《2022年函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载函数的周期性练习题一选择题(共15小题)1定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x) ,f(x2)=f(x+2)且 x (1,0)时, f(x)=2x+ ,则 f(log220)=()A1 BC1 D2设偶函数 f(x)对任意 x R,都有 f(x+3)=,且当 x 3,2时,f(x)=4x,则 f(107.5)=()A10 BC10 D3设偶函数 f(x)对任意 x R 都有 f(x)=且当 x 3,2时 f(x)=4x,则 f(119.5)=()A10 B10 CD4若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则 f(8)f(4
2、)的值为()A1 B1 C2 D25已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x (0,2时,f(x)=2x+log2x,则 f(2015)=()A2 BC2 D5 6设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(2,1上的图象,则 f(2014)+f(2015)=()A3 B2 C1 D07已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并满足:,当 2 x 3,f(x)=x,则 f(5.5)=()A5.5 B5.5 C2.5 D2.5 8奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x (0,1)时,f(x)=3x+ ,则 f(log354)=(
3、)A2 B CD2 9定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x)=0,且周期是 4,若 f(1)=5,则 f(2015) ()A5 B5 C0 D310f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=,若 f(1)=5,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精品资料欢迎下载f(f(5) )=()A5 BCD5 11已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+5)=f(x5) ,且 0 x 5 时,f(x)=4x,则 f(1003)=()A1 B0 C1 D2 12函数 f(x)是 R 上最小正周期为
4、 2 的周期函数,当 0 x2 时 f(x)=x2x,则函数 y=f(x)的图象在区间 0,6上与 x 轴的交点个数为()A6 B7 C8 D913已知函数 f(x)是定义在( ,+)上的奇函数,若对于任意的实数 x 0,都有 f(x+2)=f(x) ,且当 x 0,2)时,f(x)=log2(x+1) ,则 f(2014)+f(2015)+f(2016)的值为()A1 B2 C2 D1 14已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当x 0,3)时,f(x)=|2x24x+1|,则方程f(x)= 在3,4解的个数()A4B8C9D10 15已知最小正周期为2 的函数 f(x)在区间
5、 1,1上的解析式是 f(x)=x2,则函数 f(x)在实数集 R 上的图象与函数 y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数是()A3 B4 C5 D6二填空题(共10小题)16已知定义在 R 上的函数 f(x) ,满足 f(1)= ,且对任意的 x 都有f(x+3)=,则 f(2014)=17若 y=f(x)是定义在 R 上周期为 2 的周期函数,且 f(x)是偶函数,当 x 0,1时,f(x)=2x1,则函数 g(x)=f(x)log5|x|的零点个数为18定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=,则 f(2013)的值为19定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点 ( ,
6、0)对称,且满足 f (x)=f (x+ ) ,f (1)=1,f (0)=2,则 f (1)+f (2)+f (3)+ +f (2010)的值为 =20定义在 R 上的函数 f(x)满足:,当 x (0,4)时,f(x)=x21,则 f(2011)=21定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) 当3 x1 时,f(x)=(x+2)2,当 1 x3 时,f(x)=x则f(1)+f(2)+f(3)+ +f(2012)=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精品资料欢迎下载22若函数 f(x)是周期为 5
7、 的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则 f(8)f(14)=23设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 若 f(2)1,f(2014)=,则实数 a 的取值范围是24设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0 x 1 时,f(x)=2x(1x) ,则=25若 f(x+2)=,则 f(+2)?f(14)=一选择题(共15小题)1 【解答】 解:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x) ,函数 f(x)为奇函数又f(x2)=f(x+2)函数 f(x)为周期为 4 是周期函数又log232log220log216 4log2205 f(log220)=f(lo
