《2022年等差数列教案 2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年等差数列教案 2(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编精品教案第 1 课时等差数列一、知识要点1. 等差数列的定义:等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“ d”表示)公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;对于数列 na, 若na1na=d ( 与 n 无关的数或字母) ,n2,nN ,则此数列是等差数列, d 为公差2等差数列的通项公式:dnaan) 1(1【或nadmnam)(】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列na的首项是1a,公差是 d,则据其定义可得:daa12即:daa12daa23即:da
2、daa2123daa34即:dadaa3134由此归纳等差数列的通项公式可得:dnaan) 1(1二、经典例题例 1若 ab,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 ,b 都是等差数列,则1212yyxx()A43B32C1 D34例 2 在等差数列na中, 公差d 1,174aa8, 则20642aaaa()A40 B45 C50D55 例 3等差数列na的前三项为1,1, 23xxx,则这个数列的通项公式为()A21nanB21nanC23nanD25nan例 4等差数列 an中,已知a113,a2a54,an33,则 n 为() A48 B49 C50 D51 例 5.等
3、差数列na中,1030a,2050a,则通项na;例 6.首项为 -24 的等差数列,从第10 项起开始为正数,则公差的取值范围是_ ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页名师精编精品教案例 7已知等差数列的首项为31,若此数列从第16 项开始小于1,则此数列的公差d 的取值范围是A( ,2) B715, 2 C (2, +) D (715,2) 变式 1.a1, a2, a3, a4成等差数列, 且 a1, a4为方程 2x2 -5x -2= 0 的两根,则 a2a3等于()(A)-1 (B)、52 (C)-52
4、(D)不确定变式 2.等差数列na中,首项a1=21,a8 6,a76, 则此数列的公差d 的取值范围是()(A) d1411 (B) d1211 (C) 1411d1211 (D) 、1411d1211变式 3. 已知命题甲是 “ ABC的一个内角B为 60”,命题乙是 “ ABC的三个内角A、B、C成等差数列”,那么()A 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件B 甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件C 、甲是乙的充要条件D 甲既不是乙的充分条件,也不是必要条件3. 等差数列的性质1:已知mnpq,则mnpqaaaa,注意:mnpqaaa例如:2543aaaa,257aaa在等差数列na中,
5、等距离取出若干项也构成一个等差数列,即,32knknknnaaaa为等差数列,公差为kd. 例 8.已知数列na为等差数列,1820,54aa,求45aa,9a的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页名师精编精品教案例 9.已知数列na为等差数列,282,24aa,求9S的值。变式 4. 等差数列 an 中,若 a2+a4+a9+a11=32,则 a6+a7= ( ) ( A)9 (B)12 (C)15 (D) 、16 性质 2:在等差数列na中,nS为前 n 项和,2nS为前 2n 项和,3nS为前 3n 项和,
6、则nS、2nnSS、32nnSS也是等差数列。例 10.等差数列na中,前 n 项和为 10,前 2n 项和为 40,求数列前3n 项和为多少?例 11.等差数列 an的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前3m 项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 3、等差数列的前n和公式:1()2nnn aaS,1(1)2nn nSnad例 12:设 Sn是等差数列 an的前 n 项和, a12 8,S9 9,则 S16 _. 例 13.在等差数列 an 中, S528,S10=36,则 S15等于()A 24 B44 C64 D80 例 14、数列na中,*11(2
7、,)2nnaannN,32na,前 n 项和152nS,则1a,n;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页名师精编精品教案例 15、首项为 18,公差为 -3 的等差数列,前n 项和 Sn取最大值时,n等于()A5 或 6 B6 C7 D 6 或 7 变式 5. 已知数列 an 的通项公式为an=2n 49, 则 Sn达到最小值时,n 的值是( ) ( A)23 (B) 、24 (C)25 (D)26 变式 6. 已知数列 an 满足 a1=2,an1an1=0,(n N),则此数列的通项an等于()(A)n21 (B
8、)n1 (C)1n (D)、3n 变式 7. 已知数列的通项公式是an2n-47 ,那么当Sn取最小值时, n_ 练习 1. 数列na是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。(1)求数列公差; (2)求前n项和ns的最大值;(3)当0ns时,求n的最大值。练习 2. 在等差数列 an 中, Sm=Sn, 则 Sm+n的值为()(A)0 (B)Sm+Sn (C)2(Sm+Sn) (D))(21nmSS练习 3. 在等差数列 an 中, Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为()(A)p+q (B) -(p+q) (C) p2-q2 (D)p2+q2 4.等差数列解答题综合运用【
9、例 1】等差数列前10 项的和为140, 其中,项数为奇数的各项的和为125,求其第 6 项解依题意,得10ad = 140aaaaa = 5a20d = 125113579110 1012()解得 a1=113,d=22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页名师精编精品教案 其通项公式为an=113(n1)( 22)=22n135 a6=22 61353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a1 5d,
