《2022年直线与双曲线综合一例探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年直线与双曲线综合一例探究（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载直线与双曲线综合一例探究一次函数yaxb（,0a ba为常数，）与反比例函数kyx（0kk为常数，且）是初中阶段应掌握的基本初等函数。其函数图象和性质是中考必考知识点。而反比例函数的几何意义“面积不变性”则常考常新。近几年各地陆续拟有以直线与双曲线kyx（0kk为常数，且）相交为背景的压轴题。下面就中考压轴题中出现的一个命题从三个角度加以探究拓展，以期能给同学们带来启发。一、命题证明及反思命题：经过双曲线kyx（0kk为常数，且）上任意两点A11(,)xy、B22(,)xy的直线，与经过点 C 1(,0)x、D 2(0,)y的直线平行。分析 : 命题的条件中，双曲线kyx中k值
2、不确定。而点A、B 又是双曲线上任意两点，具有普遍性。证明时既要考虑双曲线的位置，也要考虑A、B 两点的位置。证法一为便于探究，不妨设0k，双曲线的两支分别位于一、三象限。就点A、B 在双曲线上的位置，分两种情况讨论。（1）点 A、B 在双曲线同一支上，设在第一象限。如图 1，直线yaxb与反比例函数kyx（0k）的图象相交于点AB、设 A 的坐标为11(,)xy，点 B 的坐标为22(,)xy.过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为,C E，过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为FD， ，AC与BD交于点K，连接CD则点C 的坐标为1(,0)x，D 的坐标为2(0,)y，点 E 的坐
3、标为（ 0，1y） ，点 F 的坐标为（2,0x） 。直线 AB 分别与x轴、y轴交于点,M N. ACx轴，AEy轴，四边形AEOC为矩形BFx轴，BDy轴，四边形BDOF为矩形ACx轴，BDy轴，四边形AEDKDOCKCFBK，均为矩形1111,OCx ACy xyk，11,AEOCSOC ACxyk矩形22,OFxFBy22,xyk22BDOFSOFFBxyk矩形, AEOCBDOFSS矩形矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载AEDKAEOCDOCKSSS矩形矩形矩形，CFBKBDOFDOCK
4、SSS矩形矩形矩形，AEDKCFBKSS矩形矩形AK DKBK CK即AKBKCKDK90AKBCKD，AKBCKDCDKABKABCD（2）点 A、B 在分别在双曲线的两支上时，如图2. AEDKAEOCODKCSSS矩形矩形矩形，BKCFBDOFODKCSSS矩形矩形矩形，又AEOCBDOFSSk矩形矩形，AEDKBKCFSS矩形矩形AK DKBK CKCKDKAKBKKK，CDKABKCDKABKABCD点评：上述证明过程中，从反比例函数的几何意义出发 矩形的面积 比例线段 相似三角形 平行线，其中由面积相等转化到比例线段是思考的难点。平时应加强面积法及相似三角形应用的积累。图 1 和图
5、 2 中，直线 AB 是否平行直线EF 呢？仿上述过程不难证明AB EF 是成立的。证法二预备知识如图 3，已知 ABC 与 ABD 的面积相等， 试判断 AB 与 CD 的位置关系， 并说明理由. 解答： AB 与 CD 平行。理由如下：如图3-1，分别过点C、D 作.CGABDHAB、垂足为 G、H，则090 .CGADHBCGDH. ABCABD与面积相等，CG=DH. 四边形CGHD 为平行四边形 .AB CD.利用上述预备知识，我们来证明前面的命题。（1） 当 A、 B 在第一象限，如图 4. 点 A、 B在反比例函数0kykx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
6、纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载的图象的一个分支上，11x yk，22x yk. 连接 AO、BO、AD 、BC，A Cy 轴， BD x 轴，111122ADCAOCSSx yk，221122BDCBDOSSx yk，ADCBDCSS. 由上述预备知识可知：/ABCD. （ 2）当 A、B 分别在一、三象限时，在如图5，连接 AO、BO、AD 、BC，点A、B 分别在反比例函数0kykx的图象的两个分支上，11x yk，22x yk. A Cy 轴， BD x 轴，111122ADCAOCSSx yk，221122BDCBDOSSx yk，ADCBDC
7、SS，/ABCD. 点评：利用一个预备知识作为证明的铺垫，而这个知识又是平时极易忽视的。通过证明ADC和BDC面积相等推出/ABCD。其中关键还是运用了反比例函数的性质“面积不变性”，它的桥梁作用不可忽视，须认真体会。同时，还应加强面积法在解决问题时的领悟。证法三（1） AB 在第一象限时，如图6，2112tanyDOkDCOOCxx x，BDOM , ABKAMO,1212212112tantankkyyxxAKkAMOABKKBxxxxx x，DCOAMO. /ABCD. （2）A、B 分别在一、三象限时，如图 7， BDOM , ABKAMO,精选学习资料 - - - - - - - -
8、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载tantanAKAMOABKKB1212121212kkyyxxkxxxxx x, 2112tanyDOkDCOOCxx x. DCOAMO. /ABCD. 点评：在这种证明过程中，利用了平行线的判定定理来证明直线平行，其中涉及到用边的长度表示角的正切，而用点的坐标表示直角三角形的边非常关键，这里分式的化简又是一个易错点，容易在符号上出错。二、问题拓展及思考观察图 1，当/ABCD成立时，以此进行拓展，不难发现如下正确的结论：四边形 ANDC 、 DCMB 均是平行四边形；AN=DC=BM. ；ANEMBF；A
9、E=FM, NE=BF ；ANO的面积等于MBO面积。大家应该注意到，证法二中的预备知识，实际上是八年级课本91 页第 9 题的逆命题。同时课本110 页的第 10 题矩形的折叠问题的解答也涉及到。因此我们平时教学对课本内容要充分挖掘拓展，有利于全面掌握知识，熟练运用知识。上述三种证明过程，分别从不同的角度入手，运用知识的侧重点有所不同。证法一借相似三角形证等角平行，证法二借三角形等积等底等高平行，证法三借三角函数值相等角等平行，但关键在于灵活运用反比例函数的“面积不变性”，以反比例函数的性质为桥梁，综合运用函数、几何知识来解答。突出了知识间的联系，渗透了转化的思想、数形结合的思想、分类的思想。解法各异，殊路同归。参考资料：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载1. 人教版初中数学吧年级实验教材. 2. 20XX 年山东菏泽中考数学试题. 3. 20XX 年威海中考数学试题. 4. 20XX 年孝感市中考数学试题. 5. 20XX 年咸宁中考数学试题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