8、g2204)=f(log2)=f(log2)=f(log2)又x (1,0)时, f(x)=2x+ ,f(log2)=1 故 f(log220)=1 故选 C 2【解答】解: 因为 f (x+3) =, 故有 f (x+6) =f(x) 函数 f(x)是以 6 为周期的函数f(107.5)=f(6 17+5.5)=f(5.5)=故选 B 3 【解答】 解:函数 f(x)对任意 x R 都有 f(x)=,f(x+3)=,则 f(x+6)=f(x) ,即函数 f(x)的周期为 6,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精品
9、资料欢迎下载f(119.5)=f(20 60.5)=f(0.5)=,又偶函数 f(x) ,当 x 3,2时,有 f(x)=4x,f(119.5)=故选: C4 【解答】 解:f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数, f(x)=f(x) ,f(1)=f(1) ,可得 f(1)=f(1)=1,因为 f(2)=f(2) ,可得 f(2)=f(2)=3,f(8)=f(85)=f(3)=f(35)=f(2)=3,f(4)=f(45)=f(1)=1,f(8)f(4)=3( 1)=2,故选 C;5 【解答】 解: f(x)的周期为 4,2015=4 5041,f(2015)=f(1) ,又 f(x)是定义在
10、 R 上的奇函数,所以 f(2015)=f(1)=21log21=2,故选: A6 【解答】 解:由图象知 f(1)=1,f(1)=2,f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,f(2014)+f(2015)=f(1)+f(1)=1+2=3,故选: A 7 【解答】解:,=f(x)f(x+4)=f(x) ,即函数 f(x)的一个周期为4 f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)f(x)是定义在 R 上的偶函数f(5.5)=f(1.5)=f(1.5)=f(1.5+4)=f(2.5)当 2 x 3,f(x)=x f(2.5)=2.5 f(5.5)=2.5 故选 D 8 【解答】 解:
11、f(x+2)+2=f(x+2)=f(x) ,f(x)是以 4 为周期的奇函数,又,f(log354)=2,故选: A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精品资料欢迎下载9 【解答】 解:在 R上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x)=0 则:f(x)=f(x)所以函数是奇函数由于函数周期是4,所以 f(2015)=f(504 41)=f(1)=f(1)=5 故选: B 10 【解答】 解:f(x+2)=f(x+2+2)=f(x)f(x)是以 4 为周期的函数f(5)=f(1+4)=f(1)=5 f(f(5) )=f
12、(5)=f(5+4)=f(1)又f(1)=f(f(5) )=故选 B 11 【解答】 解: f(x+5)=f(x5) ,f(x+10)=f(x) ,则函数 f(x)是周期为 10 的周期函数,则 f(1003)=f(1000+3)=f(3)=43=1,故选: C12 【解答】 解:当 0 x2 时,f(x)=x2x=0 解得 x=0 或 x=1,因为 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,故 f(x)=0 在区间 0,6)上解的个数为 6,又因为 f(6)=f(0)=0,故 f(x)=0在区间 0,6上解的个数为 7,即函数 y=f(x)的图象在区间 0,6上与 x 轴的交点的个数为
13、7,故选: B13 【解答】 解:f(x+2)=f(x) ,f(2014)=f(2016)=f(0)=log21=0,f(x)为 R 上的奇函数, f(2015)=f(2015)=f(1)=1f(2014)+f(2015)+f(2016)=01+0=1故选 A14 【解答】 解:由题意知, f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x 0,3)时, f(x)=|2x24x+1|,在同一坐标系中画出函数f(x)与 y= 的图象如下图:由图象可知:函数y=f(x)与 y= 在区间 3,4上有 10 个交点(互不相同),所以方程f(x)= 在3,4解的个数是 10 个,故选: D15 【解答
14、】 解:函数 f(x)的最小正周期为2,f(x+2)=f(x) ,f(x)=x2,y=g(x)=|log5x| 作图如下:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精品资料欢迎下载函数 f(x)在实数集 R 上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数为 5,故选: C 二填空题(共10小题)16 【解答】 解:对任意的 x 都有 f(x+3)=,f(x+6)=f(x) ,函数 f(x)为周期函数,且周期T=6,f(2014)=f(335 6+4)=f(4)=f(1+3)=5 故答案为: 5 17【解答】
15、解:当 x 0,1时,f(x)=2x1,函数 y=f(x)的周期为 2,x 1,0时,f(x)=2x1,可作出函数的图象;图象关于y 轴对称的偶函数y=log5|x|函数 y=g(x)的零点,即为函数图象交点横坐标,当 x5 时,y=log5|x|1,此时函数图象无交点,如图:又两函数在 x0 上有 4 个交点,由对称性知它们在x0 上也有 4 个交点,且它们关于直线 y 轴对称,可得函数 g(x)=f(x)log5|x|的零点个数为 8;故答案为 8;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精品资料欢迎下载18 【解答
