2022年函数的奇偶性的经典总结

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1、精品资料欢迎下载xxxf1)(1)(2xxxfxxf1)(函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1偶函数：一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，0)()(xfxf，那么函数xf就叫做偶函数。2.奇 函 数 ： 一 般 地 ， 如果对于 函 数xf的 定 义 域 内 任一 个x， 都 有xfxf，0)()(xfxf，那么函数xf就叫做奇函数。注意： （1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断xfxf之一是否成立。（2）在判断xf与xf的关系时，只需验证0xfxf及)()(xfxf=1是否成立即可来

2、确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。xxxf2)(，（2）xxxf3)(（3）RxxfxfxG,(4) (5)xxxfcos)( (6)xxxfsin)( (7) xxxf22)(，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2）常见的奇函数有：xxf)(，3)(xxf，xxfsin)(，（3）常见的奇函数有：2)(xxf，xxf)(，xxfcos)(（4）若xf、xg都是偶函数 ,那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg为偶函数，xfxg为偶函数。当xg0时，)()(xgxf为偶函数。（5）若xf，xg都是奇函数，那么在x

3、f与xg的公共定义域上，xf+xg是奇函数，xfxg是奇函数，xgxf是偶函数，当xg0 时，)()(xgxf是偶函数。（6）常函数为常数ccxf是偶函数，fx0 既是偶函数又是奇函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精品资料欢迎下载（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零 )仍为偶函数 ;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零 )为奇 (偶)函数 ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数xgfxF；若xg为偶函数 , fx为奇（偶）函数，则xF都为偶函数；若x

4、g为奇函数，xf为奇函数 ,则xF为奇函数 ;若xg为奇函数，xf为偶函数,则xF为偶函数 . 题型二三次函数奇偶性的判断已知函数dcxbxaxxf23)(，证明：（ 1）当0ca时，)(xf是偶函数（2）当0db时，)(xf是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如cbxaxxf2)(，当0b，)(xf是偶函数；当0ca，)(xf是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数23fxaxbxab是偶函数，定义域为1 2aa，则 ab312 设2( )2f xaxbx是定义在1,2a上的偶函数，则( )f x的值域是10,23 已知)(1(sin)(axxxx

5、f是奇函数，则a的值为 1 4 已知)ln(sin)(2axxxxf是偶函数，则a的值为 1 提示： （1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(xfxfxfxf。（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(ffff。（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四利用函数奇偶性的对称1 下列函数中为偶函数的是（ B ）A2sinyxxxy B2cosyxx Clnyx D2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页精品资料欢迎下载2 下列函数中，

6、既不是奇函数，也不是偶函数的是A AxexyBxxy1Cxxy212D21xy3 下列函数中，为偶函数的是（ C ）A1yx B1yx C4yx Dyx4 函数1( )f xxx的图像关于（ C ）Ay轴对称B 直线xy对称 C 坐标原点对称 D 直线xy对称5 已知函数)1(xf是R上的奇函数，且4)1(f，则)3(f=-4 6 已知函数)2(xf是R上的偶函数，则3)3(f，则)7(f=-3 提示： （1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(xfxfxfxf。(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。(3) 在原点有定义的奇函数必有0)0(f。（4）已知函数)(

7、txf是R上的奇函数，则)(xf关于点)0,(t对称。(5) 已知)(txf是偶函数，则)(xf关于直线tx对称。题型五奇偶函数中的分段问题1 设( )f x为定义在R上的奇函数， 当0x时，( )22xf xxb（b为常数） ， 则( 1)f-3 2 已知fx是奇函数，且当0x时，2fxx x，求0x时，fx的表达式。2)(xxxf3 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x时，232)(xxxf，则)3(f=-45 4 已知fx是偶函数，当0x时，xxxf2)(2，求)4(f245 设偶函数( )f x满足)0(42)(xxfx，则20x fx=|04x xx或提示： （1）已知奇

