《2022年九年级数学相似三角形的性质及应用知识点+典型例题+详细答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年九年级数学相似三角形的性质及应用知识点+典型例题+详细答案(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、. . 1 相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质,能运用性质进行有关计算;2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似,能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题). 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等,对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比,则由比例性质可得:4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方,则分别作出与的高和,则21122=1122ABCA BCBC ADk BCk A DSkSBCA DB
2、CA D要点诠释:相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度,通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 . 要点诠释:测量旗杆的高度的几种方法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页. . 2 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相似三角形求解。1如甲图所示,通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE的距离(长度),根据相似三角形的性质,求出AB的长. 2 如乙图所示,
3、可先测 AC 、DC及 DE的长,再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释:1比例尺:表示图上距离比实地距离缩小的程度,比例尺= 图上距离 / 实际距离; 2太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻,两物体影子之比等于其对应高的比; 3视点:观察事物的着眼点(一般指观察者眼睛的位置); 4. 仰(俯)角:观察者向上(下)看时,视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. ABC DEF ,若ABC 的边长分别为 5cm 、6cm 、7cm ,而 4cm是DEF中一边的长度,你能求出DEF的另外两边的长度吗?试说明理由. 【答案】设另两边长是 xcm
4、,ycm ,且 xy. (1) 当DEF中长 4cm线段与 ABC 中长 5cm线段是对应边时,有,从而 x=cm ,y=cm. (2) 当DEF中长 4cm线段与 ABC 中长 6cm线段是对应边时,有,从而 x=cm ,y=cm. (3) 当DEF中长 4cm线段与 ABC 中长 7cm线段是对应边时,有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页. . 3 ,从而 x=cm ,y=cm. 综上所述, DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm ,cm 或cm ,cm三种可能 . 2. 如图所示,已知 ABC 中,AD是
5、高,矩形 EFGH 内接于 ABC中, 且长边 FG 在 BC上, 矩形相邻两边的比为 1: 2, 若BC=30cm , AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积 . 【答案】四边形 EFGH 是矩形, EHBC , AEH ABC. ADBC , ADEH ,MD=EF. 矩形两邻边之比为1:2,设 EF=xcm ,则 EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比,得,. EF=6cm ,EH=12cm. 举一反三1、如图,在和中,的周长是 24,面积是 48,求的周长和面积 . 【答案】在和中,. 又,相似比为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
6、 - - - - -第 3 页,共 22 页. . 4 的周长为,的面积是. 2、有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1200 和 1500,求:甲地图与乙地图的相似比和面积比. 【答案】设原地块为 ABC ,地块在甲图上为 A1B1C1,在乙图上为 A2B2C2. ABC A1B1C1A2B2C2且,. 3、如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A与点 B重合,折痕为 DE ,则 SBCE:SBDE等于()A. 2 :5 B14:25 C16:25 D. 4:21 【答案】 B. 【解析】由已知可得AB=10 ,AD=BD=5 ,设 AE=BE=x, 则
7、CE=8-x, 在 RtBCE 中,x2-(8-x)2=62,x=, 由ADE ACB得,SBCE:SBDE=(64-25-25 ) :25=14:25,所以选 B. 4、在锐角 ABC中,AD,CE分别为 BC,AB边上的高, ABC和BDE 的面积分别等于 18和 2,DE=2,求 AC边上的高 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页. . 5 【答案】过点 B做 BF AC,垂足为点 F,AD,CE分别为 BC,AB边上的高,ADB= CEB=90 ,又 B=B,RtADB RtCEB, ,BDABBDBEB
8、ECBABCB即, 且B=B,EBD CBA, 221189BEDBCADEACSS, 13DEAC, 又DE=2 ,AC=6 ,11862ABCAC BFS, BF= .5、已知:如图,在 ABC与CAD 中,DA BC ,CD与 AB相交于 E点,且 AE EB=1 2,EFBC交 AC于 F点,ADE的面积为 1,求 BCE和AEF的面积【答案】 DA BC ,ADE BCE SADE:SBCE=AE2:BE2AE BE=1:2, SADE:SBCE=1:4SADE=1,SBCE=4SABC:SBCE=AB:BE=3:2,SABC=6EFBC ,AEF ABC 精选学习资料 - - -
