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1、学习必备欢迎下载专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线1椭圆的定义平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件(1)到两个定点 F1,F2的距离的 和等于常数 2a. (2)2a|F1F2|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页学习必备欢迎下载1双曲线的定义平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件:(1)到两个定点 F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数 2a. (2)2a|F1F2|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页学习必备欢
2、迎下载3.等轴双曲线实轴和虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线, 其标准方程为 x2y2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页学习必备欢迎下载 ( 0),离心率 e2,渐近线方程为y x1抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等 的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫做抛物线的 焦点,直线 l 叫做抛物线的 准线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页学习必备欢迎下载若二元方程 f(x,y)0 是曲线 C 的方程,或曲
3、线C 是方程 f(x,y)0 的曲线,则必须满足以下两个条件:1曲线上点的坐标都是 二元方程 f(x,y)0 的解(纯粹性)2以这个方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点 (完备性 )判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 () (2)椭圆上一点P 与两焦点 F1,F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长, c为椭圆的半焦距 )() (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页学习必
4、备欢迎下载(4)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同 () (5)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 () 1平面内到点 A(0,1)、B(1,0)距离之和为 2 的点的轨迹为 (A) A椭圆B一条射线C两条射线D一条线段解析: 因为点到两定点AB 距离之和为 2|AB|2,所以该点的轨迹为椭圆故选A.2以知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点, A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则 |PF|PA|的最小值为 9解析: 注意到 A 点在双曲线的两支之间, 且双曲线右焦点为F(4 ,0),于是由双曲线性质 |PF|PF|2a4,而|
5、PA|PF|AF|5,两式相加得 |PF|PA|9,当且仅当A、P、F 三点共线时等号成立3(2015 新课标 卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点, 且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页学习必备欢迎下载圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为(x32)2y2254解析: 由题意知 a4,b2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,2),右顶点的坐标为 (4,0)由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,2),(4,0)三点设圆的标准方程为 (xm)2y2r2(0m4,r0),则m24r2,
6、(4m)2r2,解得m32,r2254.所以圆的标准方程为(x32)2y2254. 4 (2015 北京卷 )已知双曲线x2a2y21(a0)的一条渐近线为3xy0,则 a_解析:双曲线x2a2y21 的渐近线为 yxa, 已知一条渐近线为3xy0,即 y3x,因为 a0,所以1a3,所以 a33. 答案:33一、选择题1若椭圆x22y2m1 的离心率为12,则实数 m 等于(A) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页学习必备欢迎下载A.32或83B.32C.83D.38或23解析: 若 m2,则m2m14,解得 m
7、83.若 0m2,则2m214,解得 m32.2. (2015 新课标 卷)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 |MN|(C) A2 6 B8 C4 6 D10 解析: 设圆的方程为 x2y2DxEyF0,则D3EF100,4D2EF200,D7EF500.解得D2,E4,F20.圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0,得 y22 6或 y22 6,M(0,22 6),N(0,22 6)或 M(0,22 6),N(0,22 6),|MN|4 6,故选 C. 3(2015 福建卷 )若双曲线E:x29y2161 的左、右焦点分别为F1,F2,
8、点 P 在双曲线 E 上,且 |PF1|3,则|PF2|等于 (B) A11 B9 C5 D3 4已知点 P 在抛物线 y24x 上,那么点 P 到点 Q(2,1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为 (A) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页学习必备欢迎下载A.14,1B.14,1C(1,2) D(1,2) 解析: 如图,抛物线的焦点F(1,0),准线方程 l:x1,点 P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知 |PF|PD|,显然 D,P,Q 共线时,|PD|PQ|最小,即 |P
9、F|PQ|最小此时 yP1,代入抛物线方程知xp14, P14,1 .5. (2014 江西卷 )过双曲线 C:x2a2y2b21 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点 ),则双曲线 C 的方程为 (A) A.x24y2121 B.x27y291 C.x28y281 D.x212y241 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页学习必备欢迎下载解析: 因为 C:x2a2y2b21 的渐近线为 ybax,所以 A(a,b)或A(a,
