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1、物理光学物理光学3-第三次第三次课傅立叶傅立叶变换.一、傅立叶级数以及频谱的概念一、傅立叶级数以及频谱的概念1傅立叶级数的定义 2频谱的概念 内容内容2021/5/2221傅立叶级数的定义设f(x)是周期为T0的周期函数，满足狄里赫利条件， 即：(1)、在区间(-T0/2, T0/2)分段连续； (2)、只存在有限个极值点； (3)、只存在有限个第一类间断点； (4)、绝对可积，即： 则f(x)可以展开为傅立叶级数： (1)称为傅立叶系数傅立叶系数(2)(3)(4)2021/5/223令： 则有： (5)(6)(7)可用cn来统一表示，称cn为复数形式的傅立叶系数复数形式的傅立叶系数。(8)于
2、是 f(x) 的傅立叶级数可以用复数形式表示为： 亦可简称为傅立叶系数傅立叶系数。2021/5/224傅立叶系数cn： (9)函数f(x)的周期T0的倒数，称作f(x)的基频基频，表示为：f0=1/T0；而fn=n/T0=nf0，称作f(x)的谐频谐频，亦可简称为频率频率。如果f(x)代表时间函数，则fn代表时间频率；如果f(x)代表空间函数，则fn代表空间频率。表明：周期函数f(x)可以分解分解为一系列频率为fn，复振幅为cn的谐波；反之，若将各个谐波线性叠加叠加，则可以精确的综合出原函数f(x)。(8)2021/5/2252频谱的概念一个周期变化的 物理量物理量在x域(时间域或空间域)内用
3、f(x)来表示：(9)(8)而在fn域(时间频率域或空间频率域)内用cn来表示：由于cn表示频率为fn的谐波成分的复振幅，所以cn按fn的分布图形称为f(x)的频谱频谱。因为一般cn是复数，所以cn的模值|cn|随fn的分布图叫做f(x)的振幅频谱，而cn的幅角随fn的分布图叫做f(x)的位相频谱。可见这两种表示是等效的。2021/5/2260l-ll2lxf(x)锯齿波将一个系统的输入函数f(x)展开为傅立叶级数，在频率域中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种处理方法称为频谱分析方法。为了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频谱分析的方法。fnf5f4f3f2f1Ocn
4、锯齿波的振幅频谱2021/5/227二、一维傅立叶变换的定义及其运算举例二、一维傅立叶变换的定义及其运算举例内容内容1一维傅立叶变换的定义2一维傅立叶变换的举例2021/5/228傅立叶变换和傅立叶逆变换常常用运算符号表示： F()=Ff(x) (12) f(x)= F -1F() (13) 设f(x)是定义在实数域x上的一维函数，若f(x)满足狄里赫利条件，即f(x)分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间(-，)上绝对可积，则下述积分变换成立： (10) (11) 称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为的谐波成分。 表明：一个物理量既可以在域x中用函数f(
5、x)来表示，也可以通过傅立叶变换，在频率域内用函数F()来描述。 1一维傅立叶变换的定义：称作函数f(x)的傅立叶变换傅立叶变换称作傅立叶逆变换傅立叶逆变换2021/5/2292一维傅立叶变换的举例 例1)、求矩形函数f(x)=rect(ax)的傅立叶变换。 在在物物理理光光学学中中，习习惯惯将将F()的的主主瓣瓣宽宽度度定定义义为为矩矩形形函函数数的的频频带带宽宽度度，由由图图2可可见见，rect(ax)的的频带宽度为频带宽度为2a。 解：图2 矩形函数及其频谱图-3a-2a-aa2aO3a2021/5/2210例2)、sinc函数的傅立叶变换首先： 于是根据定义，函数f(x)的傅立叶变换为
6、：解：有：因为cos(x)/x是奇函数， sin(x)/x是偶函数，所以有： 2021/5/22111/20-1/21/211/20-1/21/22021/5/2212例3)、负指数函数的傅立叶变换负指数函数的定义为： 则它的傅立叶变换为： 易见，F()是复函数。它的振幅为： Ox|F()|f(x)argF()相位为：2021/5/2213例4)、高斯函数的f(x)=exp(-x2)傅立叶变换 Possion积分： 可见，高斯函数具有自傅立叶变换的性质。解：xf(x)2021/5/2214三、广义傅立叶变换三、广义傅立叶变换1广义傅立叶变换的定义 2广义傅立叶变换举例 内容内容2021/5/2
7、2151广义傅立叶变换的定义设f(x)是一个满足狄里赫利条件的函数，而gN(x)是存在傅立叶变换的普通函数的序列，即有：FgN(x)=GN()(N为整数) (14)如果f(x)可以表示为gN(x)的极限，即： (15)并且，当N时，GN()的极限存在，则可将f(x)的广义傅立叶变换定义为： F()=Ff(x)= FgN(x)= GN() (16) 显然，公式(15)、(16)既给出了f(x)广义傅立叶变换的定义，又给出了计算f(x)的广义傅立叶变换的方法和步骤。 2021/5/2216例1)、(x)函数和常数1的傅立叶变换 (x)函数的傅立叶变换为：常数1的逆傅立叶变换为： 常数1的傅立叶变换
