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1、精品资料欢迎下载函数与导数1. 已知函数32( )4361,f xxtxtxtxR,其中tR()当1t时,求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程;()当0t时,求( )f x的单调区间;()证明:对任意的(0,),( )tf x在区间(0,1)内均存在零点【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14 分。()解:当1t时,322( )436 ,(0)0,( )1266f xxxx ffxxx(0)6.f所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为6 .yx
2、()解:22( )1266fxxtxt,令( )0fx,解得.2txtx或因为0t,以下分两种情况讨论:(1)若0,2tttx则当变化时,( ),( )fxf x的变化情况如下表:x,2t,2tt, t( )fx+ - + ( )f x所以,( )fx的单调递增区间是,;( )2ttf x的单调递减区间是,2tt。(2)若0,2ttt则,当x变化时,( ),( )fxf x的变化情况如下表:x,t,2tt,2t( )fx+ - + ( )f x所以,( )fx的单调递增区间是,;( )2ttf x的单调递减区间是,.2tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
3、- - - - -第 1 页,共 7 页精品资料欢迎下载()证明:由()可知,当0t时,( )f x在0,2t内的单调递减,在,2t内单调递增,以下分两种情况讨论:(1)当1,22tt即时,( )f x在( 0, 1)内单调递减,2(0)10,(1)643644230.ftftt所以对任意2,),( )tf x在区间( 0,1)内均存在零点。( 2)当01,022tt即时,( )fx在0,2t内单调递减,在,12t内单调递增,若33177(0,1,10.244tfttt2(1)643643230.fttttt所以( ),12tfx 在内存在零点。若3377(1,2),110.244ttfttt
4、(0)10ft所以( )0,2tfx 在内存在零点。所以,对任意(0,2),( )tf x在区间( 0, 1)内均存在零点。综上,对任意(0,),( )tf x在区间( 0, 1)内均存在零点。2. 已知函数21( )32f xx,( )h xx ()设函数F(x)18f(x)x2h(x)2,求 F(x)的单调区间与极值;()设 aR ,解关于x 的方程33lg(1)2lg()2lg(4)24f xh axhx ;()设*nN ,证明:1( ) ( ) (1)(2)( )6f n h nhhh n本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合
5、等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解: ()223( )18( ) ( )129(0)F xf xx h xxxx,2( )312Fxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精品资料欢迎下载令( )0Fx,得2x(2x舍去)当(0,2)x时( )0Fx;当(2,)x时,( )0Fx,故当0,2)x时,( )F x 为增函数;当2,)x时,( )F x 为减函数2x为( )F x 的极大值点,且(2)824925F()方法一:原方程可化为42233log (1)log()log(4)24f xh axhx
6、,即为4222log (1)loglog4log4axxaxxx,且,14,xax当 14a时, 1xa ,则14axxx,即2640xxa,364(4)2040aa,此时6204352axa , 1xa ,此时方程仅有一解35xa 当4a时, 14x,由14axxx,得2640xxa,364(4)204aa,若 45a,则0 ,方程有两解35xa ;若5a时,则0 ,方程有一解3x;若1a或5a,原方程无解方法二:原方程可化为422log (1)log(4)log()xhxh ax ,即2221log (1)log4log2xxax ,10,40,0,(1)(4).xxaxxxax214,(
7、3)5.xxaax当 14a时,原方程有一解35xa ;当 45a时,原方程有二解35xa ;当5a时,原方程有一解3x;当1a或5a时,原方程无解()由已知得(1)(2)( )12hhh nn ,1431( ) ( )666nf n h nn设数列 na的前 n 项和为nS ,且1( ) ( )6nSf n h n(*nN )从而有111aS,当 2100k时,14341166kkkkkaSSkk又1(43)(41)16kakkkkk221(43)(41) (1)6(43)(41)1kkkkkkkk1106(43)(41)1kkkk即对任意2k时,有kak ,又因为111a,所以1212na
