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1、多练出技巧巧思出硕果第 13 章分离变量法本讲讨论求解齐次波动方程(Helmholtz 方程 )的分离变量法。对于时谐场，设波函数( , )( )r tr ej t满足齐次波动方程()( )220kr(13-1) 式中，k。下面利用分离变量法在三种常用坐标系下求解(13-1)。一、直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系( , , )x y z中，方程 (13-1)可写成22222220xyzk(13-2) 设波函数( )r为( , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z(13-3) 式中，X Y Z,分别只是x y z,的函数。将上式代入 (13-2)并除以XYZ，得01112
2、22222dzZdZdYYdYdxXdX(13-4) 上式中每一项只与一个不同的坐标有关，每一坐标可以独立变化，所以为了使上式成立，每一项都应与坐标x y z, ,无关。于是可设d Xdxk Xd Ydyk Yd Zdzk Zxyz222222222000(13-5) 式中，kkkxyz,称为分离常数，它们满足kkkkxyz2222(13-6) 这样，应用分离变量法，我们将(13-2)的偏微分方程转化为三个独立的常微分方程，称之为谐方程，其解称为谐函数。 常用的谐函数有ukukeuuujkucos,sin,。 根据(13-6)可知，分离常数kkkxyz,中只有两个是独立的，这些分离常数的取值由
3、具体问题的边界条件确定。对于有界区域，如波导和谐振腔， 分离常数一般为无穷多的离散值，称为离散谱。 对于无界空间， 分离常数则一般为连续值，称为连续谱。于是，我们得到了一系列的谐函数。最后，我们便可以得到齐次波动方程的一般解为对于离散谱( , , )(,)() () ()x t zA kkX k x Y k y Z k zxyxykzkyx(13-7) 对于连续谱精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果( , , )(,)() () ()x t zA kkX k x Y k y Z k z dk dkx
4、yxyzxykkyx(13-8) 为了求得适合于各种具体问题的波函数，需要根据具体问题的特点，选择谐函数的形式。因此，了解各种谐函数的数学性质和物理意义是有益的。以X k xx()为例，当kx为正实数时，ejk xx和ejk xx分别代表沿x和x方向传播的行波，sin k xx和cosk xx代表沿x方向的纯驻波。当kx为复数且Ikmx0时，ejk xx和ejk xx分别代表沿x和x方向传播的衰减行波；当kx为纯虚数时，ejk xx和ejk xx分别代表沿x和x方向的衰减波。判别波传播方向可以从等相面入手。考虑行波ejtk xx()，等相面为tk xx常数，对该式两边关于t求导，可得波相速为v
5、dxdtkpx0所以，ejk xx表示波沿x方向传播。同理可判别ejk xx。值得注意的是，上述判别与时间因子ej t的假设有关。如果假设时间因子为tje，则情形相反。在本书中，时间因子均假设为ej t。例 13-1 求图 13-1 所示的矩形波导中的电Hertz 矢量eez。解：e满足齐次波动方程0222et设波沿 z 方向传输，时间因子为ej t，则有)(),(ztjeeeyx于是，波动方程变为022222eckyx其中，222kkc。根据2222tzEeez，则有Ekzce2，所以e的边界条件为exa00,，eyb00,利用分离变量法，可得e的解为)(sinsinztjeyebxaA且2
6、211bakc。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果xyz0ab图 13-1 矩形波导二、圆柱坐标系中的分离变量法在圆柱坐标系( , )z中，齐次波动方程为01)(1222222kz(13-9) 设波函数( , )()( ) ( )zRZ z(13-10) 将(13-10)代入 (13-9)，并且方程两边乘以2RZ，得RdddRdddZd Zdzk()102222222(13-11) 上式中第二项与其他项独立，应满足1222ddm(13-12) 上式的解由圆周方向场的单值性或场的边界条件确定。如果所
7、研究的区域包括0,2的整个区域，为了保证场的单值性，则cossinmm(13-13)，其中，m为整数。 如果所研究的区域为,12的扇形区域， 为了满足边界条件，一般来说，m不是整数。将(13-12)代入 (13-11)，方程两边除以2，利用各项的独立性，可令0)()(11222222mnddRddRdzZdZ(13-14) 式中222kn。上式中第一个方程的解形式为ej z，sinz,cos z。的取值决定于z方向的边界条件。(13-14)中的第二个方程可写成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果d