9、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页. . 6 AE:AB=1:3,SAEF:SABC=AE2:AB2=1:9SAEF=6、如图,已知中,点在上,( 与点不重合 ),点在上. (1) 当的面积与四边形的面积相等时,求的长. (2) 当的周长与四边形的周长相等时,求的长. 【答案】 (1),. (2) 的周长与四边形的周长相等 . =6,. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页. . 7 类型二、相似三角形的应用3. 如图,我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离
10、 ( 即河宽 ) ,你有什么方法?【答案】如上图,先从 B点出发与 AB成 90角方向走 50m到 O处立一标杆,然后方向不变,继续向前走10m到 C处,在 C处转 90,沿 CD方向再走17m到达 D处,使得 A、O 、D在同一条直线上那么A、B之间的距离是多少?AB BC ,CD BC ABO= DCO=90 又 AOB= DOC AOB DOC. BO=50m,CO=10m,CD=17m AB=85m 即河宽为 85m 4. 如图:小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是 1.6 m ,他
11、的影长是 2 m(1) 图中 ABC 与ADE是否相似 ?为什么 ? (2) 求古塔的高度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页. . 8 【答案】 (1) ABC ADE BC AE ,DE AE , ACB= AED=90 A=A, ABC ADE (2)由(1) 得ABC ADE AC=2m ,AE=2+18=20m ,BC=1.6m ,DE=16m 即古塔的高度为 16m 。举一反三1、小明把一个排球打在离他2 米远的地上,排球反弹后碰到墙上,如果他跳起来击排球时的高度是1.8 米,排球落地点离墙的距离是7 米
12、,假设排球一直沿直线运动,那么排球能碰到墙上离地多高的地方?【答案】如图, AB=1.8 米,AP=2米,PC=7米,作 PQ AC, 根据物理学原理知 BPQ= QPD, 则APB= CPD ,BAP= DCP=90 , ABP CDP, ABAPDCPC, 即1.827DC, DC=6.3米. 即球能碰到墙上离地6.3 米高的地方 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页. . 9 2、在斜坡的顶部有一铁塔AB ,B是 CD的中点, CD是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE留在坡面上。 已知铁塔底座宽 CD=12
13、m ,塔影长 DE=18m ,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站在点E处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m和 1m ,那么塔高 AB为()A.24m B.22m C.20m D.18m 【答案】 A. 【解析】过点 D做 DN CD交光线 AE于点 N,则1.60.82DNDE,DN=14.4,又AM:MN=1.6:1 ,AM=1.6MN=1.6BD=1.6 6=9.6 塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24,所以选 A. 3、已知:如图,阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下1.5m宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m
14、,窗口高 AB=1.8m ,求窗口底边离地面的高度 BC. 【答案】作 EF DC交 AD于 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页. . 10 AD BE ,又,. AB EF, ADBE ,四边形 ABEF 是平行四边形,EF=AB=1.8m. m. 【巩固练习一】一、选择题1 如图 1 所示, ABC 中 DE BC , 若 AD DB 12, 则下列结论中正确的是 ( ) A BCD(图 1)(图 2)2. 如图 2, 在ABC 中, D、E两点分别在 AB 、AC边上, DE BC. 若 AD:DB =
15、 2:1, 则 SADE: SABC为 ( ) A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3某校有两块相似的多边形草坪,其面积比为94,其中一块草坪的周长是 36 米,则另一块草坪的周长是() A24 米 B54 米C24 米或 54 米D 36米或 54 米4. 图为ABC与DEC 重叠的情形,其中E在 BC上,AC交 DE于 F 点,且AB/ DE. 若ABC与DEC 的面积相等,且 EF=9 ,AB=12 ,则 DF=( ) A3 B7 C12 D 15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页.
16、. 11 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C处,已知 AB BD ,CD BD ,且测得 AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是() A6 米 B8 米 C18 米D24 米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8 倍,而它的形状不变,那么它的边长要增大到原来的()倍. A.2 B.4 C.2D.64 二、填空题7. 如图所示,为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高 CD 2m的标杆,现测量者从E处可以看到杆顶 C与树顶 A在同一条直线上,如果测得BD20m
17、 ,FD 4m ,EF 1.8m,则树 AB的高度为 _m 8. 已知两个相似三角形的相似比为,面积之差为 25,则较大三角形的面积为 _. 9如图,小明为了测量一座楼MN的高,在离点 N为 20m的 A处放了一个平面镜,小明沿 NA后退到点 C,正好从镜中看到楼顶M ,若 AC 1.5m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度是_.(精确到 0.1m)10. 梯形 ABCD 中,AD BC,AC ,BD交于点 O , 若AODS=4,OCSB=9,S梯形 ABCD=_. 11. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E为 CD上一点, DE:CE=2:3, 连接
