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1、精品资料欢迎下载xxxf1)(1)(2xxxfxxf1)(函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1偶函数:一般地,如果对于函数xf的定义域内任意一个x,都有xfxf,0)()(xfxf,那么函数xf就叫做偶函数。2.奇 函 数 : 一 般 地 , 如果对于 函 数xf的 定 义 域 内 任一 个x, 都 有xfxf,0)()(xfxf,那么函数xf就叫做奇函数。注意: (1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断xfxf之一是否成立。(2)在判断xf与xf的关系时,只需验证0xfxf及)()(xfxf=1是否成立即可来
2、确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。xxxf2)(,(2)xxxf3)((3)RxxfxfxG,(4) (5)xxxfcos)( (6)xxxfsin)( (7) xxxf22)(,(8)提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断(1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。(2)常见的奇函数有:xxf)(,3)(xxf,xxfsin)(,(3)常见的奇函数有:2)(xxf,xxf)(,xxfcos)((4)若xf、xg都是偶函数 ,那么在xf与xg的公共定义域上,xf+xg为偶函数,xfxg为偶函数。当xg0时,)()(xgxf为偶函数。(5)若xf,xg都是奇函数,那么在x
3、f与xg的公共定义域上,xf+xg是奇函数,xfxg是奇函数,xgxf是偶函数,当xg0 时,)()(xgxf是偶函数。(6)常函数为常数ccxf是偶函数,fx0 既是偶函数又是奇函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精品资料欢迎下载(7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零 )仍为偶函数 ;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零 )为奇 (偶)函数 ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数xgfxF;若xg为偶函数 , fx为奇(偶)函数,则xF都为偶函数;若x
4、g为奇函数,xf为奇函数 ,则xF为奇函数 ;若xg为奇函数,xf为偶函数,则xF为偶函数 . 题型二三次函数奇偶性的判断已知函数dcxbxaxxf23)(,证明:( 1)当0ca时,)(xf是偶函数(2)当0db时,)(xf是奇函数提示:通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,如cbxaxxf2)(,当0b,)(xf是偶函数;当0ca,)(xf是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数23fxaxbxab是偶函数,定义域为1 2aa,则 ab312 设2( )2f xaxbx是定义在1,2a上的偶函数,则( )f x的值域是10,23 已知)(1(sin)(axxxx
5、f是奇函数,则a的值为 1 4 已知)ln(sin)(2axxxxf是偶函数,则a的值为 1 提示: (1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,)()(),()(xfxfxfxf。(2)因为是填空题,所以还可以用)1()1(),1()1(ffff。(3)还可以用奇偶性的性质,如奇函数乘以奇函数是偶函数,奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四利用函数奇偶性的对称1 下列函数中为偶函数的是( B )A2sinyxxxy B2cosyxx Clnyx D2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精品资料欢迎下载2 下列函数中,
6、既不是奇函数,也不是偶函数的是A AxexyBxxy1Cxxy212D21xy3 下列函数中,为偶函数的是( C )A1yx B1yx C4yx Dyx4 函数1( )f xxx的图像关于( C )Ay轴对称B 直线xy对称 C 坐标原点对称 D 直线xy对称5 已知函数)1(xf是R上的奇函数,且4)1(f,则)3(f=-4 6 已知函数)2(xf是R上的偶函数,则3)3(f,则)7(f=-3 提示: (1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,)()(),()(xfxfxfxf。(2)奇函数关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。(3) 在原点有定义的奇函数必有0)0(f。(4)已知函数)(
7、txf是R上的奇函数,则)(xf关于点)0,(t对称。(5) 已知)(txf是偶函数,则)(xf关于直线tx对称。题型五奇偶函数中的分段问题1 设( )f x为定义在R上的奇函数, 当0x时,( )22xf xxb(b为常数) , 则( 1)f-3 2 已知fx是奇函数,且当0x时,2fxx x,求0x时,fx的表达式。2)(xxxf3 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数,当0x时,232)(xxxf,则)3(f=-45 4 已知fx是偶函数,当0x时,xxxf2)(2,求)4(f245 设偶函数( )f x满足)0(42)(xxfx,则20x fx=|04x xx或提示: (1)已知奇
