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1、优秀学习资料欢迎下载高中同步测控优化训练 (八)第二单元导数(二)(B 卷) 说明 :本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共 100分，考试时间90 分钟 . 第卷 (选择题共 30 分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分) 1.函数 f(x)=x33x 1 在闭区间 3,0上的最大值、最小值分别是A.1,1 B.1, 17 C.3, 17 D.9, 19 分析 :本题考查利用导数研究函数最值的有关知识.可利用导数确定函数的单调性,借助函数的极值、端点值解决此类问题. 解:f(x)=3x23=3(x1)(x1), 令
2、f(x)=0 得 x=1 或 x=1(舍去 ). f(3)=17, f(1)=3, f(0)=1, f(x)max=3, f(x)min=17. 答案 :C 2.设 f(x)是函数 f(x)的导函数 ,y=f(x)的图象 ,如图所示 ,则 y=f(x)的图象最有可能是O12xyy= fx( )OOOO11112222xxxxyyyyABCD分析 :本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数的单调性. 解:由 f(x)知 x( ,0)时,f(x) 0,f(x)为增函数 ; x(0,2)时 ,f(x)0,f(x)为减函数 ; x(2, )时,f(x) 0,f(x)为增函数 . 只有 C 符合题意
3、. 答案 :C 3.已知函数y=ax315x236x24 在 x=3 处有极值 ,则函数的递减区间为A.( ,1),(5, ) B.(1,5) C.(2,3) D.( ,2),(3, ) 分析 :本题考查函数极值与单调区间的确定. 解:y=3ax2 30x36. 函数在 x=3 处有极值 , y|x=3=27a9036=0.a=2. y=2x3 15x236x 24,y =6x230x36. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载令 y 0,即 x25x60,解得 2x3. 函数的递减区间为(2,3)
4、,故选 C. 答案 :C 4.函数 y=ax3x 在(， )上是减函数，则A.a=31B.a=1 C.a=2 D.a0 分析 :本题可以采用解选择题的常用方法验证法.由 y=3ax21,当 a=31时， y= x21，如果 x1 则 y 0,与条件不符 .同样可判断a=1,a=2 时也不符合题意.当 a0 时，y=3ax21 恒小于 0，则原函数在(， )上是减函数 .故选 D. 答案 :D 5.函数 f(x)=x3x2x 在区间 2， 1上的最大值和最小值分别是A.1，275B.1， 2 C.2，275D.2， 2 分析 :本题考查闭区间上连续函数的最值求解的基本方法.它的求解过程可分两步:
5、第一步，求 (a,b)内的极值；第二步，比较各极值与端点值的大小，求得最值. 解:f(x)=x3 x2 x,f(x)=3x22x1. 令 3x2 2x1=0,得 x1=1,x2=31. f( 2)=(2)3(2)2(2)=2,f(1)=1,f(31)=275,f(1)=1, f(x)max=1,f(x)min=2. 答案 :B 6.给出下列四个命题:当 f(x0)=0 时， 则 f(x0)为 f(x)的极大值 ;当 f(x0)=0 时， 则 f(x0)为 f(x)的极小值 ;当 f(x0)=0 时，则 f(x0)为 f(x)的极值 ;当 f(x0)为函数 f(x)的极值时，则有f(x0)=0.
