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1、分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同， 所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即 “分段函数分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的， 如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通
2、过代数方法比较,fxfx的关系，要注意, xx的范围以代入到正确的解析式。4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：221,34,3xxfxxx，将3x代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。 再比如221,31,3xxfxxx中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：13fxx，可转化
3、为：13,113,1xxfxxx5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页二、典型例题例 1：已知函数2211( )1xxfxxax x，若04ffa，则实数a_思路：从里向外一层层求值，00212f0242fffa所以4242aaa答案：2a例 2：设函数cos,011,0x xfxfxx，则103f
4、的值为 _ 思路：由fx解析式可知，只有0x，才能得到具体的数值，0x时只能依靠11fxfx向0x正数进行靠拢。由此可得：107412123433333fffff，而221cos332f10932f答案：92小炼有话说： 含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：0,11xfxfx可以立即为间隔为1 的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。例 3：函数34 ,22,21xxfxxx，则不等式1fx的解集是 ( ) A. 5
5、,1,3U B. 5,1,33UC. 51,3 D. 5,33思路：首先要把1fx转变为具体的不等式，由于fx是分段函数，所以要对x的范围分类讨论以代入不同的解析式：当2x时，1341fxx，可解得：1x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页或53x。所以1x或523x；当2x时，211211fxxx解得3x，所以23x，综上所述：5,1,33xU答案： B 例 4：已知函数10( )10xxf xxx， 则不等式1(1)1xxf x的解集是 _思路：要想解不等式，首先要把1fx转变为具体的表达式，观察已知分段函数，10
6、( )10xxf xxx，x占据f整个括号的位置，说明对于函数fx而言，括号里的式子小于0 时， 代入上段解析式， 当括号里的式子大于0 时， 代入下段解析式。 故要对1x的符号进行分类讨论。 （1）当101xx时，111fxxx，不等式变为：2111xx xxx（2）当101xx时，111fxxx，不等式变为：2112101212xx xxxx1, 12x答案：1, 12x例 5：已知函数2123,021,0xxxxfxx，则不等式283fxfxx的解集为_ 思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及28,3xxx的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式
7、可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析fx的图像性质，发现fx的两段解析式均可作图，所以考虑作出fx的图像，从而发现fx是增函数，从而无论28,3xxx在哪个范围，228383fxfxxxxx，从而解得：4x或2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页答案：, 42,U小炼有话说： 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例 3，例 4） 。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不
8、等式（比如例5） 。例 6：已知函数222 ,02 ,0xx xfxxx x. 若21fafaf，则a的取值范围是A1,0 B0,1 C1,1 D2,2思路：本题可以对a进行分类讨论， 以将21faf af变成具体不等式求解，但也可从, a a的特点出发，考虑判断fx的奇偶性，通过作图可发现fx为偶函数，所以faf a， 所解不等式变为1f af， 再由图像可得只需1a， 即11a答案： C 小炼有话说：（1）本题判断函数fx的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中,aa的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示（2）由于fx两段图像均易作出，所以在判断fx奇偶性时用
9、的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到,fxfx，只是在代入过程中要注意, x x的范围：设0,x，则,0x，2222 ,22fxxx fxxxxx，所以fxfx，即fx为偶函数例 7：已知函数22( )12,( )2f xxg xxx， 若( ),( )( )( )( ),( )( )g xf xg xF xf xf xg x， 则( )F x的值域是 _解析：F x是一个分段函数，其分段标准以,fxg x的大小为界，所以第一步先确定好x的取值，解不等式：22122fxg xxxx，解得：113x，故精选学
10、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页2212 ,13112,13xxxFxxxor x，分别求出每段最值，再取并集即可答案：7,9例 8： 已知函数(2)1(1)( )log(1)aaxxf xxx， 若( )f x在,单调递增， 则实数a的取值范围是 _思路：若fx在,单调增，则在R上任取12xx，均有12fxfx，在任取中就包含12,xx均在同一段取值的情况，所以可得要想在R上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201aa，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为12,x x不在同一段取值，若也
11、满足12xx，均有12fxfx，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入1x，有左段右端，即21log 103aaa综上所述可得：2,3a答案：2,3例 9：已知21.1,01,0,1xxfxxx，则下列选项错误的是（）A. 是1fx的图像 B. 是fx的图像C. 是fx的图像 D. 是fx的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页思路： 考虑先作出fx的图像 （如右图所示） ，再按照选项进行验证即可：A. 1fx为fx向右平移一个单位，正确；B. fx为fx关于y轴对称的图像， 正确；C. fx
12、为fx正半轴图像不变， 负半轴作与fx正半轴关于y轴对称的图像， 正确；D. fx的图像为fx在x轴上方的图像不变， 下方图像沿x轴对称翻折。 而fx图像均在x轴上方，所以fx应与fx图像相同。错误答案： D 例 10：函数31 ,12sin,12xxfxx x，则下列结论正确的是（）A. 函数fx在1,上为增函数 B. 函数fx的最小正周期为4 C. 函数fx是奇函数 D. 函数fx无最小值思路：可观察到fx的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC选项错误， D选项fx存在最小值12f，所以 D 错误， A 选项是正确的答案： A 小炼有话说：（ 1）本
13、题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为fx本身便于作图， 另一方面四个选项在图上也有具体的含义。（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中1x就属于2sin2yx部分，所以才存在最小值。三、近年模拟题题目精选1、已知函数, 1,1lg, 1, 32xxxxaxxf若31ff，则a_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页2、已知)0( ,sin2),0( ,)(2xxxxxf，若3)(0xff，则0x_.3、 （ 2016，湖州中学期中）函数, 0,0,4)(2xxxxx
14、f, 若 1)()(affaff，则实数a的取值范围为（）A0 , 1( B0, 1 C4,5( D4,54、已知221,01,0xxxfxxx，则1fx的解集为 _5、 （2015，北京）设函数2,142,1xa xfxxaxax若1a，则fx的最小值为 _若fx恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_6、 （ 2015，福建）若函数6,20,13log,2axxfxaax x的值域是4,，则实数a的取值范围是 _7、（2015， 新课标 II） 设函数211log2,12,1xxxfxx， 则22log 12ff（）A. 3B. 6C. 9D. 128、 （2015，山东）设函数31,12
15、 ,1xxxfxx，则满足2faff a的a的取值范围是（）A. 2,13B. 0,1C. 2,3D. 1,9、已知函数sincossincosfxxxxx，则fx的值域是（）A. 2,2 B. 2,2 C. 2,2 D. 2,210、已知函数32134,axaxtfxxx xt，无论t为何值， 函数fx在R上总是不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页单调，则a的取值范围是_ 11、已知221,011, 10xxfxxx，且01,01,0mnmn，则使不等式0f mf n成立的,m n还应满足的条件为（）A. mn B. mn C. 0mn D. 0mn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