8、函数)(xf,当0x,)()(xgxf,则当0x时,)()(xgxf。(2)已知偶函数)(xf,当0x,)()(xgxf,则当0x时,)()(xgxf。类型六奇函数的特殊和性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精品资料欢迎下载1 已知函数2)(3axxf,求)2()2(ff的和为 4 2 已知753()6fxxbxcxdx,且( 3)12f,则(3)f=0 3 已知8)(35bxaxxxf,10)2(f,)2(f=_-26_ 4 已知函数( )f x2211xxx,若32)(af,则)( af( 43) 提示: 已
9、知)(xf满足,txgxf)()(,其中)(xg是奇函数,则有tafaf2)()(。题型七函数奇偶性的结合性质1 设( )f x、( )g x是R上的函数,且( )f x是奇函数,( )g x是偶函数,则结论正确的是A.( )f x( )g x是偶函数B.|( )f x|( )g x是奇函数C.( )f x|( )g x|是奇函数D.|( )f x( )g x|是奇函数2 设函数( )f x和( )g x分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A)()(xgxf是偶函 B)()(xgxf是奇函数C)()(xgxf| 是偶函数 D )()(xgxf| 是奇函数3 设 函 数( )f x
10、与( )g x的 定 义 域 是xR且1x,( )f x是 偶 函 数, ( )g x是 奇 函 数 ,且1( )( )1f xg xx,求( )f x和( )g x的解析式 , 21( )1f xx,2( )1xg xx。提示: (1)已知)(xf是奇函数,则)(xf是偶函数。(2)已知)(xh是R上的函数,且)(xf也是R上的偶函数和( )g x也是R上的奇函数,满足)()()(xgxfxh,则有2)()()(xhxhxg,2)()()(xhxhxf。题型八函数的奇偶性与单调性1 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是()A1yxBxyeC21yxDlgyx2 下列函数中,既
11、是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精品资料欢迎下载(A)cos2yx,xR (B)xy2log,xR 且 x0 (C)2xxeey,xR (D)31yx, xR 3 设( )sinf xxx,则( )fx( B )A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数D 没有零点的奇函数4 设奇函数( )fx在(0),上为增函数,且(1)0f,则不等式( )()0f xfxx的解集为(( 1 0)(01),)5已知偶函数fx在0,单调递减,20f, 若10fx,
12、 则x的取值范围是)3, 1(. 6 已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加,则满足(21)fx1( )3f的x取值范围是)32,31(提示: (1)已知)(xf是奇函数,且在)0,(上是增(减)函数,则在),0(上也是增(减)函数。(2)已知)(xf是偶函数,且在)0 ,(上是增(减)函数,则在),0(上也是减(增)函数。(3)已知)(xf是偶函数,必有)()()(xfxfxf。题型九函数的奇偶性的综合问题1 已知函数fx,当,x yR时,恒)()()(yfxfyxf,且0,0xfx时,又112f(1)求证:fx是奇函数; (2)求证:)(xf在 R 上是减函数; (3)求)(xf在区间
13、2,6上的最值。最大值1,最小值 -3。2 设上递增,上是偶函数,在区间在0R)(xf, 且有3221222aafaaf, 求a的取值范围。),32(练习题一、 判断下列函数的奇偶性(1)1)(2xxxf( 2)1)(2xxf(3))1 , 1(,111xxxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精品资料欢迎下载(4)2)(2xxxf(5)Rxxf, 1)((5)2,2,0)(xxf(6)xexfln)(7)xxxf3)(8)xxxftansin)(( 9 )1)(2xxf, (10)1)(xxf,(11)xxe
14、exf)(,(12)xxxfsin)( (13) xxxf2)(,(14)xxxfcos)(2,(15)xxf2)(,(16)1ln()(2xxxxf,(17)21( )ln(1 |)1f xxx二、利用函数的奇偶性求参数的值1 若函数2(1)23fxmxmx是偶函数,求m的值。 0 2 若函数4)1()(23cbxxaxxf是奇函数,求5)(2ca的值。 4 3 函数xxbaxxf23)1()(是奇函数,定义域为), 1(ab,则2)2(ba的值是 9 4 若1( )21xf xa是奇函数,则a125 若函数axxxf2)(为偶函数,则实数a_0_.6 设函数)()(Rxaeexxfxx是偶
15、函数,则实数a_-1_ 7 若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数,则a= 22.8 若(2)()()xxmf xx为奇函数 , 则实数m_-2_.9 若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数,则a 1 10 若axexfx1ln3是偶函数,则a_32_. 三、函数奇偶性定义的应用1 函数 y=22log2xyx的图像 A(A)关于原点对称(B)关于直线yx对称( C)关于y轴对称( D)关于直线yx对称2 已知函数1fx2x,xR则 (B )A. fxfxB.fx为偶函数C.0fxfxD.fx不是偶函数3 若fx是偶函数,则kfx(k为常数)( A ) A.是偶函数B.不是偶函数C.