18、 AE,BE,BD,且 AE,BD交于点 F,则:DEFEFBAFSSS B_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页. . 12 12. 把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的21倍,那么边长应缩小到原来的 _倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上, 如图,他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面部分的影长 2.7m,他求得树高是多少?14. 如图所示,一段
19、街道的两边沿所在直线分别为AB ,PQ ,并且 AB PQ ,建筑物的一端 DE所在的直线 MN AB于点 M ,交 PQ于点 N,小亮从胜利街的 A处,沿着 AB方向前进,小明一直站在点P的位置等待小亮(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线,以及此时小亮所在的位置(用点 C标出) (2)已知: MN=30m,MD=12m,PN=36m 求( 1)中的点 C到胜利街口的距离15. 在正方形中,是上一动点, (与不重合 ) ,使为直角,交正方形一边所在直线于点. (1) 找出与相似的三角形 . (2) 当位于的中点时,与相似的三角形周长为,则的周长为多少?精选学习资料 - - - - - - -
20、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页. . 13 【答案与解析】一选择题1 【答案】 D 【解析】提示:相似比为1:3 2 【答案】 B【解析】提示:面积比等于相似比的平方3 【答案】 C. 4 【答案】 B. 5 【答案】 B. 【解析】提示:入射角等于反射角,所以ABP CDP 6 【答案】 C 【解析】提示:面积比等于相似比的平方二填空题7 【答案】 3. 8 【答案】 45cm2. 9 【答案】 21.3m10 【答案】 25. 【解析】 ADBC ,AOD COB ,2AODBOC49SAOCOS, AO:CO2:3 ,又AODDOC23SAO
21、SOC,COD6S,又CODAOBSS,ABCD492625S梯形11. 【答案】 4:10:25 【解析】平行四边形 ABCD , DEF BAF,2DEFAEBSDESAB, DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即 DE:AB=2:5,DEFBAFSSDEF与BEF是同高的三角形,DEFBEFSS24.510精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页. . 14 12 【答案】22. 三. 综合题13 【解析】作 CE DA交 AB于 E,设树高是 xm ,长为 1m的竹竿影长 0.9m 11.20.92.7x即
22、 x 4.2m 14 【解析】 (1) 如图 1 所示, CP为视线,点 C为所求位置 (2) AB PQ ,MN AB于 M ,CMD PND 90又CDM PDN ,CDM PDN ,CMDMPNDN MN30m ,MD 12m , ND18m 123618CM CM24(m)点 C到胜利街口的距离CM 为 24m 15 【解析】 (1) 与BPC相似的图形可以是图 (1) ,(2) 两种情况:PDE BCP ,PCE BCP ,BPE BCP (2)如图 (1) ,当点 P位于 CD的中点时,若另一直角边与AD交于点 E,则12PDBCPDE BCP PDE与BCP 的周长比是 1:2
23、BCP的周长是 2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页. . 15 如图 (2) ,当点 P位于 CD的中点时,若另一直角边与BC延长线交于点 E时,则12PCBC,PCE BCP PCE与BCP 的周长比是 1:2 BCP的周长是 2a如图 (2) ,当点 P位于 CD的中点时,若另一直角边与BC延长线交于点 E时,52BPBCBPE BCP BPE与BCP 的周长比是5:2 ,BCP的周长是2 55a【巩固练习二】一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是
24、3 和 4 及 x,那么 x 的值()A只有 1 个 B 可以有 2 个C 有 2 个以上,但有限 D有无数个2. 若平行四边形 ABCD 中,AB 10,AD 6,E是 AD的中点,在 AB上取一点 F,使CBF CDE ,则 BF的长为()A1.8 B5 C 6 或 4 D8 或 2 3. 如图,已知 D、E分别是的 AB 、 AC 边上的点,且那么等于()A1:9 B1:3 C1:8 D1:2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页. . 16 4 如图 G是ABC的重心,直线 过 A点与 BC平行. 若直线
25、CG分别与 AB 、 交于 D 、E两点,直线 BG与 AC交于 F 点,则 AED 的面积 :四边形 ADGF 的面积=( ) A1:2 B2:1 C 2:3 D3:2 5. 如图,将 ABC的高 AD四等分,过每一个分点作底边的平行线,把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4,则 S1S2S3S4等于() A.1 234 B.2345 C.1 357 D.3 579 6. 如图,在 ABCD 中,E为 CD上一点, DE :CE=2 :3,连结 AE 、BE 、BD ,且AE 、BD交于点 F,则SDEF:SEBF:SABF等于( ) A.4:10:25 B.4 :9:25 C.2:
26、3:5 D.2:5:25 二、填空题7. 如图,梯形 ABCD 中,AB CD,AC 、BD相交于点 E,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页. . 17 1,2DECSSCEBDECSSAEB=_. 8. 如图, ABC中,点 D在边 AB上,满足 ADC= ACB,若 AC=2 ,AD=1 ,则DB=_. 9. 如图,在PAB中,M 、N是 AB上两点,且PMN 是等边三角形, BPM PAN ,则APB的度数是_. 10. 如图, ABC中,DE BC,BE,CD交于点 F,且SEFC=3SEFD,则SADE
27、:SABC=_. 11. 如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯 BD ,当他走到点 P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20m到达 Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m ,则两路灯之间的距离是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 22 页. . 18 12. 如图,锐角 ABC中,AD,CE分别为 BC,AB边上的高, ABC和BDE的面积分别等于 18 和 2,DE=2 ,则 AC边上的高为 _. 三、解答题13.