8、函数)(xf，当0x，)()(xgxf，则当0x时，)()(xgxf。（2）已知偶函数)(xf，当0x，)()(xgxf，则当0x时，)()(xgxf。类型六奇函数的特殊和性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精品资料欢迎下载1 已知函数2)(3axxf，求)2()2(ff的和为 4 2 已知753()6fxxbxcxdx，且( 3)12f，则(3)f=0 3 已知8)(35bxaxxxf，10)2(f，)2(f=_-26_ 4 已知函数( )f x2211xxx，若32)(af，则)( af( 43) 提示： 已

9、知)(xf满足，txgxf)()(，其中)(xg是奇函数，则有tafaf2)()(。题型七函数奇偶性的结合性质1 设( )f x、( )g x是R上的函数，且( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，则结论正确的是A.( )f x( )g x是偶函数B.|( )f x|( )g x是奇函数C.( )f x|( )g x|是奇函数D.|( )f x( )g x|是奇函数2 设函数( )f x和( )g x分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A)()(xgxf是偶函 B)()(xgxf是奇函数C)()(xgxf| 是偶函数 D )()(xgxf| 是奇函数3 设 函 数( )f x

10、与( )g x的 定 义 域 是xR且1x,( )f x是 偶 函 数, ( )g x是 奇 函 数 ,且1( )( )1f xg xx,求( )f x和( )g x的解析式 , 21( )1f xx，2( )1xg xx。提示： （1）已知)(xf是奇函数，则)(xf是偶函数。（2）已知)(xh是R上的函数，且)(xf也是R上的偶函数和( )g x也是R上的奇函数，满足)()()(xgxfxh，则有2)()()(xhxhxg，2)()()(xhxhxf。题型八函数的奇偶性与单调性1 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（）A1yxBxyeC21yxDlgyx2 下列函数中，既

11、是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精品资料欢迎下载（A）cos2yx，xR （B）xy2log，xR 且 x0 （C）2xxeey，xR （D）31yx， xR 3 设( )sinf xxx，则( )fx（ B ）A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数D 没有零点的奇函数4 设奇函数( )fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式( )()0f xfxx的解集为（( 1 0)(01)，）5已知偶函数fx在0,单调递减，20f， 若10fx，

12、 则x的取值范围是)3, 1(. 6 已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1( )3f的x取值范围是)32,31(提示： （1）已知)(xf是奇函数，且在)0,(上是增（减）函数，则在),0(上也是增（减）函数。（2）已知)(xf是偶函数，且在)0 ,(上是增（减）函数，则在),0(上也是减（增）函数。（3）已知)(xf是偶函数，必有)()()(xfxfxf。题型九函数的奇偶性的综合问题1 已知函数fx,当,x yR时，恒)()()(yfxfyxf，且0,0xfx时，又112f（1）求证：fx是奇函数； （2）求证：)(xf在 R 上是减函数； （3）求)(xf在区间

13、2,6上的最值。最大值1，最小值 -3。2 设上递增，上是偶函数，在区间在0R)(xf， 且有3221222aafaaf， 求a的取值范围。),32(练习题一、 判断下列函数的奇偶性（1）1)(2xxxf（ 2）1)(2xxf（3）)1 , 1(,111xxxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页精品资料欢迎下载（4）2)(2xxxf（5）Rxxf, 1)(（5）2,2,0)(xxf（6）xexfln)(7)xxxf3)(8)xxxftansin)(（ 9 ）1)(2xxf， (10)1)(xxf，(11)xxe

14、exf)(，(12)xxxfsin)( (13) xxxf2)(，(14)xxxfcos)(2，(15)xxf2)(，(16)1ln()(2xxxxf,(17)21( )ln(1 |)1f xxx二、利用函数的奇偶性求参数的值1 若函数2(1)23fxmxmx是偶函数，求m的值。 0 2 若函数4)1()(23cbxxaxxf是奇函数，求5)(2ca的值。 4 3 函数xxbaxxf23)1()(是奇函数，定义域为), 1(ab，则2)2(ba的值是 9 4 若1( )21xf xa是奇函数，则a125 若函数axxxf2)(为偶函数，则实数a_0_.6 设函数)()(Rxaeexxfxx是偶

15、函数，则实数a_-1_ 7 若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数，则a= 22.8 若(2)()()xxmf xx为奇函数 , 则实数m_-2_.9 若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，则a 1 10 若axexfx1ln3是偶函数，则a_32_. 三、函数奇偶性定义的应用1 函数 y=22log2xyx的图像 A（A）关于原点对称（B）关于直线yx对称（ C）关于y轴对称（ D）关于直线yx对称2 已知函数1fx2x，xR则 （B ）A. fxfxB.fx为偶函数C.0fxfxD.fx不是偶函数3 若fx是偶函数，则kfx（k为常数）( A ) A.是偶函数B.不是偶函数C.

