《2022年等差数列教案 2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年等差数列教案 2（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编精品教案第 1 课时等差数列一、知识要点1. 等差数列的定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d”表示）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 na, 若na1na=d ( 与 n 无关的数或字母) ，n2，nN ，则此数列是等差数列， d 为公差2等差数列的通项公式：dnaan) 1(1【或nadmnam)(】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列na的首项是1a，公差是 d，则据其定义可得：daa12即：daa12daa23即：da
2、daa2123daa34即：dadaa3134由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan) 1(1二、经典例题例 1若 ab,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 ,b 都是等差数列，则1212yyxx（）A43B32C1 D34例 2 在等差数列na中， 公差d 1，174aa8， 则20642aaaa（）A40 B45 C50D55 例 3等差数列na的前三项为1,1, 23xxx，则这个数列的通项公式为（）A21nanB21nanC23nanD25nan例 4等差数列 an中，已知a113，a2a54，an33，则 n 为() A48 B49 C50 D51 例 5.等
3、差数列na中，1030a，2050a，则通项na；例 6.首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_ ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页名师精编精品教案例 7已知等差数列的首项为31,若此数列从第16 项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是A( ,2) B715, 2 C (2, +) D (715,2) 变式 1.a1， a2， a3， a4成等差数列， 且 a1， a4为方程 2x2 -5x -2= 0 的两根，则 a2a3等于（）(A)-1 (B)、52 (C)-52
4、(D)不确定变式 2.等差数列na中，首项a1=21,a8 6,a76, 则此数列的公差d 的取值范围是（）(A) d1411 (B) d1211 (C) 1411d1211 (D) 、1411d1211变式 3. 已知命题甲是 “ ABC的一个内角B为 60”，命题乙是 “ ABC的三个内角A、B、C成等差数列”，那么（）A 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C 、甲是乙的充要条件D 甲既不是乙的充分条件，也不是必要条件3. 等差数列的性质1：已知mnpq，则mnpqaaaa，注意：mnpqaaa例如：2543aaaa，257aaa在等差数列na中，
5、等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd. 例 8.已知数列na为等差数列，1820,54aa，求45aa，9a的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页名师精编精品教案例 9.已知数列na为等差数列，282,24aa，求9S的值。变式 4. 等差数列 an 中，若 a2+a4+a9+a11=32，则 a6+a7= ( ) （ A）9 （B）12 （C）15 （D） 、16 性质 2：在等差数列na中，nS为前 n 项和，2nS为前 2n 项和，3nS为前 3n 项和，
6、则nS、2nnSS、32nnSS也是等差数列。例 10.等差数列na中，前 n 项和为 10，前 2n 项和为 40，求数列前3n 项和为多少？例 11.等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 3、等差数列的前n和公式：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad例 12：设 Sn是等差数列 an的前 n 项和， a12 8，S9 9，则 S16 _. 例 13.在等差数列 an 中， S528，S10=36，则 S15等于（）A 24 B44 C64 D80 例 14、数列na中，*11(2
7、,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS，则1a，n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页名师精编精品教案例 15、首项为 18，公差为 -3 的等差数列，前n 项和 Sn取最大值时，n等于（）A5 或 6 B6 C7 D 6 或 7 变式 5. 已知数列 an 的通项公式为an=2n 49, 则 Sn达到最小值时,n 的值是( ) （ A）23 （B） 、24 （C）25 （D）26 变式 6. 已知数列 an 满足 a1=2，an1an1=0，(n N)，则此数列的通项an等于（）(A)n21 (B
8、)n1 (C)1n (D)、3n 变式 7. 已知数列的通项公式是an2n-47 ，那么当Sn取最小值时， n_ 练习 1. 数列na是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。（1）求数列公差； （2）求前n项和ns的最大值；（3）当0ns时，求n的最大值。练习 2. 在等差数列 an 中， Sm=Sn, 则 Sm+n的值为（）（A）0 （B）Sm+Sn （C）2(Sm+Sn) （D）)(21nmSS练习 3. 在等差数列 an 中， Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为（）（A）p+q （B） -(p+q) （C） p2-q2 （D）p2+q2 4.等差数列解答题综合运用【
9、例 1】等差数列前10 项的和为140， 其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项解依题意，得10ad = 140aaaaa = 5a20d = 125113579110 1012()解得 a1=113，d=22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页名师精编精品教案 其通项公式为an=113(n1)( 22)=22n135 a6=22 61353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a1 5d，