10、 b) 因此 OAc4, 从而三角形 OAC 为正三角形,即 tan 60ba,a2,b2 3,双曲线 C 的方程为x24y2121.6(2014 全国大纲卷 )双曲线 C:x2a2y2b21(a0,b0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为3,则 C 的焦距等于 (C) A2 B2 2 C4 D4 2 解析: 由已知可知渐近线的斜率kba3c23且ca2,即b2a23c23且 1b2a24 解得 c231,所以 c2,2c4.故选 C.二、填空题7(2015 北京卷 )已知(2,0)是双曲线x2y2b21(b0)的一个焦点,则 b3解析: 由题意得,双曲线焦点在x 轴上,且 c2.根据双曲线
11、的标准方程,可知 a21.又 c2a2b2, 所以 b23.又 b0, 所以 b3. 8在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F,且与该抛物线相交于A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60,则 OAF 的面积为3解析:由 y24x, 可求得焦点坐标为F(1, 0),因为倾斜角为 60,所以直线的斜率为ktan 60 3,利用点斜式,直线的方程为y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页学习必备欢迎下载3x3,将直线和曲线方程联立,y3x3,y24x? A(3,2
12、3),B13,2 33,因此 SOAF12OFyA1212 33. 三、解答题9已知圆 O 过定点 A(0,p)(p0),圆心 O 在抛物线 C:x22py 上运动, MN 为圆 O 在 x 轴上所截得的弦(1)当点 O 运动时, |MN|是否有变化?并证明你的结论;(2)当|OA|是|OM| 与|ON|的等差中项且 M, N 在原点 O 的右侧时,试判断抛物线 C 的准线与圆 O 是相交、相切还是相离, 并说明理由解析: (1)设 O (x0,y0),则 x202py0(y00),则O 的半径 |OA|x20(y0p)2,O的方程为 (xx0)2(yy0)2x20(y0p)2.令 y0,并把
13、 x202py0代入得 x22x0xx20p20.解得 x1x0p,x2x0p, |MN|x1x2|2p, |MN|不变化,为定值2p.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页学习必备欢迎下载(2)设 MN 的中点为 B,则|OM|ON|2|OB|且 O BMN.又|OA|是|OM|与|ON|的等差中项, |OM| |ON|2|OA|,可得 B(p,0),O p,p2. |O A|p2p2p252p.即圆 O 的半径为52p.又点 O 到抛物线 C 的准线的距离为p2 p2p52p.圆O 与抛物线 C 的准线相交10在
14、平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C1:x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(1,0),且点 P(0,1)在 C1上(1)求椭圆 C1的方程;(2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2:y24x 相切,求直线 l的方程解析: (1)因为椭圆 C1的左焦点为 F1(1,0),所以 c1.将点 P(0,1)代入椭圆方程x2a2y2b21,得1b21,即 b1,所以a2b2c22.所以椭圆 C1的方程为x22y21.(2)直线 l的斜率显然存在且不为0, 设直线 l的方程为 ykxm,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页
15、,共 16 页学习必备欢迎下载由x22y21,ykxm,消去 y 并整理得:(12k2)x24kmx2m220,因为直线 l 与椭圆 C1相切,所以116k2m24(12k2)(2m22)0,整理得 2k2m210.由y24x,ykxm,消去 y 并整理得:k2x2(2km4)xm20.因为直线 l 与抛物线 C2相切,所以2(2km4)24k2m20,整理得 km1.综合,解得k22,m2.或k22,m2.所以直线 l 的方程为y22x2或 y22x2. 11如图,等边三角形OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E:x22py(p0)上精选学习资料 - - - - - - - -
16、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页学习必备欢迎下载(1)求抛物线 E 的方程;(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y1 相交于点Q.证明:以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点解析: (1)依题意, |OB|8 3, BOy30 .设 B(x,y),则 x|OB|sin 30 4 3,y|OB|cos 30 12.因为点 B(4 3,12)在 x22py上,所以(4 3)22p12,解得 p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.(2)证法一由(1)知 y14x2,y12x.设 P(x0,y0),则 x0 0,y014x20,且 l 的方
17、程为yy012x0(xx0),即 y12x0x14x20.由y12x0x14x20,y1,得xx2042x0,y1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页学习必备欢迎下载所以 Q 为x2042x0,1.设 M(0,y1),令MP MQ0 对满足 y014x20(x0 0)的 x0,y0恒成立由于MP(x0,y0y1),MQx2042x0,1y1,由MP MQ0,得x2042y0y0y1y1y210,即(y21y12)(1y1)y00.由于式对满足 y014x20(x0 0)的 y0恒成立,所以1y10,y21y120
18、,解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M(0,1)证法二由(1)知 y14x2,y12x, 设 P(x0, y0), 则 x0 0,y014x20,且 l 的方程为 yy012x0(xx0),即 y12x0x14x20.由y12x0x14x20,y1,得xx2042x0,y1.所以 Q 为x2042x0,1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页学习必备欢迎下载取 x02,此时 P(2,1),Q(0,1),以 PQ 为直径的圆为 (x1)2y22, 交 y 轴于点 M1(0, 1), M2(0, 1); 取 x01, 此时 P 1,14,Q 32,1 ,以 PQ 为直径的圆为x142 y38212564,交 y 轴于点 M3(0,1),M40,74.故若满足条件的点M 存在,只能是 M(0 ,1)以下证明点 M(0,1)就是所要求的点因为MP(x0,y01), MQx2042x0,2, 所以MP MQx20422y022y022y020.故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M(0,1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页