6、 其中正确命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.0 分析 :本题主要考查函数在一点导数为零与在这一点是否有极值的关系，即对于可导函数， f(x0)=0 是 f(x0)为 f(x)的极值的必要而不充分条件.不妨联系几个典型的例子来理解和掌握 . 解:例如 f(x)=x3,f (x)=3x2,当 f(x)=3x2=0 时， x=0; 当 x0 时,f(x0)0,f(x)在(， 0)上为增函数；当 x0 时， f(x0)0,f(x)在(0， )上为增函数 . 故当 x=0 时，既不是极大值点，又不是极小值点.故三个命题均不正确. 对于函数 f(x)=|x|,f(0)是它的极小值，但f(x)在 x=
7、0 处不可导 .故也不正确. 在解选择题时， 找到一个符合题意的函数关系式，把抽象问题化归成具体问题是一种重要的解题策略 . 答案 :D 7.已知函数f(x)=x3 px2qx 的图象与 x 轴切于 (1,0)点,则 f(x)的极值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载A.极大值为274,极小值为0 B.极大值为 0,极小值为274C.极小值为275,极大值为 0 D.极小值为0,极大值为275分析 :本题考查利用导数求函数的极值.关键是由条件列出p、q 的关系式 ,确定函数关系式. 解:f(x)=
8、3x22pxq, 由(1,0)点在曲线上 ,1p q=0. 又当 x=1 时,f(x)=0,32pq=0. 由解得p=2,q=1. f(x)=x32x2x,f(x)=3x24x1. 令 f(x)=0,解得 x1=31或 x2=1. 列表如下 : x ( ,31) 31(31,1) 1 (1, ) f(x) 0 0 f(x) 极大值极小值所以极大值为f(31)=274,极小值为f(1)=0. 答案 :A 8.若函数 y=x33bx3b 在(0，1)内有极小值，则A.0b1 B.b1 C.b0 D.b21分析 :本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题. 解:极值点是导数为零的点.函数在
9、(0，1)内有极小值，极值点在(0，1)上.令 y= 3x23b=0,得 x2=b,显然 b0, x=b.又 x(0,1).0b1.0b1. 答案 :A 9.如果函数y=f(x)=2x33x2a 的极大值为6，那么 a 等于A.6 B.0 C.5 D.1 分析 :本题主要考查应用导数解决有关极值与参数问题. 解:y=f(x)=6x26x,由于求极值，所以y=0,即 x2x=0,解得 x=0 或 1,列表如下 : x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, ) y0 0 y 增函数极大值减函数极小值增函数所以 y极大=f(0)=a=6,故选 A. 答案 :A 10.路灯距地平面为8 m，一个身高
10、为1.6 m 的人以 2 m/s 的速率在地平面上，从路灯在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载地平面上射影点C 开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为A.207m/s B.247m/s C.227m/s D.21m/s 分析 :本题考查导数的应用. 解:如图，设人从C 点运动到B 处路程为x,时间为 t，AB 为人影长度，AB 长为 y. ABCED北由于 DCBE，则ACAB=CDBE，即xyy=86.1=51. y=41x=21t,v=y=21m/s. 答案 :D 第卷 (非选择题
11、共 70 分) 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.把答案填在横线上) 11.函数 f(x)=x33x27 的极大值是 _. 分析 :本题考查利用求导的方法求函数的极值. 解:f(x)=3x26x. 令 f(x)=0,得 x=0 或 x=2. f(0)=7,f(2)=233227=3，当 x=0 时,f(x)极大值=7. 答案 :7 12.函数 f(x)=x33x2 5 的单调增区间是_. 分析 :本题考查用导数法求函数的单调区间.据导数与函数单调性的关系，只要求f(x)0 的范围即可 .如果它的单调区间是两部分或两部分以上，要注意它们之间不能用“” 相连，也不能用“或
12、”相连. 解:y=3x26x. 由 y=3x26x0,得 x0 或 x2, 函数的增区间为( ,0),(2, ). 答案 :( ,0),(2, ) 13.已知抛物线C:y=x24x27,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线 .若 C 在点 M 处法线的斜率为21,则点 M 的坐标为 _. 分析 :本题考查导数的几何意义.抛物线上某点处切线的斜率即为其导数. 解:抛物线 C 的函数表达式y=x24x27的导数 y=2x4, C 上点 (x0,y0)处切线的斜率k0=2x04. 过点 (x0,y0)的法线斜率为21, 精选学习资料 - - - - - - - -