10、也可以不必求出an而直接去求，所列方程组化简后可得相减即得，a2a9d = 28a4d = 25a5d = 36111即 a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提【例 2】在两个等差数列2，5，8， 197 与 2，7，12， 197 中，求它们相同项的和解由已知，第一个数列的通项为an3n 1；第二个数列的通项为bN=5N3 若 ambN，则有 3n15N3 即 nN213()N若满足 n 为正整数，必须有N3k1(k 为非负整数 )又 25N3197，即 1N40，所以N1，4，7， 40 n=1，6，11， 66 两数列相同项的和为217
11、32 197=1393 【例 3】选择题：实数a， b，5a， 7，3b， c 组成等差数列，且ab5a7 3b c2500，则 a，b，c 的值分别为 A1，3，5 B1，3，7C1，3， 99 D1， 3，9 解 C2b = a5ab = 3a由题设又145a 3b，a1，b 3 首项为1，公差为2 又 S = nad 2500= n2 n50n1n nn n()()1212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页名师精编精品教案a50=c=1 (501)2=99 a 1，b3，c99 【例 4】在 1 和 2 之间
12、插入2n 个数，组成首项为1、末项为 2 的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数解依题意 21(2n21)d 前半部分的和后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知，有化简，得解之，得SSnndnndndndnn111 121 229131222913()()()() nd =511由，有 (2n 1)d=1 由，解得，d =111n = 5 共插入 10 个数【例 5】在等差数列 an中，设前 m 项和为 Sm，前 n 项和为 Sn，且 SmSn，mn，求 Sm+n解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn
13、)a(mn1)dm+n11 1212且 SmSn，mn整理得 mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1) = 011112122d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页名师精编精品教案即 由 ，知 (mn)a(mn1)d = 0mna(mn1)d0111212Sm+n0【例 6】已知等差数列 an 中， S3=21，S6=64，求数列 |an|的前 n 项和Tn分析nS = nadan11等差数列前项和，含有两个未知数，n n()12d，已知 S3和 S6的值， 解方程组可得a1与 d，再对数列的前若
14、干项的正负性进行判断，则可求出Tn来解dSnad3a3d = 21ba15d = 24n111设公差为，由公式得n n() 12解方程组得： d 2，a19an 9(n1)(n 2) 2n11 由得 ，故数列的前项为正，a2n110 n= 5.5a 5nn112其余各项为负数列an的前 n 项和为：S9n(2) =n10nn2n n()12当 n 5时， Tn n210n当 n6 时， TnS5|SnS5| S5(Sn S5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50 即T=n10n n5n10n50 n6n*n22N说明根据数列 an中项的符号， 运用分类讨论思想可求|an|的
15、前 n 项和【例 7】在等差数列 an 中，已知 a6 a9a12 a1534，求前 20 项之和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页名师精编精品教案解法一由 a6a9a12a1534 得 4a1 38d34 又S20ad2012019220a1190d5(4a138d)=534=170 解法二 S=(a + a)202= 10(aa )20120120由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170 【例 8】已知等差数列 an 的公差是正数，且a3 a7=12，a4a6=4，求
16、它的前20 项的和 S20的值解法一设等差数列 an 的公差为d，则 d 0，由已知可得(a2d)(abd)12 a3da5d =4 1111由，有a1 24d，代入，有d2=4再由 d 0，得 d2 a1=10 最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得：a4a6a3a7即 a3a7 4 又 a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程 x24x120 的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页名师精编精品教案a3 6，a7=2
17、 d =a= 2a10S1807120a373，【例 9】等差数列 an 、bn的前 n 项和分别为Sn和 Tn，若STnnabnn231100100，则等于 A1BCD23199299200301分析nS=n(a + a )nn1n该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前 项和的值与项的值进行联系abSTnnnn1001002312解法一，Sn aaTn bbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()111111222312a100a1a199，2b100b1b199选 abab100100199199=ab=21993199+1=199299C11解法二利用数列 an 为
18、等差数列的充要条件：Snan2bn STnnnn231可设 Sn2n2k， Tnn(3n1)k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页名师精编精品教案abSSTTn knknnknnknnnnabnnnnnn1122100100221311 311426221312100131001199299()()() ()说明该解法涉及数列an为等差数列的充要条件Sn=an2bn，由已知，将和写成什么？若写成，STnnnn231STS= 2nkT = (3n1)knnnnk 是常数，就不对了【例 10】解答下列各题：(1)已知：等
