25(n 1)(2)=2n272n2702(n1)270n13.5n12.5n = 13即前 13 项和最大,由等差数列的前n 项和公式可求得S13=169解法三利用 S9=S17寻找相邻项的关系由题意 S9=S17得 a10a11a12 a17=0 而 a10a17=a11 a16=a12 a15=a13a14a13a140,a13=a14a130,a140 S13=169 最大解法四根据等差数列前n 项和的函数图像,确定取最大值时的nan是等差数列可设 SnAn2Bn 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习必备欢迎下载二次函数y=Ax2Bx 的图像过原点,如图321 所示S9S17, 对称轴 x =9 +172= 13取 n=13 时, S13169 最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页