8、为：常数1和(x)函数构成了一个傅立叶变换对傅立叶变换对： (17) (18) 2广义傅立叶变换举例 (x)函数的逆傅立叶变换为：解：2021/5/2217例2)、 sin(x)，cos(x) 的傅立叶变换。 Fsin(x)= Fcos(x)= 解：0-1/21/2()1/20-1/2()2021/5/2218有的文献将sin(x)的频谱图称为奇脉冲对，将cos(x)的频谱称为偶脉冲对，而且采用了符号表示，如下： (19) (20) 于是有：Fsin(x)=j() (21)Fcos(x)=() (22)0-1/21/2()1/20-1/2()2021/5/2219例3)、符号函数sgn(x)的
9、傅立叶变换 n=1，2，为整数。sgn(x)不满足绝对可积的条件，为此选取适当的函数序列： 解：很显然2021/5/2220首先，我们求出fn(x)的傅立叶变换，根据定义有： 根据广义傅立叶变换的定义有：Fsgn(x)2021/5/2221四、二维傅立叶变换四、二维傅立叶变换 1直角坐标系中的二维傅立叶变换 2极坐标系中的二维傅立叶变换 内容内容2021/5/22221直角坐标系中的二维傅立叶变换1)、定义 设f(x，y)是定义在(x，y)平面上的符合条件的二维空间函数，则有：称F(，)为f(x，y)的空间频谱空间频谱。称为二维傅立叶变换的核核。逆傅立叶变换为：显然，这个 核具有可分离变量的性
10、质：2021/5/2223 2)、可分离变量函数的二维傅立叶变换具有可分离变量性质的二元函数：f(x，y)= f1(x) f2(y)其二维傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积： 可见，可分离变量二元函数的傅立叶变换也是可分离变量的二元函数。 3)、举例2021/5/22242极坐标系中的二维傅立叶变换坐标平面(x，y)(r，)频率平面1)、定义坐标变换公式为：令 二维傅立叶变换和傅立叶逆变换可以表示为： 2021/5/22252)、圆对称函数的傅立叶变换当二元函数具有圆对称性时，2) 于是类似地，傅立叶逆变换为：上述两式表示的圆对称函数的傅立叶变换又称为傅傅立立叶叶贝塞尔变换贝塞尔变换
11、，也称为零阶汉克尔变换零阶汉克尔变换。也具有圆对称性具有圆对称性2021/5/22263)、举例令表示半径为的圆孔函数。其傅立叶变换为：1) 回到直角坐标系中这一结果将在讨论圆孔的夫琅和费衍射及光学系统分辨本领时得到应用。 2021/5/2227五、傅立叶变换的性质五、傅立叶变换的性质 主要有八条性质1线性设F f(x)=F()，F g(x)=G()，a，b为任意常数，则：F af(x)+ bg(x)= aF()+ bG()2对称性 若F f(x)=F()，则F F (x)= f (-)3迭次傅立叶变换若F f(x)=F()，则F F()= f(-x)2021/5/22284缩放性F f(ax
12、)=若F f(x)=F()，a为不等于零的常数，则有：5平移性若F f(x)=F()，x0为任意实常数，则有：F f(xx0)=exp(j2x0)F()6相移性若F f(x)=F()，0为任意实常数，则有：F exp(j20x)f(x)=F(0)2021/5/22297面积对应公式8复共轭函数的傅立叶变换 若F f(x)=F()，则有： F f*(x)=F*(-)，F f*(-x)=F*()若F f(x)=F()，则有：F(0)等于f(x)曲线下的面积；f(0)则等于F()的曲线下的面积。两个面积相等。对于二维傅立叶变换，面积当换成体积。2021/5/2230六、傅立叶变换相关理论六、傅立叶变
13、换相关理论 1导数定理2巴塞瓦定理3卷积及其有关知识4相关及其有关知识2021/5/22311导数定理若F f(x)=F()，且 存在，于是有：F f(x)=j2F() 设F f(x)=F()，且积分 和 都收敛，则有巴塞瓦定理：成立。2巴塞瓦定理巴塞瓦定理的物理意义物理意义为：在傅立叶变换的情况下，信号在傅立叶变换的情况下，信号的能量是守恒的的能量是守恒的，所以巴塞瓦定理也称为能量积分定理能量积分定理。 2021/5/2232若F f(x)=F()，F g(x)=G()，且积分：和都收敛，成立。类似地有广义巴塞瓦定理：则：2021/5/2233总 结一、傅立叶级数以及频谱的概念一、傅立叶级数以及频谱的概念 二、一维傅立叶变换的定义及其运算举二、一维傅立叶变换的定义及其运算举三、广义傅立叶变换三、广义傅立叶变换四、二维傅立叶变换四、二维傅立叶变换 五、傅立叶变换的性质五、傅立叶变换的性质 六、傅立叶变换相关理论六、傅立叶变换相关理论 作 业： P80，2.6，2.8，2.9(2)，2.11(2)预 告：下节内容：Maxwell方程组和波动方程2021/5/2234谢谢！
