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1、学习必备欢迎下载1.中线定理： (巴布斯定理 )设三角形 ABC 的边 BC 的中点为 P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有 AB CD+AD BC=AC 初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R 则有 BPPC CQQA ARRB=1 初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于 Q、C 的平分线交边 AB 于 R，、 B 的
2、平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线。不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设 ABC 的三个顶点 A、B、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB 或它们的延长线交于点 P、Q、R，则 BPPC CQQA ARRB()=1. 初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S
3、，则 AS 一定过边 BC 的中心 M 不用掌握9.塞瓦定理的逆定理： (略) 初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设 ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点。不用掌握12.西摩松定理：从 ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则 D、E、R 共线， (这条直线叫西摩松线) 初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理： (略) 初中竞赛的
4、常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载17.推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等18.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等19.推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项20.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条
5、线段长的比例中项21.推论 从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等斯特瓦特定理有三角形ABC ，D 为角 A 平分线与BC 边的交点， 则有以下定理： AB（2） DCAC （2） BD AD （2） BC=BC BD DC 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形 的面积 )等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC BD AB CD AD BC 证明：如图1，过 C 作 CP 交 BD 于 P，使 1= 2，又 3= 4， ACD BCP 得 AC ： BC
6、=AD ： BP， AC BP=AD BC 。又 ACB= DCP ， 5= 6，ACB DCP 得 AC： CD=AB ： DP ，AC DP=AB CD 。得AC(BP DP)=ABCD AD BC 即AC BD=AB CD AD BC 梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）是由 古希腊 数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边AB、 BC 、 CA 或其延长线交于F、 D、 E 点，那么(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1。或：设X、 Y、Z 分别在ABC 的 BC 、 CA 、 AB 所在直线上，则X、 Y、 Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)
7、*(CY/YA)=1 证明一：过点A 作 AG BC 交 DF 的延长线于G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得：(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC) (DC/AG)=1 证明二：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载过点C 作 CP DF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF， CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB BD/DC CE/EA=AF/FB FB/PF PF/AF=1 它的逆定理
8、也成立：若有三点F、 D、 E 分别在ABC 的边 AB、 BC 、 CA 或其延长线上，且满足(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1，则 F、 D、 E 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过 ABC 三点向三边引垂线AABBCC，所以AD ： DB=AA ： BB ， BE ： EC=BB ： CC ， CF ： FA=CC ： AA 所以 (AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1 证明四：连接BF。（ AD ：DB ） （ BE ： EC ） （ CF:FA) =（ S ADF ：S BDF ） （S BEF ： S
9、CEF ） （ S BCF ： S BAF ）=（ S ADF ：S BDF ） （S BDF ： S CDF ） （S CDF ： S ADF ）=1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在 ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L、M、N 三点，又分比是=BL/LC 、 =CM/MA 、 =AN/NB 。于是L、M、N 三点共线的充要条件是 =1。第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F， D 三点共线，则(sin ACF/sin FCB)(sin BAD/sin DAC)(sin CBA/sin ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积精选学习资
10、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载该形式的梅涅劳斯定理也很实用第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且 EDF 共线，则（sin AOF/sin FOB)(sin BOD/sinDOC)(sin COA/sin AOE)=1 。 (O 不与点A、 B、 C 重合 ) 记忆ABC 为三个顶点，DEF 为三个分点(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下 1） *（整 /右） *（下 2/上 2）
11、=1 塞瓦定理在 ABC 内任取一点O，直线AO、 BO 、CO 分别交对边于D、 E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介（）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ADC 被直线BOE 所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由 ABD 被直线COF 所截，(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得： (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面积关系证明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S ACD-S COD)=S AOB/S AOC 同理CE/EA=
12、S BOC/ S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB 、 BC 、 AC 的垂足分别为D、 E、 F，根据塞瓦定理逆定理，因为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA） /(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三条高CD 、AE 、BF 交于一点。可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心 ）:如图 5 D , E 分别为BC , AC 中点所以 BD=DC AE=EC 所以
