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1、名师精编优秀教案任意角的三角函数教案（第一课时）一教材分析三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号二教学目标1、理解任意角的三角函数的定义；2、会求任意角的三角函数值；3、体会类比，数形结合的思想。三.重点，难点教学重点 ：理解任意角的三角函数的定义。教学难点 ：从函数的角度理解三角函数。四，教学过程（一） 新课引入（二）练习： sin
2、30= cos30= tan30= 那么 300度，30000度呢？我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？设锐角的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在的终边上任取一点P（a,b） ，它与原点的距离r22ba0,表示三角函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师精编优秀教案sin=rb, cos=ra, tan=ab .取 P，使 r=1,则 sin=b cos=a tan=ab,引入单
3、位圆的概念。（三） 概念介绍设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y） ，那么，（1） y叫做的正弦，记作 sin ,即 sin y；（2） x叫做的余弦，记作 cos ，即 cos x；（3）xy叫做 的正切，记作 tan ，即 tan =xy。正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。（四） 例题讲解例一 求35的正弦，余弦和正切值。小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。例二 已知角的终边经过 p（3，4） ，求角的正弦，余弦，正切值。小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以
4、求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义：角 的终边上一点 P（a,b） ，它与原点的距离r22ba0,则（1）rb叫做三角形的正弦，即sin =rb; （2）ra叫做三角形的余弦，即cos =ra; （3）ab叫做三角形的正切，即tan =.ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师精编优秀教案点明：用单位圆定义的好处就在于r1，这样，点的横坐标表示余弦值，纵坐标表示正弦值。 当 的终边不在坐标轴上时，的某一三角函
5、数值唯一确定 当 的终边在纵轴上时， tan 不存在当的终边在横在横轴上时，的三角函数质唯一确定（四）随堂练习1、若0cossin，则在（ B ）A第一、四象限B第一、三象限 C第一、二象限 D第二、四象限2、角终边上有一点（ a，a）则 sin= （ B ）A22B22或22 C22 D1 3、下列说法正确的是（ B ）A正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零。B设 A 是第三象限的角，且2sin|2sin|AA，则2A是第四象限的角。C对任意的角，都有cossincossin。D若cos与tan同号，则是第二象限的角。4、sin2cos3tan4的符号是（ A ）A小于
6、0 B大于 0 C等于 0 D不确定5、适合条件 |sin|=sin的角是第二，四象限角或 y 轴负半轴。6、若点 P(3，)是角终边上一点，且32sin，则的值是。7、已知角 的终边上一点P 的坐标是（ x，2）(x0)，且3cosx，求 sin和 tan的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师精编优秀教案（五）布置作业； 习题 1.2 A 组 1. 2. 五板书设计课题引入定义例一 例二小结（练习用小黑板或者多媒体）任意角的三角函数教学案例白 涛一、教学内容解析这是一堂关于任意角的三角函数的概念课在初中，学
7、生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用而任意角三角函数的概念又是
8、整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键二、教学目标解析1借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：（1）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；（2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；（3）知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上
9、点的坐标或坐标的比值为函数值的函数2在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题三、教学问题诊断分析1学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系2学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认精选学习
10、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师精编优秀教案识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变3学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义
11、的本质，同时还能定义任意角的三角函数四、教学支持条件分析为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维五、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景1复习锐角三角函数的定义问题 1：在初中，我们已经学过锐角三角函数如图1，在直角POM中，M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O的正弦、余弦和正切分别是什么？设计意图 ：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义师生活动 ：教师提出问题，学生回答2认
12、识任意角三角函数的定义问题 2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？设计意图 ：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数师生活动 ：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编优秀教案以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列
13、问题来启发学生进行思考：（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数在此基础上，组织学生讨论：（3）如图 2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角 的三角函数呢？如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角 的终边不在第I 象限又该怎么办？（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终
14、边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？渗透数形结合的思想（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？问题 3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？设计意图 ：为引入单位圆进行铺垫师生活动 ：教师提出问题后，可组织学生展开讨论在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编优秀教案（1）我们在定义1 弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？（2）对于一个三角函数，比如ysin ，它的函数
15、值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？加强与几何的联系问题 4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？设计意图 ：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义师生活动 ：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理问题 5：根据任意角三角函数的定义，要求角 的三个三角函数值其实就是分别是求什么？设计意图 ：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质师生活动 ：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例
16、 1：已知角 的终边经过点，求角 的正弦、余弦和正切值设计意图 ：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想师生活动 ：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：变式 1：求的正弦、余弦和正切值变式 2：已知角 的终边经过点P（ 3，4），求角 的正弦、余弦和正切值3进一步理解任意角三角函数的概念问题 6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计意图 ：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域三角函数的对应法则已经由
17、定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念师生活动 ：学生求出定义域，教师进行整理问题 7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？设计意图 ：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想师生活动 ：学生回答，教师整理例 2：求证：（ 1）当不等式组成立时，角 为第三象限角；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编优秀教案（2）当角 为第三象限角时，不等式
18、组成立设计意图 ：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念师生活动 ：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练问题 8：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？设计意图 ：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想师生活动 ：在教师引导下，由学生讨论完成例 3：先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：设计意图 ：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进
19、一步理解三角函数的概念师生活动 ：先完成题（ 1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题4练习1填表：角 030456090180270360角 的弧度数sin cos tan 2设 是三角形的一个内角，在sin ，cos ，tan ，中，有可能取负值的是3选择“ ”，“ 0， sin 0， cos 0， tan cos. B. 若、是第二象限的角，则tantan. C. 若、是第三象限的角，则coscos. D. 若、是第四象限的角，则tantan. 2求下列函数的定义域：（1） y = ; (2) y = lg(3 4sin2x) . 延展作业 :1. 类比正切线的作法，你能作出余切线吗？2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论 ,你还能得出哪些结论？请大家继续在论坛上交流. 3.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突出贡献 ,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流. 既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