28、为了测量图( 1)和图( 2)中的树高,在同一时刻某人进行了如下操作:图(1) :测得竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,树影 AE长 2.4 米图(2) :测得落在地面的树影长2.8 米,落在墙上的树影高1.2 米,请问图(1)和图( 2)中的树高各是多少?14. (1)阅读下列材料,补全证明过程:已知:如图,矩形ABCD 中,AC 、BD相交于点 O ,OE BC于 E,连结 DE交OC于点 F,作 FG BC于 G 求证:点 G是线段 BC的一个三等分点证明:在矩形 ABCD 中,OE BC ,DC BC ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
29、- - - - - - -第 18 页,共 22 页. . 19 OE DC ,(2)请你仿照( 1)的画法,在原图上画出BC的一个四等分点(要求保留画图痕迹,可不写画法及证明过程) 15. 已知如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm ,BC=6cm ,点 E自 A点出发,以每秒1cm的速度向 D点前进,同时点 F 从 D点以每秒 2cm的速度向 C点前进,若移动的时间为 t ,且 0t 6(1)当 t 为多少时, DE=2DF ;(2)四边形 DEBF 的面积是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由(3)以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与 BCD 相似?若能,请求出所有
30、可能的 t 的值;若不能,请说明理由【答案与解析】一选择题1. 【答案】 B. 【解析】 x 可能是斜边,也可能是直角边. 2. 【答案】 A. 3. 【答案】 B. 4. 【答案】 D. 5. 【答案】 C. 【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由,所以,又由,可得,下略6. 【答案】 A. 【解析】ABCD 中,AB DC ,DEF ABF ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 22 页. . 20 ( DEF与EBF等高,面积比等于对应底边的比) ,所以答案选 A. 二、填空题7. 【答案】14.
31、 【解析】1,2DECECBSS且DEC 与CEB 是同高不同底的两个三角形,即1.2DEEB因为 AB CD, 所以 DEC BEA,所以DECAEBSS=221124DEEB8. 【答案】 3. 【解析】ADC= ACB ,DAC= BAC,ACD ABC,ACADABACAB=22241ACAD,BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】 120. 【解析】BPM PAN ,BPM A,PMN 是等边三角形,A+APN 60,即 APN+ BPM 60,APB BPM+ MPN+ APN 60+60=12010. 【答案】 1:9 【解析】EFCS=3EFDS,FC:DF=3:1,又
32、DE BC,BFC EFD,即 BC :DE=FC:FD=3:1 ,由ADE ABC ,即ADES:ABCS=1:9. 11. 【答案】 30m. 12. 【答案】 6. 【解析】 AD,CE分别为 BC,AB边上的高 , ADB= BEC=90 , ABD= EBC RtABD RtCBE ABBDBCBE,ABC DBE 相似三角形面积比为相似比的平方,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 22 页. . 21 2182ACDE= 9, ACDE=3 , AC=3DE=3 2=6h=2S ABC/AC=2 18/6=6即
33、 AC边上的高是 6 . 三、解答题13. 【解析】 (1) CDE ABE ,CECDAEAB,又竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,树影 AE长 2.4 米, AB=1.92 米即图 1 的树高为 1.92 米(2)设墙上的影高落在地面上时的长度为x,树高为 h,竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,1=0.81.2x解得 x=1.5 (m ) ,树的影长为: 1.5+2.8=4.3 (m ) ,14.3=0.8h解得 h=3.44(m ) 14. 【解析】 (1)补全证明过程 : FG BC ,DC BC ,FG DC AB DC ,又FG AB ,点 G是
34、 BC的一个三等分点(2)如图,连结 DG交 AC于点 H,作 HIBC于 I ,则点 I 是线段BC的一个四等分点 . 15. 【解析】 (1)由题意得: DE=AD-t=6-t ,DF=2t,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 22 页. . 22 6-t=2 2t ,解得 t=65,故当 t=65时,DE=2DF ;(2)矩形 ABCD 的面积为: 126=72,SABE=1212t=6t ,SBCF=126(12-2t )=36-6t ,四边形 DEBF 的面积 =矩形的面积 -SABE-SBCF=72-6t-36+6t=36 ,故四边形 DEBF 的面积为定值 . (3)设以点 D 、E、F为顶点的三角形能与 BCD 相似,则EDDFBCDC或EDDFDCBC,由 ED=6-t,DF=2t,FC=12-2t,BC=6 ,代入解得: t=12(舍去)或 t=6(舍去)或 t=32,故当 t=32时,以点 D、E、F为顶点的三角形与 BCD 相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 22 页