16、是常数函数D.无法确定是不是偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精品资料欢迎下载4 函数fx=0, 1.0, 1xx则fx为(B )A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数5 已知fx为奇函数,则fxx为(A )A 奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数6 已知点1,3是偶函数fx图像上一点,则1f等( B )A.-3 B.3 C.1 D.-1 7 若点1,3在奇函数yfx的图象上,则1f等于( D)A.0 B.-1 C.3 D.-38 已知2)(
17、xxfy是奇函数 , 且1) 1(f. 若2)()(xfxg, 则)1(g_-1_ .9 设)(xf是定义在R上的一个函数,则函数)()()(xfxfxF,在R上一定是(A )A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数10 设( )f x是R上的奇函数,且)(xfy的图象关于直线21x对称,则)5()4()3()2()1(fffff011 已知偶函数( )f x的图像关于直线2x对称,3)3(f,则( 1)f_3_.12 设函数xf对于任意, x yR都有fxyfxfy,求证:xf是奇函数。13已知tR, 函数2,0,( )( ),0,xt xf xg x x为奇函数,则t -1 ,
18、( 2)g f -7 14 已知奇函数( )f x的,且方程0)(xf仅有三个根321,xxx,则321xxx的值 0 15 设函数xf是R上为奇函数,且)2()()2(fxfxf,在)5(f的值2516 已知偶函数)0(42)(xxfx,求03)(4)(2xfxf的个数 7 17 已知偶函数)0(64)(2xxxxf,求048)(44)(12)(23xfxfxf的个数 9四、函数奇偶性的性质1 已知)3(xf是偶函数,且2)0(f,则3)6(2 f的值为 1 2 已知2)(xxf,则)3()3(ff的值 4 3 已知3( )4f xaxbx其中,a b为常数,若( 2)2f,则(2)f的值等
19、于 ( -10 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精品资料欢迎下载4 已知2)(axxf,则)3()3(ff的值-4 5 已知2)(xbaxxf,则)31(ln)3(lnff的值-46 已知3sin)(xcxbaxxf,则)31(ln)3(lnff的值67 已知函数2ln12fxxx,则1lg 5lg5ff(4)8 已知函数21ln1931,.lg 2lg2fxxxff则29 已知函数3( )sin4( ,)f xaxbxa bR,2(lg(log10)5f,则(lg(lg 2)f310 设函数1sin)1()
20、(22xxxxf的最大值为M,最小值为m,则mM=_2_ 11 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数,当(,0)x时,32( )2f xxx,则(2)f11 在R上的奇函数fx和偶函数g x满足2)()(xxaaxgxf(a 0, 且0a). 若2ga,则2f= 15412 若函数( ),( )fxg x分别是R上的奇函数、偶函数,且满足( )( )xf xg xe,则有( D )A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gff C(2)(0)(3)fgf D(0)(2)(3)gff13 若函数 fx 为R上的偶函数, 且当010x时,lnfxx, 则2fef e 3 14函 数)(x
21、f是 定 义 在 实 数 集R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数x都 有)()1()1(xfxxxf,则)25(f的值是 0 15函 数)(xf是 定 义 在 实 数 集R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数x都 有)()1()1(xfxxxf,则)25( ff的值是 0 16 若函数2( )1xafxxbx在1,1上是奇函数 ,则( )f x的解析式为 _2( )1xf xx_. 17 设( )f x是R上的奇函数,且当0,x时,3( )(1)fxxx,则当(, 0)x时( )f x_3(1)xx_精选学习资料 - - - -
22、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精品资料欢迎下载18 已知定义在R上的奇函数( )f x,当0x时,1|)(2xxxf,那么0x时,( )f x12xx. 19 函数231( )ln11xxef xxxe在区间,(0)k kk上的最大值为M,最小值为m,则mM 4 20 奇函数( )fx的定义域为R,若(2)f x为偶函数,且(1)1f,则(8)(9)ff( 1 )21 设定义在R上的奇函数,满足)2()(xfxf,那么)2017()2()1(fff的值 0 22 已知函数( )f x是R上的偶函数,当0x,都有)()2(xfxf,且当)2
