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1、学习好资料欢迎下载3.4 基本不等式abba2一、基本不等式：2baab1、重要不等式：a2b22ab(a、bR) 当且仅当“ab”时“”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“ab” ，如果a、b 不相等，则“”不成立； （2）不等式的变形：ab222baab2)2(ba222ba2)2(baab2(a2b2) (ab)22、基本不等式：2baab(a、bR) 当且仅当“ab”时“”成立。注意：（1）内容：a0， b0，当且仅当“ ab”时“”成立； （2）其中2ba叫做正数a、b 的算术平均数，ab叫做正数a、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例 1：求证对于任
2、意实数a，b，c，有a2b2c2abbcca，当且仅当abc 时等号成立。【证明】：a2b22ab c2b22bc a2c22ac 2(a2b2c2) 2ab2bc2ac ，a2b2c2abbcca 当且仅当abc 时等号成立。变式练习 1：若 0a1，0b1，且ab，则ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一个是（）A：a2b2 B：2abC：2ab D：ab 变式练习 2：下列不等式：（1）xx12； （2） xx1 2； （3）若 0a1b，则logablogba 2； （4）若 0a1b，logablogba2。其中正确的是_。均值不等式推广：ba112ab2ba222ba调和平均数几
3、何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“ ab”时“”成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、最值定理已知 x、y 都是正数。（1）如果积xy 是定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值2P，即 xy2xy；（2）如果和xy 就定值 S，那么 xy 时，积 xy 有最大值42S，即 xy2)2(yx。利用基本不等式必须满足三个条件： “一正”、 “二定”、 “三取等”。应用一：求最值例 2
4、：已知函数f(x) 3xx12(x0) （1）当 x0 时，求函数的最值； （2）当 x0 时，求函数的最值；【解析】： （1）当 x0 时， f(x) 3xx122xx12312 当且仅当3xx12，即 x2 时， “”成立。（2）当 x0 时， x0，f(x) 3xx12 (3xx12) 2xx123 12，当且仅当 3xx12时，即 x2 时， “”成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y3x2221x（2）yxx1应用二：凑项例 3：已知 x45，求函数 f(x) 4x2541x的最大值。【解析】：解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行
5、拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。变式练习 1：f(x) 31xx (x3)的最小值为 _。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 4：当 0 x4 时，求 f(x) x(82x)的最大值。【解析】：当，即 x2 时取等号当 x2 时，(82 )yxx的最大值为8。变式练习 1：设230x，求函数
6、)23(4xxy的最大值。【解析】：230x023x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。变式练习 2：203x，求函数 f(x) )32(xx的最大值。应用三：分离例 5：若 x 0，求函数 f(x) 132xxx的最值。变式练习 1：当 x0 时，则 f(x)122xx的最大值为 _。变式练习 2：已知 x 1，求函数 f(x)11072xxx的最小值。【解析】：当, 即时,421)591yxx（当且仅当x1 时取“”号）。变式练习 3：若对任意 x0，13x2xxa 恒成立，则a 的取值范围为 _。应用四：整体代换例 6：已知
7、0,0 yx，且112yx，则yx的最小值是 _。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载变式练习 1：已知 x0，y0，且 2xy1，则yx11的最小值为 _。变式练习 2：已知0,0 yx，且212yx，则yx的最小值是 _。变式练习 3：若函数 f(x) 2xa2 (a0，a1)的图象恒过点A，若点 A 在直线 mxny10，其中 m、n 均大于 0，则nm21的最小值为 _。变式练习 4：设 x
8、0，y0 且 x2y2xy0，若 x2ym0 恒成立，则实数m 的取值范围是 _。【解析】：x2y2xy0，y21x11， 则(x2y)( y21x1)4，故 m4 变式练习 5：已知正项等比数列na满足2017a22016a32015a，若存在不同的两项pa、ma使得mpaa331a，则pm41的最小值是 _。【解析】：611应用四：条件最值例 7：若实数满足2ba，则ba33的最小值是 _。【解析】：ba33 和都是2ba正数，ba33632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是 6。变式练习 1：若2loglog44yx，求yx11