8、aan 则(1)(2)( )nShhh n ,故原不等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精品资料欢迎下载3. 设函数axxxaxf22ln)(,0a()求)(xf的单调区间;()求所有实数a,使2)(1exfe对,1 ex恒成立注:e为自然对数的底数【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15 分。()解:因为22( )ln.0f xaxxaxx其中所以2()(2)( )2axaxafxxaxx由于0a,所以( )f x的增区间为(0,)a
9、,减区间为( ,)a()证明:由题意得,(1)11,facac即由()知( )1, f xe在内单调递增,要使21( )1, ef xexe对恒成立,只要222(1)11,( )faef eaeaee解得.ae4. 设21)(axexfx,其中a为正实数 . ()当34a时,求( )f x的极值点;()若( )f x为R上的单调函数,求a的取值范围 . 【解析】(18) (本小题满分13 分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力. 解:对)(xf求导得.)1 (1)(222axaxaxexfx(I)当
10、34a,若.21,23,0384,0)(212xxxxxf解得则综合 ,可知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精品资料欢迎下载所以 ,231x是极小值点 ,212x是极大值点 . ( II )若)(xf为R 上的单调函数,则)(xf在R 上不变号,结合与条件a0,知0122axax在 R 上恒成立,因此,0)1(4442aaaa由此并结合0a,知. 10a5. 已知 a,b 为常数,且a0,函数 f(x) =-ax+b+axlnx ,f(e) =2(e=271828 是自然对数的底数)。(I)求实数b 的值;(II
11、)求函数f(x)的单调区间;(III )当 a=1 时,是否同时存在实数m 和 M(m0得x1, 由f(x)0得0x1;(2)当0,( )001,( )01.afxxfxx时 由得由得综上,当0a时,函数( )f x的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1) ;当0a时,函数( )f x的单调递增区间为(0,1) ,x)21,(21)23,21(23),23()(xf+ 0 0 + )(xf极大值极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精品资料欢迎下载单调递减区间为(1,)。(III )当 a=1 时,( )
12、2ln,( )ln.f xxxx fxx由( II)可得,当x 在区间1(, )ee内变化时,( ),( )fxf x的变化情况如下表:x1e1(,1)e1(1, )ee( )fx- 0 + ( )f x22e单调递减极小值 1 单调递增2 又2122,( )(, )fxxeee所以函数的值域为 1,2。据经可得,若1,2mM,则对每一个,tm M,直线y=t 与曲线1( )(, )yf xxee都有公共点。并且对每一个(,)(,)tmM, 直线yt与曲线1( )(, )yf xxee都没有公共点。综上,当 a=1 时,存在最小的实数m=1,最大的实数M=2 ,使得对每一个,tm M,直线y=
13、t 与曲线1( )(, )yf xxee都有公共点。6. 设函数32()2f xxaxbxa,2( )32gxxx,其中xR,a、b为常数,已知曲线( )yf x与( )yg x在点( 2,0)处有相同的切线l。(I) 求 a、b 的值,并写出切线l 的方程;(II )若方程()()f xg xmx有三个互不相同的实根0、x、x,其中12xx,且对任意的12,xx x,()()(1)fxg xm x恒成立,求实数m 的取值范围。【解析】 20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想,(满分 13 分)解: ()2(
14、)34,( )23.fxxaxb g xx由于曲线( )( )yf xyg x与在点( 2,0)处有相同的切线,故有(2)(2)0,(2)(2)1.fgfg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精品资料欢迎下载由此得8820,2,1281,5.abaaabb解得所以2,5ab,切线l的方程为20xy()由()得32( )452f xxxx,所以32( )( )32 .f xg xxxx依题意,方程2(32)0x xxm有三个互不相同的实数120,xx,故12,xx是方程2320xxm的两相异的实根。所以194(2)0,.
15、4mm即又对任意的12,( )( )(1)xxxf xg xm x成立,特别地,取1xx时,111()()fxg xmxm成立,得0.m由韦达定理,可得12121230,20,0.xxx xmxx故对任意的1221,0,0,0xx xxxx有x-x则12111( )( )()()0,()()0f xg xmxx xxxxf xg xmx又所以函数12( )( ),f xg xmxxx x在的最大值为0。于是当0m时,对任意的12,( )( )(1)xx xf xg xm x恒成立,综上,m的取值范围是1(,0).4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页