16、是常数函数D.无法确定是不是偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页精品资料欢迎下载4 函数fx=0, 1.0, 1xx则fx为（B ）A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数5 已知fx为奇函数，则fxx为（A ）A 奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数6 已知点1,3是偶函数fx图像上一点，则1f等（ B ）A.-3 B.3 C.1 D.-1 7 若点1,3在奇函数yfx的图象上，则1f等于（ D）A.0 B.-1 C.3 D.-38 已知2)(

17、xxfy是奇函数 , 且1) 1(f. 若2)()(xfxg, 则)1(g_-1_ .9 设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF，在R上一定是（A ）A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数10 设( )f x是R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2()1(fffff011 已知偶函数( )f x的图像关于直线2x对称，3)3(f，则( 1)f_3_.12 设函数xf对于任意, x yR都有fxyfxfy，求证：xf是奇函数。13已知tR， 函数2,0,( )( ),0,xt xf xg x x为奇函数，则t -1 ，

18、( 2)g f -7 14 已知奇函数( )f x的，且方程0)(xf仅有三个根321,xxx，则321xxx的值 0 15 设函数xf是R上为奇函数，且)2()()2(fxfxf，在)5(f的值2516 已知偶函数)0(42)(xxfx，求03)(4)(2xfxf的个数 7 17 已知偶函数)0(64)(2xxxxf，求048)(44)(12)(23xfxfxf的个数 9四、函数奇偶性的性质1 已知)3(xf是偶函数，且2)0(f，则3)6(2 f的值为 1 2 已知2)(xxf，则)3()3(ff的值 4 3 已知3( )4f xaxbx其中,a b为常数，若( 2)2f，则(2)f的值等

19、于 ( -10 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页精品资料欢迎下载4 已知2)(axxf，则)3()3(ff的值-4 5 已知2)(xbaxxf，则)31(ln)3(lnff的值-46 已知3sin)(xcxbaxxf，则)31(ln)3(lnff的值67 已知函数2ln12fxxx，则1lg 5lg5ff（4）8 已知函数21ln1931,.lg 2lg2fxxxff则29 已知函数3( )sin4( ,)f xaxbxa bR，2(lg(log10)5f，则(lg(lg 2)f310 设函数1sin)1()

20、(22xxxxf的最大值为M，最小值为m，则mM=_2_ 11 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当(,0)x时，32( )2f xxx，则(2)f11 在R上的奇函数fx和偶函数g x满足2)()(xxaaxgxf(a 0, 且0a). 若2ga，则2f= 15412 若函数( ),( )fxg x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足( )( )xf xg xe，则有（ D ）A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gff C(2)(0)(3)fgf D(0)(2)(3)gff13 若函数 fx 为R上的偶函数， 且当010x时，lnfxx， 则2fef e 3 14函 数)(x

21、f是 定 义 在 实 数 集R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 实 数x都 有)()1()1(xfxxxf，则)25(f的值是 0 15函 数)(xf是 定 义 在 实 数 集R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 实 数x都 有)()1()1(xfxxxf，则)25( ff的值是 0 16 若函数2( )1xafxxbx在1,1上是奇函数 ,则( )f x的解析式为 _2( )1xf xx_. 17 设( )f x是R上的奇函数，且当0,x时，3( )(1)fxxx，则当(, 0)x时( )f x_3(1)xx_精选学习资料 - - - -

