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1、1 / 5 (一)填空题1.xxxxsinlim0.0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf,在0x处连续,则k.13.曲线xy在)1 , 1 (的切线方程是.2121xy4.设函数52)1(2xxxf,则)(xf.x25.设xxxfsin)(,则)2(f.26.若cxxxfx22d)(,则)(xf.22ln2x7.xx d)sin(.cxsin8.若cxFxxf)(d)(,则xxxfd)1(2.cxF)1(2129.设函数xxxd)1ln(dde12.0 10.若ttxPxd11)(02,则)(xP.答案:211x11.设矩阵161223235401A,则A的元素23a.3 12.设BA,均
2、为 3 阶矩阵,且3BA,则TAB2=. 7213.设BA,均为n阶矩阵,则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是.答案:BAAB14. 设BA,均为n阶矩阵,)(BI可逆,则矩阵XBXA的解X.ABI1)(15.设矩阵300020001A,则1A.31000210001A16.函数xxxf1)(在区间内)1 ,0()0, 1(是单调减少的. 17.函数2)1(3 xy的驻点是 _,极值点是,它是极值点.答案:1, 1 xx,小18.设某商品的需求函数为2e10)(ppq,则需求弹性pE.p219.行列式111111111D.4 20.设线性方程组bAX,且010023106111t
3、A,则t1时,方程组有唯一解. (二)单项选择题1. 函数212xxxy的连续区间是(D),2()2,(或), 1() 1,()2. 下列极限计算正确的是(B.1lim0xxx)3. 设yxlg2,则dy(B 1dxxln10)4. 若函数 f (x)在点 x0处可导,则 (B.Axfxx)(lim0,但)(0xfA)是错误的5.当0x时,下列变量是无穷小量的是(C)1ln(x). 6. 下列函数中,(D-21cosx2)是 xsinx2的原函数7. 下列等式成立的是(D -21cosx2)8. 下列不定积分中,常用分部积分法计算的是(Cxxxd2sin)9. 下列定积分计算正确的是(D0ds
4、inxx)10. 下列无穷积分中收敛的是(B 12d1xx)11. 以下结论或等式正确的是(C对角矩阵是对称矩阵)12. 设A为43矩 阵 ,B为25矩 阵 , 且 乘 积 矩 阵TACB有 意 义 , 则TC为(A42)矩阵13. 设BA,均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(CBAAB) 14. 下列矩阵可逆的是(A 300320321)15. 矩阵444333222A的秩是( B 1)16. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是(Be x)17. 已 知 需 求 函 数ppq4. 02100)(,当10p时 , 需求 弹 性 为(C2ln4-)18. 下列积分计算正确的是(A110d2
5、eexxx)19. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是(DnArAr)()()20. 设 线 性 方 程 组33212321212axxxaxxaxx, 则 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是(C0321aaa)(三 )解答题1计算极限(1)123lim221xxxx)1)(1()1)(2(lim1xxxxx = ) 1(2lim1xxx= 21(2)8665lim222xxxxx=)4)(2()3)(2(lim2xxxxx = )4(3lim2xxx= 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
6、5 页2 / 5 (3)xxx11lim0=) 11() 11)(11(lim0xxxxx=)11(lim0xxxx=21) 11(1lim0xx(4)42353lim22xxxxx31423531lim22xxxxx(5)xxx5sin3sinlim0535sin33sin5lim0xxxxx=53(6)) 2sin(4lim22xxx4)2sin()2)(2(lim2xxxx2设函数0sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf,问:( 1)当ba,为何值时,)(xf在0x处有极限存在?(2)当ba,为何值时,)(xf在0x处连续 . 答案:( 1)当1b,a任意时,)( xf在0x处
7、有极限存在;(2)当1ba时,)(xf在0x处连续。3计算下列函数的导数或微分:(1)2222log2xxyx,求y答案:2ln12ln22xxyx(2)dcxbaxy,求y答案:y=2)()()(dcxbaxcdcxa2)(dcxcbad(3)531xy,求y答案:531xy=21)53( x3) 53(23xy(4)xxxye,求y答案:xxxye)1(21(5)bxyaxsine,求yd答案:)(sinesin)e(bxbxyaxaxbbxbxaaxaxcosesine)cossin(ebxbbxaaxdxbxbbxadyax)cossin(e(6)xxyx1e,求yd答案:ydxxxx
8、de )123(12(7)2ecosxxy,求yd答案:ydxxxxxd)2sine2(2(8)nxxynsinsin,求y答案:y=xxnncossin1+nxncos=)coscos(sin1nxxxnn(9))1ln(2xxy,求yy)1(1122xxxx)2)1(211 (112122xxxx)11(1122xxxx211x(10)xxxyx212321cot,求y答案:652321cot61211sin2ln2xxxxyx4.下列各方程中y是x的隐函数,试求y或yd(1)1322xxyyx,求yd答案:解:方程两边关于X 求导:0322yxyyyx32)2(xyyxy,xxyxyyd