19、差数列an中 a23，a6 17，求 a9；(2)在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中， a4a6 a15a1750，求 S20；(4)已知：等差数列an中， an=333n，求 Sn的最大值分析与解答(1)a= a(62)d d=5621734a9=a6(96)d=173(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350 S=(a +a)(n +2)2n2 =2135019 +89= 25 n= 23a= a= a24d d =3512n+21n+2n+2251故这几个数为首项是，末
20、项是，公差为的个数21111286112351223(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21 a4 a17=a6a15=25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页名师精编精品教案S=(a +a)2020120210250417()aa(4)an=333n a130S=(a + a )n2n1n()()633232632322123218222n nnnnnN，当 n=10 或 n=11 时， Sn取最大值165【例 11】求证：前 n 项和为 4n2 3n 的数列是等差数列证设这个数列的第
21、n 项为 an，前 n 项和为 Sn当 n2 时， anSnSn-1an (4n23n) 4(n 1)23(n1) =8n1 当 n=1 时， a1=S1=43=7 由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有 an=8n1 又 an+1an8(n1) 1 (8n1)8 这个数列是首项为7，公差为8 的等差数列说明这里使用了“ an=SnSn-1”这一关系使用这一关系时，要注意，它只在 n2 时成立 因为当 n 1时，Sn-1=S0，而 S0是没有定义的 所以， 解题时，要像上边解答一样，补上n1 时的情况【例 12】证明： 数列 an的前 n 项之和 Snan2bn(a、b 为常数 )是这个数
22、列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2bn，得当 n2 时， anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页名师精编精品教案=2naba a1S1ab 对于任何nN，an2naba 且 anan-1=2na(ba) 2(n1)aba 2a(常数 ) an是等差数列若an是等差数列，则Snad= dn(ad)=d2n11n nnnnn ad()()()1212221若令，则，即dd22= aa= b1Sn=an2bn综上所述， Sn=an2bn 是an成等差数列的充要条件
23、说明由本题的结果， 进而可以得到下面的结论：前 n 项和为 Sn=an2bnc的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上，设数列为un ，则：充分性是等差数列必要性是等差数列 c = 0Sanbu u Sanbnc0n2nnnn2【例 13】等差数列 an 的前 n 项和 Snm，前 m 项和 Smn(mn)，求前m n 项和 Sm+n解法一设an的公差 d 按题意，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页名师精编精品教案SnadmSmadn (mn)ad = nmn1m11，得n nm mmn mn()()()(
24、)121212即ad =11mnSmn amn mndmn amndm n12121211()()()()()=(m n)解法二设 Sx Ax2Bx(x N) AmBmn AnBnm 22，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B= 1 故 A(m n)2 B(mn) (mn) 即 Sm+n (mn) 说明a1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了 ，这种设而不ad11mn12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2Bx(xN)【例 14】在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和
25、为75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为27，则 n 之值是多少？解S偶项S奇项=nd nd=90 75=15 又由 a2na127，即 (2n1)d=27 nd15 (2n1)d27n = 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页名师精编精品教案【例15】在等差数列 an中，已知a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值解法一建立 Sn关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值根据题意：，S=17adS9ad1719117162982a1=25，S17S9解得 d 2S25n(2) =n26n =
26、(n13)169n22n n()12当 n=13 时， Sn最大，最大值S13169解法二因为 a1=250，d 20，所以数列 an是递减等差数列，若使前项和最大，只需解，可解出na0a0nnn+1a1 25，S9S17 ，解得9252d =1725dd =29817162an=25(n 1)(2)=2n272n2702(n1)270n13.5n12.5n = 13即前 13 项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S13=169解法三利用 S9=S17寻找相邻项的关系由题意 S9=S17得 a10a11a12 a17=0 而 a10 a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14a130， a140 S13=169 最大解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的nan是等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页名师精编精品教案可设 SnAn2Bn 二次函数y=Ax2Bx 的图像过原点，如图321 所示S9S17， 对称轴 x =9 +172= 13取 n=13 时， S13169 最大5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