22、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精品资料欢迎下载18 已知定义在R上的奇函数( )f x，当0x时，1|)(2xxxf，那么0x时，( )f x12xx. 19 函数231( )ln11xxef xxxe在区间,(0)k kk上的最大值为M，最小值为m，则mM 4 20 奇函数( )fx的定义域为R，若(2)f x为偶函数，且(1)1f，则(8)(9)ff（ 1 ）21 设定义在R上的奇函数，满足)2()(xfxf，那么)2017()2()1(fff的值 0 22 已知函数( )f x是R上的偶函数，当0x，都有)()2(xfxf，且当)2

23、,0x时，)1(log)(2xxf，则有)2017()2016(ff的值 1 五、函数奇偶性和单调性的应用1 已知函数2( )(2)(1)3f xkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是0,2 设奇函数( )fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式( )()0f xfxx的解集为（( 1 0)(01)，）3 已知函数1( )3( )3xxf x，则( )f x（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是减函数4 已知奇函数( )f x在R上是增函数 . 若0.8221(log),(log4.1),(2)5af

24、bfcf， 则, ,a b c的大小关系为5 已知( )f x是定义在R上的偶函数， 且(4)(2)f xf x. 若当 3,0x时，( )6xf x，则(919)f .6已知偶函数fx在0,单调递减，20f， 若10fx， 则x的取值范围是)3, 1(. 7 已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1( )3f的x取值范围是)32,31(8 若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（D ）A)2()1()23(fffB)2()23()1(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14

25、页精品资料欢迎下载C)23()1()2(fffD) 1()23()2(fff9 设偶函数( )f x满足3( )8(0)f xxx，则|(2)0x f x|04x xx或10已 知 函 数fx是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 且 在 区 间,上 单 调 递 减 ， 若3110fxf，则x的取值范围是 _),32(_11 已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在区间)0,(上单调递增，若实数a满足)2()2(| 1|ffa，则a的取值范围是（)23,21(）12已 知 定 义 在R上 的 函 数21x mfx（m为 实 数 ） 为 偶 函 数 ， 记0.52(log3),log 5 ,2af

26、bfcfm，则, ,a b c的大小关系为cab13)(xf是定义在R上的偶函数， 在0,(上是减函数， 且0)2(f，则使得0)(xf的x的取值范围是)2,2(14 已 知 函 数)(xf是 偶 函 数 ， 在),0上 单 调 递 减 ， 则)1 (2xf的 单 调 递 增 区 间 是 1 ,01,(15 已知函数)4(xf是偶函数，在),4(上单调递减，则)54(log22xxf的单调递减区间为)4, 1(16 已知)(),(xgxf都是奇函数，如果0)(xf的解集是)10,4(，0)(xg的解集为)5,2(，则0)()(xgxf的解集为)5,4()4,5(17 已知 函 数)(xf是R上

27、 的 偶 函 数， 且 在),0上 是增 函 数， 令)75(tan),75(cos),72(sinfcfbfa，则cba,的大小，bac18 已知函数)(xf是R上的奇函数， 若当),0(x时，)4lg()(xxf， 则满足0)(xf的解集，), 5()0 ,5(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精品资料欢迎下载19 设( )f x是奇函数，且在(0,)内是增函数，又( 3)0f，则( )0xfx的解集是（|303xxx或）20 设fx是定义在上R的偶函数，且当0x时，2xfx. 若对任意的,2xa a，不等式

28、2fxafx恒成立，则实数a的取值范围是23a21 函数 fx 是 R上的偶函数，且在),0上单调递增，则下列各式成立的是（ B）A)1()0()2(fff B)0()1()2(fffC)2()0()1(fff D)0()2() 1(fff22 R 上的偶函数( )f x满足：对任意的1212,0,)()x xxx，有2121()()0f xf xxx.则 A. （A）(3)( 2)(1)fff(B) (1)( 2)(3)fff(C) ( 2)(1)(3)fff(D) (3)(1)( 2)fff23 设函数ln 1ln 1fxxx，则fx是（ A ）A奇函数，且在)1 ,0(上是增函数 B奇函