9、223d(2)xeyxxy4)sin(,求y答案:解:方程两边关于X 求导4)()1)(cos(yxyeyyxxy)cos(4)(cos(yxyeyxeyxxyxy)cos(e)cos(e4yxxyxyyxyxy5求下列函数的二阶导数:(1))1ln(2xy,求y答案:222)1(22xxy(2)xxy1,求y及)1 (y答案:23254143xxy,1)1(y6.计算下列不定积分(1)xxxde3答案:xxxde3=xd)e3x(=cxxe3lne3(2)xxxd)1(2答案:xxxd2)1(=xxxxd)21(2=x)dx2x(x232121=cxxx252352342(3)xxxd242
10、答案:xxxd242=x2)d-(x=cxx2212(4)xxd211答案:xxd211=)21121xx2-d(1=cx21ln21(5)xxxd22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页3 / 5 答案:xxxd22=)212xx d(222=cx232)2(31(6)xxxdsin答案:xxxdsin=xdxsin2=cxcos2(7)xxxd2sin答案:xxxd2sin=xxxdcod2s2=2cos2xxxxcod2s2=cxxx2sin42cos2(8)xx1)dln(答案:xx1)dln(=)1xx1)d
11、(ln(=)1ln()1(xx1)1)dln(xx=cxxx)1ln() 1(7.计算下列定积分(1)xxd121答案:xxd121=xx d11)1(+xxd21)1(=212112)21()21(xxxx=25(2)xxxde2121答案:xxxde2121=xex1211d=211xe=ee(3)xxxdln113e1答案:xxxdln113e1=)ln1131xxlnd(1e=2(3121)ln1ex=2 (4)xxxd2cos20答案:xxxd2cos20=202sin21xxd=20202sin212sin21xdxxx=21(5)xxxdlne1答案:xxxdlne1=21ln2
12、1xxde=e1212lnln21xdxxxe=) 1e(412(6)xxxd)e1(40答案:xxxd)e1 (40=4e041xxdx=3xxexxde4040=4e5511计算(1)01103512=5321(2)001130200000(3)21034521=012计算723016542132341421231221321解72301654274001277197723016542132341421231221321=14230111215513设矩阵110211321B110111132,A,求AB。解 因为BAAB22122)1() 1(01021123211011113232A0
13、1101-1-0321110211321B所以002BAAB14设矩阵01112421A,确定的值,使)(Ar最小。01112421A410740421)1() 1()3()2()1()2(740410421)3() 2(0490410421)47()2()3(当49时,2)(Ar达到最小值。15求矩阵32114024713458512352A的秩。32114024713458512352A) 3)(1 (32114123523458502471361527012590361527002471) 4() 1()4()2() 1() 3() 5() 1()2(000000000036152700
14、2471)1()2()4()31()2()3(2)( Ar。16求下列矩阵的逆矩阵:(1)111103231A100111010103001231)(AI101340013790001231)1()1()3(3)1 ()2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页4 / 5 1013402111100012312)3()2(9431002111100012314)2() 3(9431007320101885031)2()3()1() 1()3()2(943100732010311031)3()2() 1() 1()2(94
15、37323111A(2) A =11212436131001120101240013613)(AI100112010124031001)3()2()1(1621102101000310012) 1()3)2)3()2(210100162110031001)3)(2(210000172010031001)1()1()1)(3()2(A-1 =21017203117设矩阵3221,5321BA,求解矩阵方程BXA13102501)1()2(131025012)2()1(13100121)3() 1 ()2(10530121)(IA13251A X=BA1X = 110118求解下列可分离变量的微分
16、方程:(1) yxye答案:yxeexydddxedyexycxyee(2)23eddyxxyx答案:dxexdyyx23cxyxxee319. 求解下列一阶线性微分方程:(1)3) 1(12xyxy答案:3)1()(,12)(xxqxxp,代入公式锝cdxexeydxxdxx12312) 1(=cdxexexx)1ln(23)1ln(2)1(=cdxxxex23)1ln(2) 1() 1()21()1(22cxxxy(2)xxxyy2sin2答案:xxxqxxp2sin2)(,1)(,代入公式锝cdxxexeydxxdxx112sin2cdxxexexxln2sin2lncdxxxxx12s