16、】 解:由分段函数可知,当x0 时,f(x)=f(x1)f(x2) ,f(x+1)=f(x)f(x1)=f(x1)f(x2)f(x1) ,f(x+1)=f(x2) ,即 f(x+3)=f(x) ,f(x+6)=f(x) ,即当 x0 时,函数的周期是6f(2013)=f(335 6+3)=f(3)=f(0)=log2(80)=log28=3,故答案为: 319 【解答】解:由 f (x)=f (x+ )得 f (x+3)=f(x+ )+ =f (x+ )=f (x).所以可得 f (x)是最小正周期 T=3 的周期函数;由 f (x)的图象关于点(,0)对称,知( x,y)的对称点是(x,y)
17、 即若 y=f (x) ,则必 y=f (x) ,或 y=f (x) 而已知 f (x)=f (x+) ,故 f (x)=f (x+ ) ,今以 x 代 x+ ,得 f (x)=f (x) ,故知 f (x)又是 R 上的偶函数于是有:f (1)=f (1)=1;f (2)=f (23)=f (1)=1;f (3)=f (0+3)=f (0)=2;f (1)+f (2)+f (3)=0,以下每连续 3 项之和为 0而 2010=3 670,于是 f (2010)=0;故答案为 020 【解答】 解:由题意知,定义在R 上的函数 f(x)有,则令 x=x+2 代入得, f(x+4)=f(x) ,
18、函数 f(x)是周期函数且 T=4,f(2011)=f(4 502+3)=f(3) ,当 x (0,4)时, f(x)=x21,f(3)=8即 f(2011)=8故答案为:8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精品资料欢迎下载21 【解答】 解:当 3 x1 时,f(x)=(x+2)2,f(3)=1,f( 2)=0,当 1 x3时,f(x)=x,f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,又f(x+6)=f(x) 故 f(3)=1,f(4)=0,f(5)=1,f(6)=0,又2012=335 6+2,故
19、f(1)+f(2)+f(3)+ +f(2 012)=335 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(1)+f(2)=335+1+2=338,故答案为: 338 22 【解答】 解:由题意可得, f(8)=f(810)=f(2)=f(2)=2,f(14)=f(1415)=f(1)=f(1)=1,故有 f(8)f(14)=2( 1)=1,故答案为 123 【解答】 解:解:由 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,则 f(x+3)=f(x) ,f(x)=f(x) ,f(2014)=f(3 6722)=f(2)=f(2) ,又 f(2)1,f(2014) 1,即1
20、,即为0,即有( 3a2) (a+1) 0,解得, 1a ,故答案为:24 【解答】解:f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0 x 1 时,f(x)=2x(1x) ,=f()=f( )=2 (1)=,故答案为:25 【解答】 解:由题意可得 f(+2)=sin=sin(6 )=sin=,同理可得 f(14)=f(16+2)=log216=4,f(+2)?f(14)= 4=,故答案为:三解答题(共5 小题)26 【解答】 (1)证明: f(x+2)=f(x) ,f(x+4)=f(x+2)=f(x) ,f(x)是周期为 4 的周期函数;(2)解:当 x 2,0时, x 0,2,由已知得 f(x)=
21、2(x)( x)2=2xx2,又 f(x)是奇函数,f(x)=f(x)=2xx2,f(x)=x2+2x,又当 x 2,4时,x4 2,0,f(x4)=(x4)2+2(x4) ,又 f(x)是周期为 4 的周期函数,f(x)=f(x4)=(x4)2+2(x4)=x26x+8,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精品资料欢迎下载从而求得 x 2,4时,f(x)=x26x+8;(3)解: f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=1,又 f(x)是周期为 4 的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f
22、(4)+f(5)+f(6)+f(7)= =f(2 000)+f(2 001)+f(2 002)+f(2 003)=0f(0)+f(1)+f(2)+ +f(2 004)=0+f(2004)=027 【解答】 解: (1)当 x 1,0时, x 0,1,又 f(x)是偶函数则,x 1,0(2),1log32 0,1,即28 【解答】 解: (1)令 x 1,0) ,则x (0,1,f(x)=2x1又f(x)是奇函数, f(x)=f(x) ,f(x)=f(x)=2x1,(2)f(x+4)=f(x) ,f(x)是以 4 为周期的周期函数,29 【解答】 解:函数 f(x)的周期为 3,f(2014)=
23、f(671 31)=f(1) ,函数 f(x)是奇函数,f(1)=f(1)=(121+2)=2,f(2014)=230 【解答】 解; (1)因为奇函数 f(x)的定义域为 R,周期为 2,所以 f(1)=f(1+2)=f(1) ,且 f(1)=f(1) ,于是 f( 1)=0(2 分)当 x (1,0)时, x (0,1) ,f(x)=f(x)=(2x+2x)=2x2x (5 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精品资料欢迎下载所以 f (x) 在1, 0) 上的解析式为(7 分)(2)f(x)在( 2,1)上是单调增函数 (9 分)先讨论 f(x)在( 0,1)上的单调性设 0x1x21,则因为 0x1x21,所以,于是,从而 f(x1)f(x2)0,所以 f(x)在(0,1)上是单调增函数 (12 分)因为 f(x)的周期为 2,所以 f(x)在( 2,1)上亦为单调增函数 (14分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页