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1、1 / 9 经济数学基础作业4 知识要点: 1 掌握函数单调性的判别方法,会求函数的单调区间。2知道极值存在的必要条件,掌握极值点的判别方法,知道极值点与驻点的关系,会求函数的极值。3会求需求对价格的弹性。4熟练掌握经济分析中求最大(小)值的方法(求平均成本的最小值,利润的最大值)。5熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。6了解微分方程的几个基本概念:微分方程、阶、解(通解、特解)及线性微分方程等。7 掌握可分离变量微分方程的解法,掌握一阶线性微分方程的解法。8理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理;熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。(一)填空题1.函数
2、)1ln(14)(xxxf的定义域为_解:要使)(xf有意义,则要求110104xxx,解不等式组得:214xxx,因此,定义域为4 ,2()2, 1(。2.函数2) 1( 3 xy的驻点是_,极值点是,它是极值点. 解:)1)(1(23xxy=)1(6 x令0y得:1x因此,所求驻点是1x,极值点是1x,它是极小值点。06y求初等函数的定义域,一般要满足:(1)分式中分母的表达式不为零;(2)根式中偶次根号下的表达式大于或等于零;(3)对数中真数的表达式大于零。1 使0)(xf的点称为函数)(xf的驻点。2 设0)(0xf,且0)(0xf(1)若0)(0xf,则0x为极小值点;(2)若0)(
3、0xf,则0x为极大值点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页2 / 9 3.设某商品的需求函数为2e10)(ppq,则需求弹性pE. 解:有弹性公式)10(1022pppeepqqpE=2)21(101022peeppp。4.若线性方程组002121xxxx有非零解,则= 解:系数矩阵1011111A当方程有非零解,则2)(Ar(未知量个数),则1。5.设线性方程组bAX,且010023106111tA,则_t时,方程组有唯一解 . 解:要使线性方程组bAX有唯一解,则要求nArAr)()((方程未知量个数),因此,
4、当1t时,3)()(ArAr,方程组有唯一解。(二)单项选择题1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是()AsinxBe xCx 2 D3 x 解:函数sinx , e x,x 2均为基本初等函数,由它们的性质知:函数 e x在区间(,)上是单调增加。该题正确答案为:B2. 设xxf1)(,则)(xff()Ax1 B21x Cx D2x解:因为xxf1)(,则xxfxffx11)1()(,该题正确答案为:C3. 下列积分计算正确的是()A110d2eexxxB110d2eexxx齐次方程组0AX有非零解的 充 分 必 要 条 件 为 :nAr)(,(n为方程组中未知量的个数)。精选学习资料
5、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页3 / 9 C0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-解:注意到:定积分aadxxf)(,(1)当)(xf为奇函数时,则0)(aadxxf;(2)当)(xf为偶函数时,则aaadxxfdxxf0)(2)(。答案 A 中设2)(xxeexf,22)()(xxxxeeeexf=)(xf,因此,110d2eexxx,该题正确答案为:A4. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是()AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(解:该题正确答案为:D5. 设线性方程
6、组33212321212axxxaxxaxx,则方程组有解的充分必要条件是()A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa解:1321321110110011121110011aaaaaaaA21321000110011aaaaa方程组有解的充分必要条件是:)()(ArAr,即0213aaa,即0321aaa,该题正确答案为:C三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页4 / 9 (1) yxye解:原方程变形为:dxedyexy方程两边积分得:dxedyexy
7、ceexy即为方程通解 . (2)23eddyxxyx解:原方程变形为:dxxedyyx23方程两边积分得:dxxedyyx23cexedxexexdeyxxxxx3cexeyxx3即为方程通解 . 2. 求解下列一阶线性微分方程:(1)32xyxy解:由一阶线性微分方程通解公式:)()()(cdxexqeydxxpdxxp得原方程通解:)()2(3)2(cdxexeydxxdxx=)(ln23ln2cdxexexx=)1(232cdxxxx=)2(22cxx(2)xxxyy2sin2解:由一阶线性微分方程通解公式:)()()(cdxexqeydxxpdxxp得原方程通解:)2sin2()1(
8、)1(cdxxexeydxxdxx =)2sin2(lnlncdxxexexx =)2sin2(cxdxx =)2cos(cxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页5 / 9 3.求解下列微分方程的初值问题:(1)yxy2e,0)0(y解:原方程变形为:dxedyexy2方程两边积分得:dxedyexy2ceexy221即为方程通解将0)0(y代人通解得:cee0021则21c因此,原方程特解为:21212 xyee(2)0exyyx,0) 1(y解:原方程变形为:xexyyx由一阶线性微分方程通解公式:)()()(c
9、dxexqeydxxpdxxp得方程通解:)(11cdxexeeydxxxdxx =)(lnlncdxexeexxx =)(1)(1cexcxdxxexxx将0) 1(y代人通解得:)(110ce,则ec原方程特解为:)(1eexyx4.求解下列线性方程组的一般解:(1)03520230243214321431xxxxxxxxxxx解:000011101201111011101201351223111201A所以,方程的一般解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页6 / 9 4324312xxxxxx(其中21,xx是
10、自由未知量)(2)5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解:51147111112241215114712412111112A000003735024121373503735024121000005357531054565101000005357531024121一般解:535753545651432431xxxxxx(其中21,xx是自由未知量)5.当为何值时,线性方程组43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解,并求一般解。解:14182620391310391310245111095733223113
11、1224511A800000000039131024511000008000039131015801当8时,42)()(ArAr,方程有无穷多解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页7 / 9 方程的一般解为:3913158432431xxxxxx(其中21,xx是自由未知量)5ba,为何值时,方程组baxxxxxxxxx3213213213221解:1140112011113122111111babaA330011201111ba当3a且3b时,方程组无解;当3a时,方程组有唯一解;当3a且3b时,方程组无穷多解
12、。6求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品q个单位时的成本函数为:qqqC625.0100)(2(万元) , 求:当10q时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时,平均成本最小?解:1851061025.0100)10(2C(万元);5 .1810)10()10(CC(万元 / 单位);102)625.0100()10(qqqC=11)65.0(10qq(万元 / 单位) .平均成本:625.0100)()(qqqqCqC,0q25.0100)625.0100()(2qqqqC令0)(qC得唯一驻点20q求经济最值问题的解题步骤:( 1 ) 列 出 目 标 函 数(就是所求实际问题
13、达到最值的经济函数,比如利润函数或平均成本函数等);(2)对目标函数求导,令目标函数的导数等于0,求出驻点;(3)若驻点唯一,再判定该驻点为极值点;(4)在驻点唯一的情况下,极大(小)值点即为最大(小)值点,得出结论,回答问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页8 / 9 0200)20(203qqC因此,当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低。(2).某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201. 0420)(qqqC(元),单位销售价格为qp01.014(元 /件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多
14、少解:收入函数201.014)01.014()(qqqqpqqR利润函数)()()(qCqRqL=)01. 0420(01. 01422qqqq2002. 0102qqqqL04.010)(令0)(qL得唯一驻点250q004.0)250(L因此,当产量为250 个单位时可使利润达到最大,且最大利润为:1230)201002.0()250(2502qqqL(元)。(3)投产某产品的固定成本为36(万元 ),且边际成本为402)(xxC(万元 /百台 )试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低解:当产量由4 百台增至6 百台时,总成本的增量为6464
15、)402()(dxxdxxCC100)40(642xx(万元)总成本函数00)()(CdqqCxCx364036)402(20xxdqqx平均成本:0,3640)()(xxxxxCxC2361)(xxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页9 / 9 令0)(xC得唯一驻点6x072)6(63xxC因此,当产量为6 百台时,平均成本达到最低. (4)已知某产品的边际成本)(xC=2(元 /件),固定成本为0,边际收益xxR02.012)(,求:产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50 件,利润将会发生什么变化?解:边际利润)()()(xCxRxLxx02.010202.012令0)(xL得唯一驻点500x,002.0)500(L因此,当产量为500 件时,利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产50 件,利润增量550500550500)02.010()(dxxdxxLL25)01.010(5505002xx即利润将减少25 元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页