10、也可以不必求出an而直接去求,所列方程组化简后可得相减即得,a2a9d = 28a4d = 25a5d = 36111即 a63可见,在做题的时候,要注意运算的合理性当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提【例 2】在两个等差数列2,5,8, 197 与 2,7,12, 197 中,求它们相同项的和解由已知,第一个数列的通项为an3n 1;第二个数列的通项为bN=5N3 若 ambN,则有 3n15N3 即 nN213()N若满足 n 为正整数,必须有N3k1(k 为非负整数 )又 25N3197,即 1N40,所以N1,4,7, 40 n=1,6,11, 66 两数列相同项的和为217
11、32 197=1393 【例 3】选择题:实数a, b,5a, 7,3b, c 组成等差数列,且ab5a7 3b c2500,则 a,b,c 的值分别为 A1,3,5 B1,3,7C1,3, 99 D1, 3,9 解 C2b = a5ab = 3a由题设又145a 3b,a1,b 3 首项为1,公差为2 又 S = nad 2500= n2 n50n1n nn n()()1212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页名师精编精品教案a50=c=1 (501)2=99 a 1,b3,c99 【例 4】在 1 和 2 之间
12、插入2n 个数,组成首项为1、末项为 2 的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913,求插入的数的个数解依题意 21(2n21)d 前半部分的和后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知,有化简,得解之,得SSnndnndndndnn111 121 229131222913()()()() nd =511由,有 (2n 1)d=1 由,解得,d =111n = 5 共插入 10 个数【例 5】在等差数列 an中,设前 m 项和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 SmSn,mn,求 Sm+n解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn
13、)a(mn1)dm+n11 1212且 SmSn,mn整理得 mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1) = 011112122d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页名师精编精品教案即 由 ,知 (mn)a(mn1)d = 0mna(mn1)d0111212Sm+n0【例 6】已知等差数列 an 中, S3=21,S6=64,求数列 |an|的前 n 项和Tn分析nS = nadan11等差数列前项和,含有两个未知数,n n()12d,已知 S3和 S6的值, 解方程组可得a1与 d,再对数列的前若
14、干项的正负性进行判断,则可求出Tn来解dSnad3a3d = 21ba15d = 24n111设公差为,由公式得n n() 12解方程组得: d 2,a19an 9(n1)(n 2) 2n11 由得 ,故数列的前项为正,a2n110 n= 5.5a 5nn112其余各项为负数列an的前 n 项和为:S9n(2) =n10nn2n n()12当 n 5时, Tn n210n当 n6 时, TnS5|SnS5| S5(Sn S5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50 即T=n10n n5n10n50 n6n*n22N说明根据数列 an中项的符号, 运用分类讨论思想可求|an|的
15、前 n 项和【例 7】在等差数列 an 中,已知 a6 a9a12 a1534,求前 20 项之和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页名师精编精品教案解法一由 a6a9a12a1534 得 4a1 38d34 又S20ad2012019220a1190d5(4a138d)=534=170 解法二 S=(a + a)202= 10(aa )20120120由等差数列的性质可得:a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170 【例 8】已知等差数列 an 的公差是正数,且a3 a7=12,a4a6=4,求
16、它的前20 项的和 S20的值解法一设等差数列 an 的公差为d,则 d 0,由已知可得(a2d)(abd)12 a3da5d =4 1111由,有a1 24d,代入,有d2=4再由 d 0,得 d2 a1=10 最后由等差数列的前n 项和公式,可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得:a4a6a3a7即 a3a7 4 又 a3a7=12,由韦达定理可知:a3,a7是方程 x24x120 的二根解方程可得x1=6,x22 d0 an是递增数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页名师精编精品教案a3 6,a7=2
17、 d =a= 2a10S1807120a373,【例 9】等差数列 an 、bn的前 n 项和分别为Sn和 Tn,若STnnabnn231100100,则等于 A1BCD23199299200301分析nS=n(a + a )nn1n该题是将与发生联系,可用等差数列的前项和公式把前 项和的值与项的值进行联系abSTnnnn1001002312解法一,Sn aaTn bbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()111111222312a100a1a199,2b100b1b199选 abab100100199199=ab=21993199+1=199299C11解法二利用数列 an 为
18、等差数列的充要条件:Snan2bn STnnnn231可设 Sn2n2k, Tnn(3n1)k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页名师精编精品教案abSSTTn knknnknnknnnnabnnnnnn1122100100221311 311426221312100131001199299()()() ()说明该解法涉及数列an为等差数列的充要条件Sn=an2bn,由已知,将和写成什么?若写成,STnnnn231STS= 2nkT = (3n1)knnnnk 是常数,就不对了【例 10】解答下列各题:(1)已知:等
