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1、学习好资料欢迎下载3.4 基本不等式abba2一、基本不等式:2baab1、重要不等式:a2b22ab(a、bR) 当且仅当“ab”时“”成立。注意:(1)不等式成立的条件是“ab” ,如果a、b 不相等,则“”不成立; (2)不等式的变形:ab222baab2)2(ba222ba2)2(baab2(a2b2) (ab)22、基本不等式:2baab(a、bR) 当且仅当“ab”时“”成立。注意:(1)内容:a0, b0,当且仅当“ ab”时“”成立; (2)其中2ba叫做正数a、b 的算术平均数,ab叫做正数a、b 的几何平均数,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例 1:求证对于任
2、意实数a,b,c,有a2b2c2abbcca,当且仅当abc 时等号成立。【证明】:a2b22ab c2b22bc a2c22ac 2(a2b2c2) 2ab2bc2ac ,a2b2c2abbcca 当且仅当abc 时等号成立。变式练习 1:若 0a1,0b1,且ab,则ab,2ab,2ab,a2b2中最大的一个是()A:a2b2 B:2abC:2ab D:ab 变式练习 2:下列不等式:(1)xx12; (2) xx1 2; (3)若 0a1b,则logablogba 2; (4)若 0a1b,logablogba2。其中正确的是_。均值不等式推广:ba112ab2ba222ba调和平均数几
3、何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“ ab”时“”成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、最值定理已知 x、y 都是正数。(1)如果积xy 是定值 P,那么当 xy 时,和 xy 有最小值2P,即 xy2xy;(2)如果和xy 就定值 S,那么 xy 时,积 xy 有最大值42S,即 xy2)2(yx。利用基本不等式必须满足三个条件: “一正”、 “二定”、 “三取等”。应用一:求最值例 2
4、:已知函数f(x) 3xx12(x0) (1)当 x0 时,求函数的最值; (2)当 x0 时,求函数的最值;【解析】: (1)当 x0 时, f(x) 3xx122xx12312 当且仅当3xx12,即 x2 时, “”成立。(2)当 x0 时, x0,f(x) 3xx12 (3xx12) 2xx123 12,当且仅当 3xx12时,即 x2 时, “”成立。变式练习:求下列函数的最值(1)y3x2221x(2)yxx1应用二:凑项例 3:已知 x45,求函数 f(x) 4x2541x的最大值。【解析】:解:因450x,所以首先要“调整”符号,又1(42)45xx不是常数,所以对42x要进行
5、拆、凑项,5,5404xx,11425434554yxxxx231当且仅当15454xx,即1x时,上式等号成立,故当1x时,max1y。变式练习 1:f(x) 31xx (x3)的最小值为 _。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 4:当 0 x4 时,求 f(x) x(82x)的最大值。【解析】:当,即 x2 时取等号当 x2 时,(82 )yxx的最大值为8。变式练习 1:设230x,求函数
6、)23(4xxy的最大值。【解析】:230x023x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。变式练习 2:203x,求函数 f(x) )32(xx的最大值。应用三:分离例 5:若 x 0,求函数 f(x) 132xxx的最值。变式练习 1:当 x0 时,则 f(x)122xx的最大值为 _。变式练习 2:已知 x 1,求函数 f(x)11072xxx的最小值。【解析】:当, 即时,421)591yxx(当且仅当x1 时取“”号)。变式练习 3:若对任意 x0,13x2xxa 恒成立,则a 的取值范围为 _。应用四:整体代换例 6:已知
7、0,0 yx,且112yx,则yx的最小值是 _。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载变式练习 1:已知 x0,y0,且 2xy1,则yx11的最小值为 _。变式练习 2:已知0,0 yx,且212yx,则yx的最小值是 _。变式练习 3:若函数 f(x) 2xa2 (a0,a1)的图象恒过点A,若点 A 在直线 mxny10,其中 m、n 均大于 0,则nm21的最小值为 _。变式练习 4:设 x
8、0,y0 且 x2y2xy0,若 x2ym0 恒成立,则实数m 的取值范围是 _。【解析】:x2y2xy0,y21x11, 则(x2y)( y21x1)4,故 m4 变式练习 5:已知正项等比数列na满足2017a22016a32015a,若存在不同的两项pa、ma使得mpaa331a,则pm41的最小值是 _。【解析】:611应用四:条件最值例 7:若实数满足2ba,则ba33的最小值是 _。【解析】:ba33 和都是2ba正数,ba33632332baba当ba33时等号成立,由2ba及ba33得1ba即当1ba时,ba33的最小值是 6。变式练习 1:若2loglog44yx,求yx11