13、BD/DC=1 CE/EA=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载且因为AF=BF 所以AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：在 ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L、M、N 三点，又分比是=BL/LC 、 =CM/MA 、 =AN/NB。于是AL 、 BM 、 CN 三线交于一点的充要条件是=1 。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是= -1 ）塞瓦定理推论1. 设 E 是 ABD 内任意一点，AE 、BE 、 DE 分别
14、交对边于C、 G、 F，则 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（ 塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K （ K 为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（ K 为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2. 塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin BAD/sin DAC)*(sin ACF/sin FCB)*(sin CBE/sin EBA)
15、=1 由正弦定理及三角形面积公式易证3. 如图，对于圆周上顺次6 点 A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。西姆松定理西姆松定理图示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载西姆松定理是一个几何定理。表述为： 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该
16、点在此三角形的外接圆上。西姆松定理说明相关的结果有：（ 1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。（ 2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（ 3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟P 的位置无关。（ 4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。证明证明一： ABC 外接圆上有点P，且 PE AC 于 E， PF AB 于 F， PD BC于 D，分别连DE 、 DF. 易证P、 B、 F、 D 及 P、D、 C、 E 和 A、 B、 P、 C 分别共圆，于是FDP= A
17、CP ，（都是ABP 的补角）且 PDE= PCE 而 ACP+ PCE=180 FDP+ PDE=180 即 F、D 、E 共线 . 反之，当F、D、E 共线时，由 可见A、B、P、 C 共圆 . 证明二：如图，若L、M、 N 三点共线，连结BP， CP ，则因PL 垂直于BC ， PM 垂直于AC ， PN 垂直于AB，有B、 P、 L、 N 和M、 P、 L、C 分别四点共圆，有 PBN = PLN = PLM = PCM. 故 A、 B、 P、 C 四点共圆。若 A、B、P、C 四点共圆，则PBN = PCM 。因 PL 垂直于BC ，PM 垂直于AC ， PN 垂直于AB ，有 B、
18、 P、 L、 N 和 M、 P、 L、 C 四点共圆，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载 PBN = PLN = PCM= PLM. 故 L、 M、N 三点共线。正弦定理定理概述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等。即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（ 2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）这一定理对于任意三角形ABC ，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR 为三角形外接圆半径证明步骤1. 在锐角ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c。
19、作 CH AB 垂足为点H CH=a sinB CH=b sinA a sinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC 中，b/sinB=c/sinC 步骤2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC, 作 ABC 的 外接圆O. 作直径BD 交 O 于 D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角 是直角 ,所以 DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以 D 等于 C. 所以c/sinC c/sinD=BD=
20、2R 类似可证其余两个等式。意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。扩展三角形面积公式1. 海伦公式:设 P=(a+b+c)/2 S=根号下P(P-a)(P-b)(P-c) 解释 :假设有一个三角形，边长分别为a、 b、c，三角形的面积S 可由以下公式求得：S=p(p -a)(p-b)(p-c) 而公式里的p 为半周长：p=(a+b+c)/2 2.S ABC=(ab/2) sinC=(bc/2) sinA=(ac/2) sinB=abc/(4R)R为外接圆半径 3. S ABC=ah/2 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2Rs
21、inC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （条件同上）在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“ 大边对大角，大角对大边” 定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3) 相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC c/sinD=BD=2R 精选学习资料
22、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载设R 为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为 90 时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA 余弦定理余弦 定理是揭示三角形 边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起
23、来更为方便、灵活。余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质(注： a*b 、 a*c 就是 a 乘 b、 a 乘 c 。 a2 、 b2 、 c2 就是 a 的平方，b 的平方，c 的平方。) a2=b2+c2-2*b*c*Cos A b2=a2+c2-2*a*c*Cos B c2=a2+b2-2*a*b*Cos C Cos C=(a2+b2-c2)/2ab Cos B=(a2+c2-b2)/2ac Cos A=(c2+b2-a2)/2bc 余弦定理证明平面几何证法：在任意ABC 中做
24、AD BC. C 所对的边为c， B 所对的边为b， A 所对的边为a 则有BD=cosB*c， AD=sinB*c， DC=BC-BD=a-cosB*c 根据 勾股定理可得：AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 余弦定理的作用(1) 已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2) 已知三角形的两边及夹角，可求出第三边. 例如：已知ABC 的三边之比为：2：
25、 1，求最大的内角. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载解设三角形的三边为a,b,c且 a:b:c=:2:1. 由三角形中大边对大角可知：A 为最大的角.由余弦定理cos A=- 所以 A=120 . 再如 ABC 中， AB=2,AC=3, A=3, 求 BC 之长 . 解由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABAC cos A =4+9-2 23 =7 ，所以BC=7. 以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用. 其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