19、差数列an中 a23,a6 17,求 a9;(2)在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数;(3)已知:等差数列an中, a4a6 a15a1750,求 S20;(4)已知:等差数列an中, an=333n,求 Sn的最大值分析与解答(1)a= a(62)d d=5621734a9=a6(96)d=173(5)=32(2)a1=19,an+2=89,Sn+21350 S=(a +a)(n +2)2n2 =2135019 +89= 25 n= 23a= a= a24d d =3512n+21n+2n+2251故这几个数为首项是,末
20、项是,公差为的个数21111286112351223(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21 a4 a17=a6a15=25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页名师精编精品教案S=(a +a)2020120210250417()aa(4)an=333n a130S=(a + a )n2n1n()()633232632322123218222n nnnnnN,当 n=10 或 n=11 时, Sn取最大值165【例 11】求证:前 n 项和为 4n2 3n 的数列是等差数列证设这个数列的第
21、n 项为 an,前 n 项和为 Sn当 n2 时, anSnSn-1an (4n23n) 4(n 1)23(n1) =8n1 当 n=1 时, a1=S1=43=7 由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有 an=8n1 又 an+1an8(n1) 1 (8n1)8 这个数列是首项为7,公差为8 的等差数列说明这里使用了“ an=SnSn-1”这一关系使用这一关系时,要注意,它只在 n2 时成立 因为当 n 1时,Sn-1=S0,而 S0是没有定义的 所以, 解题时,要像上边解答一样,补上n1 时的情况【例 12】证明: 数列 an的前 n 项之和 Snan2bn(a、b 为常数 )是这个数
22、列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2bn,得当 n2 时, anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页名师精编精品教案=2naba a1S1ab 对于任何nN,an2naba 且 anan-1=2na(ba) 2(n1)aba 2a(常数 ) an是等差数列若an是等差数列,则Snad= dn(ad)=d2n11n nnnnn ad()()()1212221若令,则,即dd22= aa= b1Sn=an2bn综上所述, Sn=an2bn 是an成等差数列的充要条件
23、说明由本题的结果, 进而可以得到下面的结论:前 n 项和为 Sn=an2bnc的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上,设数列为un ,则:充分性是等差数列必要性是等差数列 c = 0Sanbu u Sanbnc0n2nnnn2【例 13】等差数列 an 的前 n 项和 Snm,前 m 项和 Smn(mn),求前m n 项和 Sm+n解法一设an的公差 d 按题意,则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页名师精编精品教案SnadmSmadn (mn)ad = nmn1m11,得n nm mmn mn()()()(
24、)121212即ad =11mnSmn amn mndmn amndm n12121211()()()()()=(m n)解法二设 Sx Ax2Bx(x N) AmBmn AnBnm 22,得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B= 1 故 A(m n)2 B(mn) (mn) 即 Sm+n (mn) 说明a1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再解决其它问题,但本题关键在于求出了 ,这种设而不ad11mn12解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴解法二中,由于是等差数列,由例22,故可设Sx=Ax2Bx(xN)【例 14】在项数为2n 的等差数列中,各奇数项之和
25、为75,各偶数项之和为 90,末项与首项之差为27,则 n 之值是多少?解S偶项S奇项=nd nd=90 75=15 又由 a2na127,即 (2n1)d=27 nd15 (2n1)d27n = 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页名师精编精品教案【例15】在等差数列 an中,已知a125,S9S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值解法一建立 Sn关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值根据题意:,S=17adS9ad1719117162982a1=25,S17S9解得 d 2S25n(2) =n26n =
26、(n13)169n22n n()12当 n=13 时, Sn最大,最大值S13169解法二因为 a1=250,d 20,所以数列 an是递减等差数列,若使前项和最大,只需解,可解出na0a0nnn+1a1 25,S9S17 ,解得9252d =1725dd =29817162an=25(n 1)(2)=2n272n2702(n1)270n13.5n12.5n = 13即前 13 项和最大,由等差数列的前n 项和公式可求得S13=169解法三利用 S9=S17寻找相邻项的关系由题意 S9=S17得 a10a11a12 a17=0 而 a10 a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140,a13=a14a130, a140 S13=169 最大解法四根据等差数列前n 项和的函数图像,确定取最大值时的nan是等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页名师精编精品教案可设 SnAn2Bn 二次函数y=Ax2Bx 的图像过原点,如图321 所示S9S17, 对称轴 x =9 +172= 13取 n=13 时, S13169 最大5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页