9、的最小值，并求x，y 的值。【解析】： log4xlog4ylog4(xy)2， xy16yx11xyyx16yx162 xy21，当且仅当xy4 时“”成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载变式练习2：已知函数f(x) 4xxa(x0，a0)在x3 时取得最小值，则a_。【解析】：6 变式练习 3：设 x0，y0，z0，且 xyz1，若yx1zyxm0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _。【
10、解析】：yx1zyxm0 恒成立， 则yx1zyxm 恒成立， 则令 f(x) yx1zyxyxzyxzyx1yxzzyx3，故 m3。应用五：换元例 8：求函数f(x) 4522xx的最值。【解析】：f (x) 41422xx42x412x不能用均值不等式：42x412x2， 当且仅当42x412x，即：x241，x2 1，此时 x 没有实数解。 f (x) 41422xx42x412x令42xt ( t2) f (t ) tt1( t2 ) 函数 f(t ) 在,2上单调递增。当t 2 时， f(t) 有最小值25即42x2，x0，f(x)min25变式练习 1：求函数 f(x)1922x
11、x的值域。变 式 练 习2 ：求 函 数f(x) ),0(,sin2sinxxx的最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课 后 综 合 练 习1、设a、b 是正实数，以下不等式：（1）abbaab2； （2）aab b； （3）a2b24ab3b2； （4）abab22。恒成立的序号为（）A： （1） （3） ；B： （ 1） （4） ；C： （2） （3） ；D： （2） （4）【解析】：D
12、 （1）（2）abab（3）a23b2b24aba24b24ab4ab4ab0；2、若a、b 均大于 1 的正整数，且ab100，则 lgalgb 的最大值是（）A：0 B：1 C：2 D：25【解析】：B 3、若 x0，则 xx4的最小值是（）A：2 B：3 C：22D：4 【解析】：D 4、已知 0x1，则 x(33x)取得最大值时x 的值为（）A：31B：21C：43D：32【解析】：C 5、设a0，b0 若3是a3与b3的等比中项，则a1b1的最小值（）A：8 B：4 C：1 D：41【解析】：B 6、函数 f(x)1222xxx(x1)图象的最低点坐标是_。【解析】：(0，2) 7、
13、若a0，b0，且 x1 是函数 f(x)12x22ax2b 的零点，则ab 的最大值为 _。【解析】：9 8、若正数a、b 满足abab3，求ab的取值范围。【解析】：ab9 9、已知 x0，y0，且 x222y1，求 x21y的最大值。【解析】：42310、已知不等式x2axa20 的解集为 (， x1)(x2， )，其中 x10x2，则x1x212x22x的最大值为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资
14、料欢迎下载A：23B：0 C：2 D：23【解析】： x10x2， x1x2a20 x1x212x22xx1x21221)(2xxxxa22aaa224a40 11、如图， 在 ABC 中，D 为 BC 的中点， E 为 AD 上任一点， 且BEBABC，则11的最小值为 _。【解析】：22312、若两个正实数x，y 满足x1y41，且不等式x4ym23m 有解，则实数m 的取值范围是 () A：(1，4) B：(， 1)(4， )C：(4，1) D：(，0)(3， )【解析】：选 B不等式xy4m23m有解，xy4minm23m，x0，y0，且1x4y1，xy4xy41x4y4xyy4x22
15、4xyy4x24，当且仅当4xyy4x，即x2，y8 时取等号，xy4min4，m23m4，即 (m1)(m4) 0，解得m 1 或m4，故实数m的取值范围是 ( ，1) (4 ， ) 13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400 平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200 元， 中间两条隔墙造价为每米250 元，池底造价为每平方米80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为() A：40 米， 10 米B：20 米，20 米C：30 米，340米 D：50 米， 8 米【 解 析 】 选C. 设 总 造 价 为y 元 ， 污 水
16、池 的 长 为x 米 ， 则 宽 为米 ， 总 造 价y=(2x+2 ) 200+2250+80400=400(x+)+32000 4002+32000=56000( 元) ，当且仅当x=，DBCAE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即 x=30 时等号成立，此时污水池的宽为米.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