8、RddRdnmR2222210()(13-15) 称为 Bessel方程。 Bessel 方程的通解常有三种形式。当表示闭合系统(如圆波导、 同轴线、 同轴腔等 )中的电磁波时，波沿方向为驻波，采用Bessel 函数Jxm( )和 Neumann 函数Nxm( )，即R nAJnBNnmm()()()(13-16) 当表示沿径向传播的波时，可采用第一类和第二类Hankel 函数Hxm( )( )1和Hxm()( )2，即R nAHnBHnmm()()()( )( )12(13-17) Hm( )1和Hm( )2与Jm和Nm的关系为HJjNHJjNmmmmmm( )( )12(13-18) 当k
9、时，n为虚数，设nj，此时 (13-15)称为修正 (变态 )Bessel 方程。这时，解通常取第一类和第二类修正Bessel 函数Ixm( )和Kxm( ), RAIBKmm()()()(13-19) Im和Km与Jm和Hm( )1的关系为IxjJjxKxjHjxmmmmmm( )()( )()( )211(13-20) Jm和Nm类似于余弦函数和正弦函数，Hm( )1和Hm()2类似于表示行波的复指数函数，而Im和Km则类似于实指数函数。例 13-2 求如图 13-2 所示的同轴线的TM高次模yxabz图 13-2 同轴线解: 令电 Hertz 矢量eez，则边界条件为erarb0。自然边
10、界条件是在圆周方向场单值。于是，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果emmj zAJnBNnmme()()cossin由边界条件得AJnaBNnaAJnbBNnbmmmm()()()()00于是：Jna NnbJnb Nnammmm()()()()上式便是确定n的本征方程。确定了n后，由 (13-13)便可确定传播常数，进而得电Hertz 矢量为emmmmj zA JnJnaNnaNnmme()()()()cossin三、球坐标系中的分离变量法在球坐标系( , ,)r中，齐次波动方程可写为11102
11、2222222rrrrrrk()sin(sin)sin(13-21) 设波函数)()()(),(rRr(13-22) 代入 (13-21)，两边除以R，乘以r22sin，得22222221sin)(sinsin)(sinddrkdddddrdRrdrdR(13-23) 上式右边只是函数，为使上式成立，上式两端必须等于常数，设常数为m2，则ddm2220(13-24) 所以解为AeBejmjm(13-25a) 或AmBmc o ss i n(13-25b) m根据场的单值性来确定。由(13-23) 左边可得1122222s i n( si n)si n()ddddmRddrrdRdrk r(13
12、-26) 上式两边分别只是和r的函数，所以两边必须等于常数，设常数为2，于是有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果1222sin(sin)sinddddm(13-27) 12222RddrrdRdrk r()(13-28) 为了求解 (13-27)，令xcos,P x( )()，则0)1()1(222PxmdxdPxdxd展开得()()1210222222xd PdrxdPdxmxP(13-29) 显然，x1为方程的奇异点。一般情况下，解在x1处是发散的。但如果我们取21012n nn(), ,则解
13、只有有限项，且在x1处收敛。于是(13-29)可写为() ()1211022222xd PdxxdPdxn nmxP(13-30) (13-30)称为连带勒让德方程，当m0时称为勒让德方程。(13-30)的一个解为Pxxnddxxmn xnmnn mn mnm( )()!()(,)1211222(13-31) Pxnm( )称为n次m阶勒让德多项式，或称第一类连带勒让德函数。m0时称为勒让德多项式或第一类勒让德函数。(13-30)的另一个线性无关解为QxPxdxxPxnmnmnm( )( )()( )122(13-32) 称为第二类勒让德函数()m0或第二类连带勒让德函数()m0。于是， (1
14、3-30)的一般解为P xAPxBQxnmnm( )( )( )(13-33) 由于x1是Qxnm( )的奇异点， 所以， 当我们研究区域包含x1，即0或时， 应有B0，即解中不包含Qxnm( )。最后，我们来求解(13-28)。将21n n()代入 (13-28) 得0)1(22222RrnnkdrdRrdrRd(13-34) 该方程类似于Bessel 方程，其解为球Bessel函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果)(2)()(2)(2121krNkrkrnkrJkrkrjnnnn或)(2)
15、()(2)()2()2()1()1(2121krHkrkrhkrHkrkrhnnnn(13-35) 定性地说， 球 Bessel 函数与相应的Bessel函数有类似的特点：当k为实数时，jkrn()和nkrn()代表驻波，hkrn( )()1代表向内行波，hkrn()()2代表向外行波。在实际问题中，究竟R r ( )取(13-35)中的哪个或哪几个函数的线性组合，应当由实际问题中r的变化范围和各个球Bessel函数的特性来决定。习题 13 13-1 求 13-2 所示的同轴线TM 模的场分布。13-2 证明(ln)ejkz是齐次标量波动方程的一个解。若取ez，计算由此所形成的TM波。在z常数的平面上画出瞬时电力线和磁力线分布。什么样的实际系统可以支持这样的波？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