23、,0x时,)1(log)(2xxf,则有)2017()2016(ff的值 1 五、函数奇偶性和单调性的应用1 已知函数2( )(2)(1)3f xkxkx是偶函数,则)(xf的递减区间是0,2 设奇函数( )fx在(0),上为增函数,且(1)0f,则不等式( )()0f xfxx的解集为(( 1 0)(01),)3 已知函数1( )3( )3xxf x,则( )f x(A)是偶函数,且在R上是增函数(B)是奇函数,且在R上是增函数(C)是偶函数,且在R上是减函数(D)是奇函数,且在R上是减函数4 已知奇函数( )f x在R上是增函数 . 若0.8221(log),(log4.1),(2)5af
24、bfcf, 则, ,a b c的大小关系为5 已知( )f x是定义在R上的偶函数, 且(4)(2)f xf x. 若当 3,0x时,( )6xf x,则(919)f .6已知偶函数fx在0,单调递减,20f, 若10fx, 则x的取值范围是)3, 1(. 7 已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加,则满足(21)fx1( )3f的x取值范围是)32,31(8 若偶函数)(xf在1,上是增函数,则下列关系式中成立的是(D )A)2()1()23(fffB)2()23()1(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14
25、页精品资料欢迎下载C)23()1()2(fffD) 1()23()2(fff9 设偶函数( )f x满足3( )8(0)f xxx,则|(2)0x f x|04x xx或10已 知 函 数fx是 定 义 在R上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间,上 单 调 递 减 , 若3110fxf,则x的取值范围是 _),32(_11 已知)(xf是定义在R上的偶函数,且在区间)0,(上单调递增,若实数a满足)2()2(| 1|ffa,则a的取值范围是()23,21()12已 知 定 义 在R上 的 函 数21x mfx(m为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记0.52(log3),log 5 ,2af
26、bfcfm,则, ,a b c的大小关系为cab13)(xf是定义在R上的偶函数, 在0,(上是减函数, 且0)2(f,则使得0)(xf的x的取值范围是)2,2(14 已 知 函 数)(xf是 偶 函 数 , 在),0上 单 调 递 减 , 则)1 (2xf的 单 调 递 增 区 间 是 1 ,01,(15 已知函数)4(xf是偶函数,在),4(上单调递减,则)54(log22xxf的单调递减区间为)4, 1(16 已知)(),(xgxf都是奇函数,如果0)(xf的解集是)10,4(,0)(xg的解集为)5,2(,则0)()(xgxf的解集为)5,4()4,5(17 已知 函 数)(xf是R上
27、 的 偶 函 数, 且 在),0上 是增 函 数, 令)75(tan),75(cos),72(sinfcfbfa,则cba,的大小,bac18 已知函数)(xf是R上的奇函数, 若当),0(x时,)4lg()(xxf, 则满足0)(xf的解集,), 5()0 ,5(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精品资料欢迎下载19 设( )f x是奇函数,且在(0,)内是增函数,又( 3)0f,则( )0xfx的解集是(|303xxx或)20 设fx是定义在上R的偶函数,且当0x时,2xfx. 若对任意的,2xa a,不等式
28、2fxafx恒成立,则实数a的取值范围是23a21 函数 fx 是 R上的偶函数,且在),0上单调递增,则下列各式成立的是( B)A)1()0()2(fff B)0()1()2(fffC)2()0()1(fff D)0()2() 1(fff22 R 上的偶函数( )f x满足:对任意的1212,0,)()x xxx,有2121()()0f xf xxx.则 A. (A)(3)( 2)(1)fff(B) (1)( 2)(3)fff(C) ( 2)(1)(3)fff(D) (3)(1)( 2)fff23 设函数ln 1ln 1fxxx,则fx是( A )A奇函数,且在)1 ,0(上是增函数 B奇函
