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1、3.6 轨道角动量轨道角动量 n经典物理中，粒子的轨道角动量为L=xp。量子化后，根据位置与动量的对易关系，容易验证L满足角动量的基本对易关系:n即轨道角动量是一类角动量。其实，不考虑内禀（自旋）角动量时，粒子的角动量J即与轨道角动量L=xp相同。n此外，将 作用于|xyz，有n正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元，则L是转动的生成元。一、坐标空间中的轨道角动量n对无自旋粒子的任意态|，其波函数为。绕z轴转无穷小角后，其波函数为n用球坐标：n即 或n在坐标空间 与直接用Lz=xpy-ypx 结果相同；利用球坐标推导更容易看出Lz作为转动生成元的作用。n由n利用球坐标可得n类似可得n
2、再由 ，n得n方括号中微分算符与拉普拉斯算符在球坐标表示的角度部分仅差一因子1/r2(即轨道角动量与转动部分的动能相联系)二、球谐函数 n无自旋粒子受球对称势作用,波动方程在球坐标下可分离变量,能量本征函数可写为nn是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz的本征态， L2的本征值为 ，Lz的本征值为n角度部分对所有球对称问题都是共同的，应单独考虑:n 是方向本征态矢。由此可称 是在由确定的方向找到由l,m标记的态的几率振幅。 三、球谐函数的求解n由轨道角动量本征矢的相关关系，可写出对应的关于球谐函数的关系。如n n故 依赖于的部分为e
3、xp(im) (波函数单值:m必为整数)n又由n知n归一化条件： n此外，n可得 ：n部分为sin*|m|*(cos的l-|m|阶多项式）n规定：nl必须为整数: 是波函数单值、非奇异、Ylm构成完备集等基本性质的要求(m0)四、球谐函数与转动矩阵 n设 ，n有： n则 (包含所有l)n因nn即转动算符矩阵元：n对m=0，3.8 角动量的加法角动量的加法 一、LS的叠加例子n对粒子的描述应同时考虑空间(整数角动量)与内禀自由度。如自旋1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间和自旋本征矢构成的二维空间的直积 n位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易：波函数n空间部分基矢用|nlm，对应L
4、2和Lz的本征值分别为n自旋部分|对应的S2和Sz本征值分别为 n转动算符：n上面的态矢表示形式对应于以L2, Lz , S2和Sz 的共同本征矢为基。后面会介绍态矢也可用J2, Jz , L2和S2 的共同本征矢为基展开。二、SS的叠加例子n两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自旋算符为S=S1+S2.n由n可导出n由此知相关算符的本征值：n两电子的任意自旋态可用n1) S1z和S2z 或 2)S2和Sz的本征矢展开：n1) |+, |+-, |-+, |-; 2)n在2)中，前者为自旋三重态而后者为自旋单态。n两组基矢由即将介绍的Clebsch-Gordan (CG)系数相联系
5、三、角动量叠加的形式理论 n考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足各自的角动量对易关系：n但n作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为n定义总角动量为 ，简记为n有限转角的形式：n上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。易证：n因此，以前所述关于 的特征与行为均成立。四、基函数1）无耦合表象n 相互对易,取其共同本征矢|j1j2;m1m2为基 2）耦合表象n 相互对易, 取其共同本征矢|j1j2;jm为基(|jm)n由于J2与J1z(J2z)不对易，|j1j2;m1m2不是J2的本征矢，|jm不是J1z(J2z)的本征矢。 |j1j2;m1m2和|jm各是一组完备基,包含了
6、最大相互对易算符组的集合。 3）表象变换：由于对给定的（ j1,j2 ）, m1和m2的完整组合是完备的， 有： 展开系数 称为Clebsch-Gordan系数 五、CG系数的基本特征1) 由 n可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 的CG系数才可能不为零。3) CG系数约定取实数（可能性见下面的递推关系），故 = 4) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即正交矩阵： n类似地， 六、CG系数的递推关系 n由n得n用j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数的递推关系：n上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和归一化条件完全确定了CG系数 n由递推关系联系的CG系数作业n3.16、3.20