17、in2cxxdx22sin)2cos(cxxy20.求解下列微分方程的初值问题:(1)yxy2e,0)0(y答案:yxeexy2dddxedyexy2,cxy221ee,把0)0(y代入c0021ee,C=21,21e21exy(2)0exyyx,0)1(y答案:xexyXy1,xex)(,1)(XQXXP,代入公式锝cdxexeeydxxxdxx11cxdxxexcdxexeexxxx1lnln,把0) 1(y代入c)exxy(1,C= -e , e)e(1xxy21.求解下列线性方程组的一般解:(1)03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案:4324312xxxx
18、xx(其中21, xx是自由未知量)000011101201111011101201351223111201A所以,方程的一般解为4324312xxxxxx(其中21, xx是自由未知量)(2)5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx000005357531054565101)2()2()1(000005357531024121)51()2(000003735024121)2() 3(373503735024121) 1() 1()3()2()1 ()2(5114711111224121)2(),1 (5114712412111112)(bA精选学习资料 - - -
19、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页5 / 5 535753545651432431xxxxxx(其中21,xx是自由未知量)22.当为何值时,线性方程组43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解,并求一般解。答案:800000000039131015801)2()1(800000000039131024511)2()2()4()1()2()3(1418262039131039131024511)7() 1()4()3()1()3()2() 1()2(10957332231131224
20、511)(bA.当=8 有解 ,3913158432431xxxxxx(其中21,xx是自由未知量)23ba,为何值时,方程组baxxxxxxxxx3213213213221答案:311300120111) 2() 2()3(111140120111) 1()1 () 3()1()1() 2(2131211111bababaA当3a且3b时,方程组无解;当3a时,方程组有唯一解;当3a且3b时,方程组无穷多解。24求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品q个单位时的成本函数为:qqqC625.0100)(2(万元) , 求:当10q时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时,平均成本最
21、小?答案:185)10(C(万元)qqqqqcqc625. 0100)()(, 5.18)10(C(万元 /单位)65. 0)(qqc,11)10(C(万元 /单位)625.0100)()(qqqqcqc,025.01002)(qqc,当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低。(2) .某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201.0420)(qqqC(元),单位销售价格为qp01.014(元 /件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少答案: R(q)= 201.014qq, 2002.010)()()(2qqqcqRqL, 004.010)(qqL当产量为250 个单 位时可使利
22、润达到 最大,且最大利润为1230)250(L(元)。(3)投产某产品的固定成本为36(万元 ),且边际成本为402)(qqC( 万元 /百台 )试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低解:当产量由4百台增至6 百台时,总成本的增量为答案:64642)40()402()4()6(qqdqqCCC=100(万元)qqqdqqqc02364036)402()(,qqqqcqc3640)()(_, 03612_)(qqc, 当6x(百台)时可使平均成本达到最低. (4)已知某产品的边际成本)(qC=2(元 /件),固定成本为0,边际收益qqR02.012)(
23、,求:产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50 件,利润将会发生什么变化?答案:002.010)()()(qqcqRqL, 当产量为500 件时,利润最大. 25)01. 010()02.010(5505002550500qqdqqL(元)即利润将减少25 元 . 四、证明题1试证:若21, BB都与A可交换,则21BB,21BB也与A可交换。证明:)()(21212121BBAABABABABABB,212121BABABBABB2试证:对于任意方阵A,TAA,AAAATT,是对称矩阵。提示:证明TTTTTAAAAAAAATT)()(,AAAAAAAAAAAATTTTTTTTTTTT)()( ,)()(3设BA,均为n阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是:BAAB。提示:充分性:证明:因为BAABABBAABABTTT)(必要性:证明:因为AB对称,BAABABABTTT)(,所以BAAB4设A为n阶对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,且TBB1,证明ABB1是对称矩阵。证明:TTTTBABBABABB)()()(11-1TT=ABB1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页