29、数,且在)1 ,0(上是减函数C偶函数,且在)1 ,0(上是增函数 D偶函数,且在)1 ,0(上是减函数24 已知函数( )lnln(2)f xxx,则A( )f x在(0,2)单调递增B( )f x在(0,2)单调递减Cy=( )f x的图像关于直线x=1 对称Dy=( )f x的图像关于点(1,0)对称25 函数( )f x在(,)单调递减, 且为奇函数 若(11)f,则满足21()1xf的x的取值范围是26 函数0fxx是奇函数,且当x0,时是增函数,若10f,求不等式102fx的解集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页
30、,共 14 页精品资料欢迎下载27 已知( )f x是奇函数并且是R上的单调函数,若函数2(2)( 2)yf xfxm只有一个零点,则函数4( )(1)1g xmxxx的最小值是(5 )28 已知定义在R上的奇函数)(xf,满足(4)( )fxf x,且在区间2, 0上是增函数 ,若方程)0()(mmxf在区间8 ,8上有四个不同的根1234,x xxx,则1234_.xxxx-8 29 已知函数xxxf4)(3,求0)2(xf的解集),4()2 ,0(30 已知R上的奇函数)0(44)(2xbxxxf,求xxxf83)(2的解集为六、函数奇偶性综合应用1 已知函数( )f x是定义在R上的奇
31、函数,当0x时,)32(21)(222aaxaxxf。若Rx,)()1(xfxf, 则实数a的取值范围为66,662 已知函数223( )mmf xx()mZ是偶函数,且( )f x在(0,)上单调递增()求m的值,并确定( )fx的解析式;()2( )log 32( )g xxf x,求( )g x的定义域和值域答案:()1m,2fxx;(),23 已知函数( )f x的定义域为1,1,且同时满足下列条件:(1)( )f x是奇函数; (2)( )f x在定义域上单调递减;(3)2(1)(1)0,fafa求a的取值范围。01a4 已知函数( )yf x的定义域为R,且对任意,a bR,都有(
32、)( )( )f abf af b,且当0x时,( )0f x恒成立,证明: (1)函数( )yf x是R上的减函数; (2)函数( )yf x是奇函数。5 已知定义在R上的奇函数)(xf满足)()4(xfxf(1) 求)2012(f的值; 0 (2)求证:函数)(xf的图像关于直线2x对称;(3)若)(xf在 区 间 0,2上 是 增函 数 , 试 比较)80(),11(),25(fff的 大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精品资料欢迎下载小)11()80()25(fff6 已知函数4( )2xxng x是奇
33、函数,4( )log (41)xf xmx是偶函数 .(1)求mn的值;12mn(2)设1( )( )2h xf xx,若4( )(log (21 )g xha对任意1,x恒成立,求实数a的取值范围 .1(,3)27 已知函数31( )log1xf xx.(1)求函数( )f x的定义域;( 1,1)(2)判断函数( )f x的奇偶性;(3)当1 1,2 2x时,( )( )g xf x,求函数( )g x的值域 . 1,18 已知函数12( )2xxbf xa是定义域为R的奇函数 .(1)求a,b的值;2a,1b(2) 若对任意tR, 不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立,求实数k
34、的取值范围 .13k9 已知定义域为R的函数122xxbfxa是奇函数(1)求实数 ab, 的值;21ab(2)判断fx 在,上的单调性并证明;(3)若33920xxxfkf对任意1x恒成立,求k 的取值范围43k10 已知函数32436fxxmxmxnxR的图像关于原点对称,m nR(1)求,m n的值;4,6mn(2)若函数2F xfxaxb在区间1,2上为减函数, 求实数a的取值范围0,11 已知定义在R上的函数22xxbfxa是奇函数求 ab, 的值;1ab若对任意的tR,不等式22220f ttftk恒成立,求实数k的取值范围13,精选学习资料 - - - - - - - - - 名
35、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精品资料欢迎下载12 设a为实数,函数1|)(2axxxf,Rx(1)讨论)(xf的奇偶性;(2)求)(xf的最小值。13 已知函数cbxaxxf1)(2(Ncba,)是奇函数,3)2(,2)1(ff,且)(xf在), 1上是增函数,(1)求cba,的值;( 2)当)0 , 1x时,讨论函数的单调性。14 函数( )f x的定义域为R,若(1)f x与(1)f x都是奇函数,则( D ) (A) ( )f x是偶函数 (B) ( )fx是奇函数 (C) ( )(2)f xf x (D) (3)f x是奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页