13、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载21(2x04)=1. 解得 x0=1,y0=21, 故点 M 的坐标为 ( 1, 21). 答案 :(1, 21) 14.质量为5 kg 的物体运动的速度为v=(18t3t2) m/s,在时间t=2 s 时所受外力为_N. 分析 :本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度. 解:v=186t, v|t=2=18 62=6. t=2 时物体所受外力F 为 65=30. 答案 :30 三、解答题 (本大题共5 小题，共54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题
14、 8 分)设函数f(x)=x(x1)(xa)(a1),求导数 f(x),并证明 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2. 分析 :本小题考查导数的应用.对函数f(x)求导 ,令 f(x)=0,求出根 ,判定区间单调性,进而求解 . 解:由 f(x)=xx2(a1)xa=x3 (a1)x2 ax, f(x)=3x22(a1)xa. 3分令 f(x)=0,得方程 3x2 2(1a)xa=0, 因, 1,04) 1(42aaaa故方程有两个不同实根x1,x2. 5分不妨设 x1x2,由 f(x)=3(xx1)(xx2)可判别 f(x)的符号如下 : 当 xx1时,f(x)0; 当 x1xx2时,f(
15、x)0; 当 xx2时,f(x)0. 因此 x1是极大值点 ,x2是极小值点 . 8分16.（本小题12 分）已知函数y=ax 与 y=xb在区间 (0， )上都是减函数，确定函数y=ax3bx25 的单调区间 . 分析 :本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax 与 y=xb的单调性确定 a、 b的取值范围，再根据a、b 的取值范围去确定函数y=ax3bx25 的单调区间 . 解:函数 y=ax 与 y=xb在区间 (0, )上是减函数，a0,b0. 3分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习
16、资料欢迎下载由 y=ax3bx25 得 y=3ax22bx. 6分令 y 0 即 3ax22bx0,ab32x0. 8分因此，当 x(ab32,0)时，函数为增函数. 9分令 y 0 即 3ax22bx0， xab32或 x0. 11分因此，当 x( ,ab32),x(0, )时，函数为减函数. 12分17.(本小题 10 分)将数 8 分成两个非负数之和，使其立方和最小，求这两个数. 分析 :本题考查利用求导的方法求比较复杂函数的最值.解题的关键是建立目标函数，转化为求函数的最值. 解:设一个数为x,则另一个数为(8x),其立方和为y,则 y=x3 (8x)3(0x 8). 4分y=3x23
17、(8x)2=48(x4)，令 y=0，得 x=4,f(4)=128, 8分又 x 0,8,f(0)=f(8)=512, ymin=y|x=4=128,即当两个数都为4 时，其立方和最小. 10分18. （本小题 12 分）设函数 f(x)=ax3bx2cx 在 x=1,x=1 处有极值， 且 f(1)=1,求 a,b,c并求其极值 . 分析 :此题是一道利用导数求函数的极值的题目.思维的方向属于逆向思维，需注意极值点与导数之间的关系.极值点为f(x)=0 的根 .利用这种关系， 列 a,b,c 的方程组求a,b,c 的值，再进一步求f(x)的极值 . 解:f(x)=ax3bx2cx,f (x)
18、=3ax22bxc. 2分x=1,x=1 为方程 f(x)=0 的根，.023,023cbacba4分又 f(1)=1, abc=1. 5分由得a=21,b=0,c=23. 7分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载f(x)=21x323x,f(x)=23x223. 9分令 f(x)=0,得23x223=0, x=1. 10分当 x 的值变化时， y、y的变化情况如下表: x ( ,1) 1 (1,1) 1 (1, ) y0 0 y 极大值 1 极小值 1 由上表可知 ,极小值是f(1)=1;极大值是
19、f( 1)=1. 12分19.（本小题12 分）已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？分析 :本题主要考查用导数的方法求函数的最值.应首先构造体积V 关于高 h 的导数，再求解 .解此题的关键是掌握长方体对角线的长与内接正四棱柱各边的关系.在其他章节的学习中应注意知识的渗透和联系，用求导的方法解决相关问题. 解:如图，设正四棱柱的底边长为x，高为 h，由于 x2x2h2=d2 hd2Oxx2=21(d2h2), 3分球内接正四棱柱的体积为V=x2h=21(d2hh3),0h d, 6分V=21(d23h2)=0,h=33d. 9分在(0,d)上,列表如下 : h (0,33d) 33d (33d,d) V0 V增函数极大值减函数由上表知，体积最大时，球内接正四棱柱的高为33d. 12分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