9、的最小值,并求x,y 的值。【解析】: log4xlog4ylog4(xy)2, xy16yx11xyyx16yx162 xy21,当且仅当xy4 时“”成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载变式练习2:已知函数f(x) 4xxa(x0,a0)在x3 时取得最小值,则a_。【解析】:6 变式练习 3:设 x0,y0,z0,且 xyz1,若yx1zyxm0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 _。【
10、解析】:yx1zyxm0 恒成立, 则yx1zyxm 恒成立, 则令 f(x) yx1zyxyxzyxzyx1yxzzyx3,故 m3。应用五:换元例 8:求函数f(x) 4522xx的最值。【解析】:f (x) 41422xx42x412x不能用均值不等式:42x412x2, 当且仅当42x412x,即:x241,x2 1,此时 x 没有实数解。 f (x) 41422xx42x412x令42xt ( t2) f (t ) tt1( t2 ) 函数 f(t ) 在,2上单调递增。当t 2 时, f(t) 有最小值25即42x2,x0,f(x)min25变式练习 1:求函数 f(x)1922x
11、x的值域。变 式 练 习2 :求 函 数f(x) ),0(,sin2sinxxx的最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课 后 综 合 练 习1、设a、b 是正实数,以下不等式:(1)abbaab2; (2)aab b; (3)a2b24ab3b2; (4)abab22。恒成立的序号为()A: (1) (3) ;B: ( 1) (4) ;C: (2) (3) ;D: (2) (4)【解析】:D
12、 (1)(2)abab(3)a23b2b24aba24b24ab4ab4ab0;2、若a、b 均大于 1 的正整数,且ab100,则 lgalgb 的最大值是()A:0 B:1 C:2 D:25【解析】:B 3、若 x0,则 xx4的最小值是()A:2 B:3 C:22D:4 【解析】:D 4、已知 0x1,则 x(33x)取得最大值时x 的值为()A:31B:21C:43D:32【解析】:C 5、设a0,b0 若3是a3与b3的等比中项,则a1b1的最小值()A:8 B:4 C:1 D:41【解析】:B 6、函数 f(x)1222xxx(x1)图象的最低点坐标是_。【解析】:(0,2) 7、
13、若a0,b0,且 x1 是函数 f(x)12x22ax2b 的零点,则ab 的最大值为 _。【解析】:9 8、若正数a、b 满足abab3,求ab的取值范围。【解析】:ab9 9、已知 x0,y0,且 x222y1,求 x21y的最大值。【解析】:42310、已知不等式x2axa20 的解集为 (, x1)(x2, ),其中 x10x2,则x1x212x22x的最大值为()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资
14、料欢迎下载A:23B:0 C:2 D:23【解析】: x10x2, x1x2a20 x1x212x22xx1x21221)(2xxxxa22aaa224a40 11、如图, 在 ABC 中,D 为 BC 的中点, E 为 AD 上任一点, 且BEBABC,则11的最小值为 _。【解析】:22312、若两个正实数x,y 满足x1y41,且不等式x4ym23m 有解,则实数m 的取值范围是 () A:(1,4) B:(, 1)(4, )C:(4,1) D:(,0)(3, )【解析】:选 B不等式xy4m23m有解,xy4minm23m,x0,y0,且1x4y1,xy4xy41x4y4xyy4x22
15、4xyy4x24,当且仅当4xyy4x,即x2,y8 时取等号,xy4min4,m23m4,即 (m1)(m4) 0,解得m 1 或m4,故实数m的取值范围是 ( ,1) (4 , ) 13、某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为400 平方米的三级污水处理池,如图所示,池外圈造价为每米200 元, 中间两条隔墙造价为每米250 元,池底造价为每平方米80 元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使水池的总造价最低,那么污水池的长和宽分别为() A:40 米, 10 米B:20 米,20 米C:30 米,340米 D:50 米, 8 米【 解 析 】 选C. 设 总 造 价 为y 元 , 污 水
16、池 的 长 为x 米 , 则 宽 为米 , 总 造 价y=(2x+2 ) 200+2250+80400=400(x+)+32000 4002+32000=56000( 元) ,当且仅当x=,DBCAE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即 x=30 时等号成立,此时污水池的宽为米.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -