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1、学习必备欢迎下载直线与双曲线综合一例探究一次函数yaxb(,0a ba为常数,)与反比例函数kyx(0kk为常数,且)是初中阶段应掌握的基本初等函数。其函数图象和性质是中考必考知识点。而反比例函数的几何意义“面积不变性”则常考常新。近几年各地陆续拟有以直线与双曲线kyx(0kk为常数,且)相交为背景的压轴题。下面就中考压轴题中出现的一个命题从三个角度加以探究拓展,以期能给同学们带来启发。一、命题证明及反思命题:经过双曲线kyx(0kk为常数,且)上任意两点A11(,)xy、B22(,)xy的直线,与经过点 C 1(,0)x、D 2(0,)y的直线平行。分析 : 命题的条件中,双曲线kyx中k值
2、不确定。而点A、B 又是双曲线上任意两点,具有普遍性。证明时既要考虑双曲线的位置,也要考虑A、B 两点的位置。证法一为便于探究,不妨设0k,双曲线的两支分别位于一、三象限。就点A、B 在双曲线上的位置,分两种情况讨论。(1)点 A、B 在双曲线同一支上,设在第一象限。如图 1,直线yaxb与反比例函数kyx(0k)的图象相交于点AB、设 A 的坐标为11(,)xy,点 B 的坐标为22(,)xy.过点A分别作ACx轴,AEy轴,垂足分别为,C E,过点B分别作BFx轴,BDy轴,垂足分别为FD, ,AC与BD交于点K,连接CD则点C 的坐标为1(,0)x,D 的坐标为2(0,)y,点 E 的坐
3、标为( 0,1y) ,点 F 的坐标为(2,0x) 。直线 AB 分别与x轴、y轴交于点,M N. ACx轴,AEy轴,四边形AEOC为矩形BFx轴,BDy轴,四边形BDOF为矩形ACx轴,BDy轴,四边形AEDKDOCKCFBK,均为矩形1111,OCx ACy xyk,11,AEOCSOC ACxyk矩形22,OFxFBy22,xyk22BDOFSOFFBxyk矩形, AEOCBDOFSS矩形矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载AEDKAEOCDOCKSSS矩形矩形矩形,CFBKBDOFDOCK
4、SSS矩形矩形矩形,AEDKCFBKSS矩形矩形AK DKBK CK即AKBKCKDK90AKBCKD,AKBCKDCDKABKABCD(2)点 A、B 在分别在双曲线的两支上时,如图2. AEDKAEOCODKCSSS矩形矩形矩形,BKCFBDOFODKCSSS矩形矩形矩形,又AEOCBDOFSSk矩形矩形,AEDKBKCFSS矩形矩形AK DKBK CKCKDKAKBKKK,CDKABKCDKABKABCD点评:上述证明过程中,从反比例函数的几何意义出发 矩形的面积 比例线段 相似三角形 平行线,其中由面积相等转化到比例线段是思考的难点。平时应加强面积法及相似三角形应用的积累。图 1 和图
5、 2 中,直线 AB 是否平行直线EF 呢?仿上述过程不难证明AB EF 是成立的。证法二预备知识如图 3,已知 ABC 与 ABD 的面积相等, 试判断 AB 与 CD 的位置关系, 并说明理由. 解答: AB 与 CD 平行。理由如下:如图3-1,分别过点C、D 作.CGABDHAB、垂足为 G、H,则090 .CGADHBCGDH. ABCABD与面积相等,CG=DH. 四边形CGHD 为平行四边形 .AB CD.利用上述预备知识,我们来证明前面的命题。(1) 当 A、 B 在第一象限,如图 4. 点 A、 B在反比例函数0kykx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
6、纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载的图象的一个分支上,11x yk,22x yk. 连接 AO、BO、AD 、BC,A Cy 轴, BD x 轴,111122ADCAOCSSx yk,221122BDCBDOSSx yk,ADCBDCSS. 由上述预备知识可知:/ABCD. ( 2)当 A、B 分别在一、三象限时,在如图5,连接 AO、BO、AD 、BC,点A、B 分别在反比例函数0kykx的图象的两个分支上,11x yk,22x yk. A Cy 轴, BD x 轴,111122ADCAOCSSx yk,221122BDCBDOSSx yk,ADCBDC
7、SS,/ABCD. 点评:利用一个预备知识作为证明的铺垫,而这个知识又是平时极易忽视的。通过证明ADC和BDC面积相等推出/ABCD。其中关键还是运用了反比例函数的性质“面积不变性”,它的桥梁作用不可忽视,须认真体会。同时,还应加强面积法在解决问题时的领悟。证法三(1) AB 在第一象限时,如图6,2112tanyDOkDCOOCxx x,BDOM , ABKAMO,1212212112tantankkyyxxAKkAMOABKKBxxxxx x,DCOAMO. /ABCD. (2)A、B 分别在一、三象限时,如图 7, BDOM , ABKAMO,精选学习资料 - - - - - - - -
8、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载tantanAKAMOABKKB1212121212kkyyxxkxxxxx x, 2112tanyDOkDCOOCxx x. DCOAMO. /ABCD. 点评:在这种证明过程中,利用了平行线的判定定理来证明直线平行,其中涉及到用边的长度表示角的正切,而用点的坐标表示直角三角形的边非常关键,这里分式的化简又是一个易错点,容易在符号上出错。二、问题拓展及思考观察图 1,当/ABCD成立时,以此进行拓展,不难发现如下正确的结论:四边形 ANDC 、 DCMB 均是平行四边形;AN=DC=BM. ;ANEMBF;A
9、E=FM, NE=BF ;ANO的面积等于MBO面积。大家应该注意到,证法二中的预备知识,实际上是八年级课本91 页第 9 题的逆命题。同时课本110 页的第 10 题矩形的折叠问题的解答也涉及到。因此我们平时教学对课本内容要充分挖掘拓展,有利于全面掌握知识,熟练运用知识。上述三种证明过程,分别从不同的角度入手,运用知识的侧重点有所不同。证法一借相似三角形证等角平行,证法二借三角形等积等底等高平行,证法三借三角函数值相等角等平行,但关键在于灵活运用反比例函数的“面积不变性”,以反比例函数的性质为桥梁,综合运用函数、几何知识来解答。突出了知识间的联系,渗透了转化的思想、数形结合的思想、分类的思想。解法各异,殊路同归。参考资料:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载1. 人教版初中数学吧年级实验教材. 2. 20XX 年山东菏泽中考数学试题. 3. 20XX 年威海中考数学试题. 4. 20XX 年孝感市中考数学试题. 5. 20XX 年咸宁中考数学试题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页