29、数，且在)1 ,0(上是减函数C偶函数，且在)1 ,0(上是增函数 D偶函数，且在)1 ,0(上是减函数24 已知函数( )lnln(2)f xxx，则A( )f x在（0,2）单调递增B( )f x在（0,2）单调递减Cy=( )f x的图像关于直线x=1 对称Dy=( )f x的图像关于点（1,0）对称25 函数( )f x在(,)单调递减， 且为奇函数 若(11)f，则满足21()1xf的x的取值范围是26 函数0fxx是奇函数，且当x0，时是增函数，若10f，求不等式102fx的解集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页

30、，共 14 页精品资料欢迎下载27 已知( )f x是奇函数并且是R上的单调函数，若函数2(2)( 2)yf xfxm只有一个零点，则函数4( )(1)1g xmxxx的最小值是（5 ）28 已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)( )fxf x,且在区间2, 0上是增函数 ,若方程)0()(mmxf在区间8 ,8上有四个不同的根1234,x xxx,则1234_.xxxx-8 29 已知函数xxxf4)(3，求0)2(xf的解集),4()2 ,0(30 已知R上的奇函数)0(44)(2xbxxxf，求xxxf83)(2的解集为六、函数奇偶性综合应用1 已知函数( )f x是定义在R上的奇

31、函数，当0x时，)32(21)(222aaxaxxf。若Rx,)()1(xfxf, 则实数a的取值范围为66,662 已知函数223( )mmf xx()mZ是偶函数，且( )f x在(0,)上单调递增（）求m的值，并确定( )fx的解析式；（）2( )log 32( )g xxf x，求( )g x的定义域和值域答案：（）1m，2fxx；（）,23 已知函数( )f x的定义域为1,1，且同时满足下列条件：（1）( )f x是奇函数； （2）( )f x在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,fafa求a的取值范围。01a4 已知函数( )yf x的定义域为R，且对任意,a bR，都有(

32、)( )( )f abf af b，且当0x时，( )0f x恒成立，证明： （1）函数( )yf x是R上的减函数； （2）函数( )yf x是奇函数。5 已知定义在R上的奇函数)(xf满足)()4(xfxf(1) 求)2012(f的值； 0 (2)求证：函数)(xf的图像关于直线2x对称；(3)若)(xf在 区 间 0,2上 是 增函 数 ， 试 比较)80(),11(),25(fff的 大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精品资料欢迎下载小)11()80()25(fff6 已知函数4( )2xxng x是奇

33、函数，4( )log (41)xf xmx是偶函数 .（1）求mn的值；12mn（2）设1( )( )2h xf xx，若4( )(log (21 )g xha对任意1,x恒成立，求实数a的取值范围 .1(,3)27 已知函数31( )log1xf xx.（1）求函数( )f x的定义域；( 1,1)（2）判断函数( )f x的奇偶性；（3）当1 1,2 2x时，( )( )g xf x，求函数( )g x的值域 . 1,18 已知函数12( )2xxbf xa是定义域为R的奇函数 .（1）求a，b的值；2a,1b（2） 若对任意tR， 不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求实数k

34、的取值范围 .13k9 已知定义域为R的函数122xxbfxa是奇函数（1）求实数 ab， 的值；21ab（2）判断fx 在，上的单调性并证明；（3）若33920xxxfkf对任意1x恒成立，求k 的取值范围43k10 已知函数32436fxxmxmxnxR的图像关于原点对称,m nR（1）求,m n的值；4,6mn（2）若函数2F xfxaxb在区间1,2上为减函数， 求实数a的取值范围0,11 已知定义在R上的函数22xxbfxa是奇函数求 ab， 的值；1ab若对任意的tR，不等式22220f ttftk恒成立，求实数k的取值范围13，精选学习资料 - - - - - - - - - 名

35、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页精品资料欢迎下载12 设a为实数，函数1|)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值。13 已知函数cbxaxxf1)(2（Ncba,）是奇函数，3)2(,2)1(ff，且)(xf在), 1上是增函数，（1）求cba,的值；（ 2）当)0 , 1x时，讨论函数的单调性。14 函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( D ) (A) ( )f x是偶函数 (B) ( )fx是奇函数 (C) ( )(2)f xf x (D) (3)f x是奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页