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1、九年级数学上三章证明三Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.2特殊的平行四边形(1) 矩形的性质及判定平行四边形的平行四边形的性质性质w定理:平行四边形的对边相等.驶向胜利的彼岸w证明后的结论,以后可以直接运用. BDCA四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.w定理:平行四边形的对角相等.四边形ABCD是平行四边形.A=C, B=D.定理:平行四边形的对角线互相平分.四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.B
2、DCAO定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ回顾 思考平行四边形的判定平行四边形的判定驶向胜利的彼岸w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾 思考wAB=CD,AD=BC,w四边形ABCD是平行四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,w四边形ABCD是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,w四边形ABCD是平行四边形.wA=C,B=D.w四边形ABCD是平行四边形.等腰梯形的性质w定理:等腰
3、梯形同一底上的两个角相等.w定理:等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wAC=DB.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wA=D, B=C.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考三角形中位线的性质三角形中位线的性质驶向胜利的彼岸w定理:三角形的中位线平行
4、于第三边,且等于第三边的一半.w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.回顾 思考wDE是ABC的中位,DEBCADEBC,ABCHDEFG四边形之间的关系四边形之间的关系 我思我思,我进步我进步1 1w四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平
5、行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形矩形的性质矩形的性质w定理:矩形的四个角都是直角.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步2 2已知:如图,四边形ABCD是矩形.w分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明: 四边形ABCD是矩形,A=900,四边形ABCD是平行四边形.C=A=900,B=1800-A=900, D=1800-A=900.求证:A=B=C=D=900.四边形ABCD是矩形.DBCA想一想:正方形的四个角都是直角吗?矩形的性质矩形的性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进
6、步3 3w定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证: AC=BD.证明: 四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=900.w分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCABC=CB,ABCDCB(SAS).AC=DB.直角三角形的性质直角三角形的性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是RtABC中一条怎样的特殊线段? w它与AC有什么大小关系?为什么?DBCAEw由此可得推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.wBE是RtABC中斜边AC上的中线. w
7、BE等于AC的一半. AC=BD,BE=DE,矩形性质的应用矩形性质的应用驶向胜利的彼岸 例题欣赏例题欣赏4 4例1、已知，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解: 四边形ABCD是矩形,BD=2AB=22.5=5(cm).AC=BD,且DAB=900,DBCAOAOD=1200,ODA=OAD=你认为例1还可以怎么去解？矩形的判定矩形的判定w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步2 2已知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=900.w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四
8、边形,可使问题得证.证明: A=B=C=900,A+B=18000,B+C=1800. ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是平行四边形.DBCA四边形ABCD是矩形.矩形的判定矩形的判定w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步2 2已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.DBCAw分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.w证明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB, ABCDCB.ABC=DCB.四边形ABCD是平行四边形.ABC+DCB=1800.ABC=900.四边形AB
9、CD是矩形.直角三角形的判定直角三角形的判定驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步4 4w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.w求证:ABC是直角三角形已知:CD是ABC边AB上的中线,且EABCDw分析:要证明ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.w证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.四边形ACBE是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD, AC=DB.四边形ACBE是矩形. AD=BD,CD=ED,ACB=900.ABC是直角三角形.P88习题3.4 3题. 祝你成功！独立独立作业作业
10、已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别分别平分DAB和CBA,QPAD,交AB于点Q.(1).求证:APPB;(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少? APB的面积是多少?ABCDPQ矩形的性质矩形的性质,推论推论驶向胜利的彼岸w定理:矩形的四个角都是直角.w定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾 思考w四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900.DBCADBCAwAC,BD是矩形ABCD的两条对角线.AC=BD.在ABC中,ACB=900,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定
11、,直角三角形的判直角三角形的判定定驶向胜利的彼岸w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.回顾 思考wA=B=C=900,四边形ABCD是矩形.DBCADBCAwAC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.四边形ABCD是矩形.ABCDACB=900.在ABC中,AD=BD=CD,思考题1、如如图图，在在矩矩形形ABCD中中，对对角角线线交交于于点点O，AB=2，AOB=60 ，AEBD于于E。 求求BC、BD、BE的的长长和和ADB、BAE的的度度数。数。2、如如图图，在在ABC中中，O为为AB边边的的中中点点，OA=OB=OC=5，AC=6。 求求BC的长及的长及ABC的面积。的面积。3、如如图图，M、N分分别别是是 ABCD的的对对边边AD、BC的中点，且的中点，且AD=2AB， 求证：求证：PMQN是矩形。是矩形。4、如如图图，矩矩形形ABCD中中，AE平平分分BADBAD，AEAE交交BCBC于于E E，连接，连接DEDE，EFDEEFDE于于E E，EFEF交交ABAB于于F F。 求证：求证：DE=EFDE=EF。独立独立作业作业结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!
